Modèle de concours : CNC 2025 — Mathématiques II (filière MP) — Concours National Commun d'accès aux écoles d'ingénieurs

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LUS d
LA Concours National Commun - Session 2026 - Filière MP
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de ln fillère MP,
comporte 4 pages.
L'usage de tout matériel élect ronique, y compris ln calculatrice, eat interdit
Les candidats sont informés que la quahté de la nédaction et de la présentalion, la clarté
et la précision des misonnements constituervnt des éléments importants pour | NAPTÉCUEON des
comes I content en particuher de mppeles précision lee des questions abor-
dées
St, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lut semble étre une *rreur d ‏اج‎
‏ل‎ le signale sur sa ‏عرف‎ et poursuit sa composion en erphquant les raisons des initiatives qu'il
est amené à prendre.
Le sujet de cette épreuve est composé d'un exercice et d'un problème indépendants entre
cux.
Durée : 4 heures
Exercice D
(Noté 4 points sur 20) 2
0 [1 -١ 1 1 0 0 ‏جججيسع..‎ a
As On considère les matrices : À = -١1 1 1 et/ = | 0 1 0 |. Soient uet {deux vecteurs) >
_ ‏م‎ -1 -1 3 0 0 1 ' َ 5
Lis de{RÀ on pose Vect(u, v) le sous-espace vectoriel de R° engendré par u et v. D
5" 1. On pœe fi = )1,1,1( ‏آم‎ F = (x, v,2)E RS; r+y-2= 0} : CS
# a) Détermise: deux vecteurs f2 et fa de R° tels que F = Vect(f2, fa), f2 = (a,0,b) et £
= fs = (0.c,d), où a, b, cet d sont à déterminer. Ÿ £
= < b) Montrer que la famille (f1, f2, fs) est une base de RS. ‏و‎ 0
1 0 0 0 8
= é 2. a) Vérifier que A1-34+21=0 9= |! 0 0 0 |,la matrice nulle. K 72
١ 0 0 0 mi
. b) En déduire que À est inversible et déterminer son inverse A1. 47 O
1 1 0 a =
3. -a) Déterminer les deux réels a et B tels que : AT 1 | =al 1 |, 4 0 ‏-ا‎ 8١ 0 | ©»
1 1 0 b
/ Al c [=8{| c |,oùa,b,cet d sont les réels trouvés dans la question 1. a).
{ Lb) Montrer qu'il existe une matrice diagonale D et une matrice P inversible, qui sont à aéter- ?
miner, telles que À = PDP”. ‏ل‎
‎c) Montrer, par técurrence sur n, que pour tout entier naturel n, A4" = ‏ال‎ * 8 \d-
Ÿ AN a al
‏م‎ ex RSR)
7 ren LD
un 1
‏اليا‎ ——_—_—_—
‏و‎ Épreuve de Mathématiques 1] Page 1/4
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Concours National Commun - Session 2026 - Filière MP
——_——— ‏سس اكسلسسسلسظاكل لاا‎
Problème
On désigne par n un entier naturel non nul et K = R ou C. On note M, (K) l'espace vectoriel des
matrices Carrées d'ordre n À coefficients dans K, 4, la matrice unité de M,(K) et Mn:1(K) désigne
l'espace vectoriel réel des matrices colonnes à n lignes. Pour une matrice M de M, (K), on désigne
par AUX) = ‏و1 )1ه‎ - A!) le polynôme caractéristique de A. On note 'Af la matrice transposée
de la matrice Af et TY(M) la trace de la matrice carrée Af. On rappelle que pour toute matrice
M = (myhicigen € MnlK), TM) = >» Mu.
On note drag(ai,...,.an) la matrice disgondls de MA(K) qui admet pour coefficients diagonaux les
récls ‏مه بيه‎ dans cet ordre
On désigne par S,(R) l'ensemble des matrices symétriques de MhlR), c'est-à-dire VS € SAR), ‏ي!‎ = S
On note ‏الى‎ (R) l'ensemble des matrices S de S,(R) telles que, VX > Mhaa(R), ‘XSX > 0.
R+ désigne l'ensemble des réels positifs et R°+ désigne l'ensemble des réels strictement positifs.
Le problème traite des propriétés et des applications qui sont autour de la notion de trace.
Partie 1: Préliminaires >
1. Montrer que l'apilisetion Tr: M,(R) —R, M TM), est linéaire. un
‏ب‎ 2. Soient M = (myicigen et N = (niy)icij<n deux matrices de M, (R). a
2 ‏يس‎ =]
2 a) Montrer que Tr(MAN) = ‏م111 7 ِل‎ 5
0 Iml -( 0
== b} Montrer que Tr(A{N) - 2
= c) Montrer que si M et N sont semblables dans MAR) alors Tr(M) = Tr(N). 7
= 3. On considère l’ensemble F = {vu € MR); M est diagonale et Tr(M) = ‏ل‎ : S
= a) Montrer que F est un sous-espace vectoriel de M,{R). O
= 5 b) Déterminer la dimension de F. a
5 c) En déduire que, ‏سمج‎ toute matrice inversible P de M,(R), la dimension du R-espace u.
8: st ‏داع‎ PPP 0 © MAR): M = ٠01-1١ ‏طن‎ F} | =
4. Soit À une matrice de M,(R). On considère l'application, Q
OA : MaiR) ‏:لمانا م‎ XX — X + (Tr(X))A Le
a) Vérifier que 64 est une application linéaire.
Soit B une matrice de M,(K). On considère l'équation ‏اء تمده‎ 5
0 ‏لي 5 م - امه‎
b) On suppose dans cette question que 15)1( # - + 9
‏(ز‎ Qu suppose que A est une solution de l'équation matricielle (+). Déterminer Tr(M) eu
fonction de Tr(A) et de Tr(B). \ À ;
0 ٍ ( ) 0 ANS ‏وك‎
‎ii) Résoudre dans M, (R) l'équation matricielle (x). Ÿ ,
ji) En déduire que Ÿ4 est un automorphisme d'espaces vectoriels. Ÿ
© On suppose maintenant que Tr(A} — -٠ > ‏أل‎
‎i) Résoudre dans ‏,(11)م1/‎ selon les valeurs de Tr(B), l'équation matricielle ‏و .(ه)‎
‏ب‎ ii) Montrer que 4 est un projecteur sur un saus-espace vectoriel F1 de ‏(ل1)م.‎ parallèle ‏بي‎
‎D ment à un sous-espace vectoriel F de MAR), déterminer F et F2. ‏ل م‎
‏“ا «بلل_ٌتمسمب“مسثلصم__سست. سس لا‎
١ Épreuve de Mathématiques 1] Page 2/4 ‏ب‎
‎U Cv
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‎National Commun - Session: Filière MP‏ و ا مستت
‎Partie 2: La valeur absolue de la trace comme étant une “fonction génératrice”‏
م ‎est un K—espace vectoriel de dimension‏ ع ‎M,{K). On rappelle que‏ - ع ‎Dans cette partie, on note‏
‎pour tous entiers et j tels que 1 > i,j < n, Es, désigne‏ لاه ‎et que sa base canonique est ( Esshicig<en:‏
‎la matrice de € dont tous les coefficients sont nuls sauf celui de la 1% ligne et la j#% colonne qui est‏
‎égal à 1. Pour tous entiers h et & tels que 1 > h,k > n, on désigne par 4, x le symbole de Kronecker‏
‎١ ; N . On rappelle que pour tous entiers naturels 5, j, k,l tels que‏ ” , حير ‎qui est défini par‏
‎sihz#k‏
‎sur R* est dite semi-norme sur €, si elle vérifie :‏ ع ‎de‏ و ‎Une application‏
‎e VMEË, VAE K. q(AM) : ‘(A ).‏
)و + ‎٠ VAMN)E E?, Q(M + N°) > g(M)‏
‎(MN) = 1)‏ ,2ع € ‎sur € vérifie la propriété (P) si V(M,N)‏ و ‎On dit qu'une semi-norme‏
‎une semi-norme sur €.‏ و ‎Soit‏ .1
‎Montrer que qg(O) = 0, où O est la matrice nulle, et que pour tout Af de €, g(—Mf) = g(M). 5‏ زه
5 ل ‎a(N)| £<q(iM+N).‏ - قو ,ع ‎b) Montrer que pour tout (AM, N) de‏
3 { 4 4 4
> \ يي 2 ‎N) = g(Af). À. 1 à‏ + )و ‎FE c) Montrer que pour tout (M, N) de £?, si g(N) = 0 alors‏
- و ل ‎On considère l'application f définie de € dans R* par f(Af) = |Tr(M)|. k‏ .2 =
‎Montrer que f est une semi-norme sur € qui vérifie la propriété (P). 1 a Y 0 a‏ 0
‎TE Dans les questions 3. et 4. de cette partie, on suppose que n > 2. sa \ wW =‏
‎telles que. © £‏ ع ‎Soit (a1,...,an) une famille d'éléments de K et soient À et B deux matrices de‏ .3 =
‎n n n (a 1 0 DS £‏ =
‎as à | 5‏ بش ما ‎A = >» 2 + D» E;:. et B = >» QhEh 1 k 7 : “A‏ 7
‎J=1 i=2 h=1 *> ] Ve ? ©‏
‎AR M‏ < + | ير ‎ai E;i 1. NH‏ ا + 1 ‎a,) E;‏ م ( - ‎LE a) Montrer que AB‏
‎RS 72 à 10‏ =
‎n n 0 ï \ $ si‏
1 ما قط : رويك 2 ‎b) Montrer que BA = >. (as‏
‎h 1 ' : : O‏
‎J=! Y) À > e‏ 1=
‎Le \ QG 2‏ :
ا ل ‎une serr.i-norme sur € qui vérifie la propriété (P).‏ و ‎Soit‏ .4
‎Soit Af = (mi j)i<iy<n un élément de €. N S‏
‎a) Montrer que pour tous entiers distincts i et J tels que 1 > 7 < n, q(E, ;) = 0, (on pourra‏
‎E;iE; .;).‏ = نط ‎utiliser le fait que‏
‎mi, Ei1 ) = (. vf HR‏ ل ( ‎b) En déduire que q‏
‎si‏ ب ‎nr‏
‎ŒE F‏ |
‎c) Vérifier que g(Af) = 1 S Mi. 0 :‏
‎d) Montrer, en prenant des valeurs précises pour (ak)i<k<n qui définissent la matrice B, que‏
‎g(Af) = g(BA).‏
‎e) Montrer qu'il existe un réel positif a tel que q = af.‏
‎Dans le cas où n = 1, le résultat démontré ci-dessus reste-t-il valable? justifier votre réponse.‏ .5 7
‎Épreuve de Mathématiques II Page 3/4‏ 59
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: À Partie 3 Caractérisation d'une matrice de S!(R) par In notion de trace
4 O(n) désigne le groupe des matrices orthogonales de MUR), c'est-A-dire des matrices A1 de MAR)
vérifiant 1/4 - ٠
1 On considère une matrice ‏(ل) بى على‎
a) Soit la matrice D = ‏(ول,...2ر)و109‎ telle que pour tout entier k, ١ > k > 1. À4 sont
des réels positifs. Soit ‏نا‎ = (ui shicigen une matrice de O(n).
i) Montrer que pour tous entiers & et à, 1 > ‏ايند > با‎ > ٠
ii) Vérifier que DU = (Au shiciycn:
üi) En déduire que (DU) > Tr(D).
b) Soit U une matrice de O(n).
i) Montrer qu'il existe une matrice P dé O(n) et une matrice D = diag(ar,...,an)
pour tout entier à, 1 > 5 < n, a, sont des réels positifs et $ — PD(‘P),.
ii) Montrer, en posant V = (fP)UP, que SU = P(DV)('P).
iii) En déduire que Tr(SU) > Tr(S. ‏و‎
‎2. Réciproquement, soit À = ‏معن عر (ريه)‎ une matrice de M, (R) telle que, a
= VU € O(n) Tr(AU) > Tr(A) 4
Ai a) i) Montrer que, pour tous réels a,b, a, il existe un réel tel que. 3
5 acosa +bsina = ‏هي‎ + b?sin(a + ») ;
‏يح‎ ii) En déduire que, si pour tout réel a, a cos a + bsina > a alors b = 0. 2
= b) Soit B = (e1,62,...,en) une base orthonormée de l’espace euclidien R" pour son produit +
= scalaire usuel. On note, pour tous entiers pet ‏و‎ tels que 1 > ‏و > م‎ > n, ñ,,4 le plan engendré £
= par la famille (e,,eg). On considère ‏ىمنا‎ l’'endomorphisme de 16" tel que la restriction de =
a ‏أ وم تناك يونا‎ la rotation du plan ‏ىم‎ d'angle a et la restriction de u,,, sur l’orthogonal o
= de ‏أ يمرت‎ l'application identité de l’orthogonal ‏عل‎ 4: 0
= i) Écrire la matrice ‏يرن‎ de u12 relativement à la base B ct montrer que U2 est une 5
EL matrice orthogonale de M, (R). a
ii) Calculer Tr(AU 2) en fonction de ‏بيك يه‎ (@iicien et de a. ET
ji) En déduire que aj,2 = a21. O
iv) Écrire, dans le cas général, la matrice ‏ىمنا‎ de ‏يمرن‎ relativement à la base B. GS
v) Calculer, dans le cas général, Tr(AU,,4) en fonction de ‏مككزلنية) موك بومة‎ et de a.
vi) En déduire que À est une matrice symétrique.
c) _i) Justifier qu'il existe une base orthonormée V = (w1,u2,...,n) de ‏"ل‎ formée de vecteurs
propres de l'endomorphisme ‏و‎ canoniquement associée à la matrice À.
Pour tout entier : tel que 1 > i < n, on note ‏رج‎ la valeur propre de ‏و‎ associée au vecteur
propre 1.
ii) Soit j un entier tel que 1 > j > n. On considère l'ciüomorphisme w, de R" défini par
w,(v;) = -v, et pour tout entier ‏ا‎ tel que 1 > ‏ا‎ <net ‏جا‎ j, w,(vx) = ve. Soit ١١
la matrice de l'endomorphisme ‏ريا‎ relativement à la base B.
Vérifier que ‏اا‎ est une matrice orthogonale de M,(R) et détersvasr Tr(AW,) en
fonction de Tr(A) et de ‏.رج‎ En déduire que ?, > 0. ‏ا | 00 اي‎
d) En déduire que À € S(R). N SE 8 ‏ا “7ج‎ 1 À à) +
1 ST à pré WA | ANS 3 0
7 9 :Ÿ ‏أل ب ات‎ ü à >“
‏ن نل‎ 7
‏ليا‎ LL
© Épreuve de Mathématiques ‏1ل‎ Page 4/4
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