Modèle de concours : CNC 2025 — Mathématiques I (filière MP) — Concours National Commun d'accès aux écoles d'ingénieurs

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‏سلس‎ | 00 pose A as ‏ونظرة التعليم العاليص‎
:0**: ‏او©©..‎ A SOLHHSAH 6: Paie ? ‏والبعث العلمر_والأبتكا فب‎
Royaume du Maroc
Ministère de l'Enseignement Supérieur,
de la Recherche Scientifique et de l'Innovation
‏م جامعة الحسن الثاتي بالدارالبيضاء‎
CONCOURS NATTONAL COMMUN
D’Admission dans les Établissements de Formation d’Ingénieurs et
Etablissements Assimilés
Session 2025
Épreuve de Mathématiques I
Filière : MP
Durée : 4 heures
Cette épreuve comporte 4 pages au format A4, en plus de cette page de garde.
IMPORTANT
L'usage de tout document et de tout système électronique ou informatique est interdit durant
cette épreuve.
Page de garde
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Concours National Commun - Session 2025 - Filière MP
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP,
comporte 4 pages.
L'usage de tout matériel électronique, y compris la calculatrice, est interdit
Les candidats sont informés que la qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté et
la précision des raisonnements constitueront des éléments importants pour l'appréciation des
copies. Il convient en particulier de rappeler avec précision les des questions abor-
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il
le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il
est amené à prendre.
Le sujet de cette épreuve est composé d’un exercice et d’un problème indépendants entre
eux.
Durée : 4 heures
(Noté 4 points sur 20)
Soit f une fonction continue sur R x R° à valeurs réelles. On note ‏م‎ l'application définie, pour
tout réel x pour lequel l’intégrale converge, par
On suppose de plus que f est bornée sur R x 187, c’est-à-dire :
2311 ER, V(xt)eRxR*, 0 t) | > M.
1. a) Montrer que, pour tout (x,t) € R x R*, | fte,t)e* | > Met.
b) En déduire que ‏رم‎ est définie sur R.
c) Montrer que, pour toutxz ER, lim f(x,t)e* = 0.
t—+00
2. On considère les deux fonctions réelles g et h définies sur R x R° par
g(x,t) =cos(rt) et h(x,t) =sin(rt).
a) Vérifier que w, et ‏رص‎ sont bien définies sur R.
b) Montrer, en appliquant une intégration par parties, que :
VER, (x) = 1-xon(x).
c) Montrer, par intégration par parties, que :
d) En déduire que :
7 ER, Gr) ‏خم دك‎
e) Montrer que :
Vz € ]0, +oo|, | p(u) du + / pq(u) du = 2
72 € 0, +ool, / pr(u) du - | pr(u) du = Inx.
Jo 0
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Concours National Commun - Session 2025 - Filière MP
Soit f une fonction continue sur D, x D, à valeurs réelles, où D, et D: sont deux intervalles
de R. Pour tout entier naturel n et pour tout réel + dans D», on définit la fonction J(nt) de Di
dans R par,
R** désigne l’ensemble des réels strictement positifs.
On utilise, dans tout le problème, la convention 0° = 1.
Partie 1 : Etude d’une série géométrique particulière et son application
Dans cette partie, on prend, V{x,t) E RXR, f(x,t) = 1, ainsi, on pose, pour tout
entier naturel n et pour tout (x {)ERXR, f(x) = g(nt}(x) = 2”.
1. a) Montrer que, pour tout entier natureln et pour tout nombre réel x différent de 1,
n T= PALAU:
> Re) = ‏سد‎
b) En déduire que, pour tout entier naturel non nuln et pour tout nombre réelx différent
de 1,
1 2771 = (n+1)r" +1
3 kfx-1(x) = (1— x)?
k=1 T
c) i) Justifier que, pour tout réel x dans | - 1,1, lim ‏لح “عم‎
n—+00
ii) En déduire que, pour tout réel dans | -1, 1], la série ‏ل‎ nf,_1(x) est convergente
n>1l
ét que,
>, paf 1
/ ‏"م بده‎ 2
Pour tout entier naturel j, on considère la fonction ‏ري‎ définie par S;(x) = ‏ل‎ | | | La)
n=j ‏لأ‎
‎2. a) Déterminer le rayon de convergence de la série entière définissant la fonction S;.
b) Montrer que la fonction S ; est dérivable sur | — 1, 1] et que pour tout x dans | —1,1{,
5/)2( = (j+ ‏هبر(‎
‎c) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel j et pour tout réel x dans
d) Montrer que, pour tout réel x dans | — 1, 1], la série 2 n° fn_1(x) est convergente et
que,
2 AE
ÿ, Re fn-1 (x) 2 )1- 8
n=1l T
3. Soit (0,4, P) un espace probabilisé et soit ‏م‎ un réel de 0, 1]. Soit X une variable aléa-
toire discrète sur (Q,.4,P) qui suit la loi géométrique de paramètre ‏,م‎ c’est-à-dire une
application X de Q vers KR, telle que,
X(Q)=N* et VkeN*, P(X =Kk)=p(1-p)""!
a) Montrer que X admet une espérance E(X) qu’on déterminera en fonction de p.
b) Montrer que X° admet une espérance E(X°?) qu’on déterminera en fonction de p.
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c) En déduire V(X) la valeur de la variance de X en fonction de p.
Partie 2 : La résolution d’une équation différentielle
Pour tout entier naturel n, on considère l’équation différentielle sur |0, +oo! :
(En) Y +y= par
Dans cette partie, on prend pour tout (x,t) dans R° x R**, f(x,t) — Lin
1. Montrer que, pour tout réel strictement positift, l'intégrale | J(n1)(t)dx converge.
On note ainsi Vn € N Vt 618* , h,(t) = / 1007
2. Montrer que, pour tout entier natureln., h, est dérivable sur R** et que R = ‏ربوا‎
‎3. Montrer que, pour tout entier naturel ‏,عا‎ h, est de classe C* sur R** et déterminer ‏رم‎ :
la dérivée 99 de la fonction h,, en fonction de h,14.
4. On pose pour tout entier naturel n et pour tout réel strictement positif #,
+00 7 Lt: .
LD = 1 x'e “dx
a) Vérifier que, pour tout entier naturel n et pour tout réel strictement positif #, I, (t)
b) Montrer que, pour tout entier naturel non nuln et pour tout réel strictement positif
c) Montrer que, pour tout entier natureln et pour tout réel strictement positif #,
d) En déduire que, pour tout entier natureln et pour tout réel strictement positif #,
0 nl
h°(t) +h, (é) = mel
e) Déterminer lim h,().
‏ىوض‎
‎4 7 ‏ا‎ . . pe . . 11
5. a) Résoudre sur |0, +oo![ l'équation différentielle : (EH) y +y=0
b) Montrer que, pour tout entier naturel n, l’équation différentielle (£,) admet sur
]0, +co| une et une seule solution k,, qui vérifie , lim k,(t) = 0, préciser k,.
+00 et
Partie 3 : Une autre expression de | sd
0 1+7
. L: Disc Lis . Fe k: k+ 5
1. Soit 7 un entier naturel et soit ‏مص‎ une fonction de classe 059 de 1077 dans R telle que
l'intégrale p(t)dt converge.
On considère la fonction réelle ‏ب‎ définie sur 1877 par #(x) = / p(t)dt
Montrer que 4 est de classe 711 sur R** et déterminer ‏ل “ان‎ en fonction de Ur) |
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Concours National Commun - Session 2025 — Filière MP
2. a) Montrer que, pour tout couple (t,u) de R** x R et pour tout réel s tel que s > t,
* sin(T — ü) cos(f — u) cos(s —u) * COS(T — ü)
‏"2ت | هنح _ لصتت ب ون نس نت‎
1 1 t 0 1 77
9 +66 8111): — u
b) Montrer que, pour tout couple (f,u) de 107 x R, l'intégrale / Shi) dx est
convergente et que,
+ sin(z — u COS(E — +60 Cos(z — u
fe 0, - clin) _ fre cote 0),
0 x 7 1 77
— ‏ف"‎ ! +0 8111): — u
Ainsi, on considère la fonction ‏م‎ définie sur 1877 XR par @(t,u) = / ‏الات‎ dx.
‏ل"‎ | | + sin(x — ‏م‎
‎On définit aussi la fonction 0 sur R** par 0)0( = o(t,t) = | BUS — D) dé:
c) Montrer que, pour tout entier naturelk, 0 est de classe 0 sur R**.
d) Montrer que, pour tout t ‏عل‎ R**, 09)20( + 0)0( = 7
e) Montrer que lim @(t) = 0.
t—+00
+ er + ‏)تززع‎ — 7
3. En déduire que Vt € R**, | dx = / En —4) dx
‏يج‎ 1: Ji 1
4. Déterminer la nature ‏عل‎ la série numérique D, ‏مل‎ tel que pour tout entier naturel n,
+ sin(r — n)
Un = ——— 7
Jn L
+ Sin Z
Partie 4 : Application : le calcul de | — dx
1. Montrer que — dx est une intégrale convergente .
sin x
2. a) Montrer que Vt e R**, 1 ‏حب‎ dx est convergente et que,
Jo (x+t)t
sin 7 1
| dr] > | — di
0 )2 +2 0 2+7
us [TS Si
b) Montrer que Vt € R*”, ————— dx est convergente et que,s
+© sinx + 1
PTE
Ji (x+t)x 1 À
c) Montrer que Vt € R**, |0(t) — — dx| <t(1+In(1+t)-Int).
| + sin 72
3. En déduire la valeur de | — (À,
ٍ ‏#ه+ ب‎ /sinzx\?
4. Montrer que l’intégrale [ = —— | dx est convergente et en déduire sa valeur.
+œ 1 -- 770 +00 sin x
5. Montrer que les intégrales ‏ل‎ — / —— dr et K — 1 ‏حب‎ dx sont convergentes
J0 7 0 1
et calculer leurs valeurs respectives.
FIN DE L'ÉPREUVE
Épreuve de Mathématiques I Page 4/4
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