Modèle de concours d'accès en 1re année du cycle ingénieur d'État — INPT 2008 — Physique
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En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de Élève ingénieur organisé par Institut National des Postes et Télécommunications (INPT) (2008), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- Institut National des Postes et Télécommunications (INPT)
- Grade
- Élève ingénieur
- Spécialité
- Physique
- Année
- 2008
- Pages
- 5
- Langue des questions
- français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.
| © ب mt: je à
CONCOURS D’ACCES EN PREMIERE ANNEE
DU CYCLE D’INGENIEURS D’ETAT
15 Juillet 2008
Epreuve de PHYSIQUE
(Durée :2 h 30mn)
Avertissement
Les 3 exercices sont idépendants et doivent être traités sur des feuilles séparées.
- L’appréciation des copies tient compte de la rigueur, de la clarté des raisonnements
et de la présentation.
- Encadrer vos résultats.
- Ecrire avec un stylo à bille ou à encre, bleu ou noir.
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Exercice 1.
Un fil rectiligne, représenté par un modèle infini, de Âz
directionOz, porte des charges électrostatiques positives
réparties uniformément avec la densité linéique 1 (figure 1). Un
point M de l’espace est repéré par ses coordonnées cylindriques 1
(r, 6 2), le trièdre direct ( 2 &e, &,) constitue la base locale À
cylindrique. HM = r.
1) A l’aide des propriétés de symétrie, justifier que le champ
électrostatique associé à cette distribution de charges, H
s’écrit E(M) = E(M)e,. D +
2) En exploitant les invariances de la distribution, justifier que 14 بق
le champ E(M) ne dépond que de r.
3) Par application du théorème de GAUSS, déterminer le
vecteur champ électrostatique E (M). 7
4) En déduire, à une constante près, le potentiel électrostatique Figure 1
V(M) créé en M par le fil.
Deux fils rectilignes «infinis » L: et مآ distants de 4 et parallèles à l'axe Oz
portent des charges réparties uniformément avec les densités linéiques -1 et 1.
Le plan perpendiculaire aux deux fils passant par O, est repéré par les axes Ox et Oy.
0 est le milieu du segment 0,0 O, et O; étant les traces respectives dans ce plan des
fils L; et L; (figure 2).
On rapproche les deux fils, de telle sorte qu'au cours de l'opération, le produit 2
reste constant et égal à K, avec OM = r » d.
5) Établir dans ces conditions une expression approchée du potentiel V{M) créé par les
deux fils au point M du plan situé aux distances 7 de O; et r, de O1.
6) Exprimer V{M) en fonction des coordonnées polaires r et 8 de M. On prend (0) = 0.
7) Indiquer la nature des traces dans le plan (xOy) des surfaces équipotentielles autres
que 7-0.
8) Soit EÉ(M) le vecteur champ électrostatique qui dérive du potentiel V{M). On
rappelle qu’en coordonnées cylindriques le gradient d’un champ scalaire #{M) s’écrit
gradf (M) = = ë + = SL و8 + . 8
a) Déterminer l’expression de E(M) dans la base cylindrique.
b) Établir l’équation des lignes || ECM) | = 6
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| c) Quelle est la nature de ces lignes ?
d) Déterminer l'angle a = (Ox, E(M)) en fonction de 6.
4 إ 2
de H Fu M 2 : | :
0 م : AY 5
FA dE 277 72# ا 8 إٍْ “كي تت
١ Représentation dans le plan xoy
Représentation en perspective
Figure 2
Exercice 2
Le circuit de la figure 3 est alimenté entre ses bornes "d'entrée" A et B par un
générateur qui délivre à l'instant f la tension u(t). Cette tension, sinusoïdale, a pour
amplitude complexe U,, et pour pulsation "نه
En sortie", entre les bornes 4, et B:, est placé un dipôle D d'impédance complexe Z.
1) Calculer en fonction de Z, C, هه et Z l'impédance complexe Z, du circuit vue entre
les bornes À et B (impédance d'entrée). j est le nombre complexe tel رعسو =-1.
A | © C A!
, يه | م
78 81
Figure 3
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2) En déduire la valeur عل 2 pour laquelle Z.=Z (appelée alors impédance itérative).
3) Compte tenu du résultat de la question précédente, indiquer le domaine des
pulsations pour lesquelles Z a un comportement résistif ( Z réel positif ), quelle
que soit la pulsation dans ce domaine. On donne ZL = 1 mH et C=0,2ur.
Dans toutes les questions suivantes, on prend comme valeur de Z celle qui
correspond à l'expression de la question précédente pour les très hautes fréquences
4) Donner la valeur numérique de la résistance Ro ainsi obtenue.
5) Examiner le comportement du circuit pour Z = Ry pour ن = 0 et م +. Indiquer
dans ces conditions la nature du filtre que constitue le circuit.
Exercice 3
On rappelle les équations de Maxwell dans le vide :
+ divË = 0 équation de MAXWELL-GAUSS
*+ divB - 0 équation de MAXWELL relative au flux
* TOtE = — _. équation de MAXWELL-FARADAY
+ 70208 = نب équation عل MAXWELL-AMPERE
Une onde plane progressive monochromatique, de longueur d'onde À= 6.10 7m, se
propage dans le vide. A tout instant {, son vecteur champ électrique complexe م au point
P(x, y, 2( a pour composantes cartésiennes E;,E,,E; avec :
Ex=Eexpi® où = £ (2x+2y+2) -oœt
L'amplitude Æ, vaut 1 047 . j est le nombre complexe tel que حر -1 . est ln
pulsation temporelle et ع est un scalaire réel positif. c désigne la vitesse de la lumière
dans le vide (c = 3.10% اعم ) et &o la permittivité diélectrique du vide (1/4, =9.10° SI).
On rappelle que 1eV (1 électron-volt ) vaut 1 009 joule.
1) Donner la relation entre c, Net À puis calculer la fréquence N de l'onde.
2) Calculer la valeur numérique de k.
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| 3) Indiquer l'équation cartésienne des plans d'onde puis exprimer le vecteur unitaire
de la direction de propagation de cette onde.
4) À l’aide de l’équation de MAXWELL-GAUSS, établir l'expression de E, en
fonction de 2.. Préciser le déphasage entre ces deux composantes de Ë.
5) On cherche le champ d’induction magnétique en notation complexe sous la forme
B = Boexp (—-jwt) Calculer en fonction de ء2 les composantes cartésiennes du
vecteur champ magnétique complexe B de l'onde.
6) Calculer en fonction de ة la densité d'énergie électromagnétique w au point P et à
la date f.
7) Calculer la valeur moyenne <u> de ير sur une période, en fonction de وا et م
Exprimer la valeur numérique de <u> 2ه 7
8) Calculer en fonction de ءة les composantes cartésiennes du vecteur de POYNTING
R de l'onde.
9) Calculer sa valeur moyenne temporelle < R>.
10) En déduire une relation entre < R> et <u>.Conclure sur la vitesse de
propagation de l’énergie électromagnétique dans le vide.
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Correction proposée
Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.
Ce modèle est l'épreuve de physique du concours d'accès en première année du cycle d'ingénieurs d'État de l'INPT, session du 15 juillet 2008. Durée : 2 h 30 min. Trois exercices indépendants : électrostatique (fil infini puis doublet de fils), électrocinétique (impédance itérative d'une cellule en T) et onde électromagnétique plane dans le vide. Voici une correction proposée.
💡 En électrostatique, le jury attend une justification par les symétries (plans de symétrie) et les invariances, avant tout calcul : rédigez-les en une phrase chacune.
Exercice 1 — Fil chargé et doublet de fils
1) Le plan (M, er, ez), qui contient le fil, est un plan de symétrie de la distribution ; le plan (M, er, eθ), perpendiculaire au fil infini, l'est aussi. E(M) appartient à ces deux plans, donc à leur intersection : E(M) = E(M) er.
2) La distribution est invariante par translation selon Oz et par rotation autour de Oz : E ne dépend ni de z ni de θ, E(M) = E(r).
3) Surface de Gauss : cylindre d'axe Oz, de rayon r et de hauteur h. Le flux à travers les bases est nul (E ⊥ ez) : E(r)·2πrh = λh/ε0, donc E(M) = λ/(2πε0r) er.
4) E = −dV/dr : V(M) = −(λ/(2πε0)) ln r + cste.
5) Superposition (L1 : −λ à la distance r1, L2 : +λ à la distance r2) : V(M) = (λ/(2πε0)) ln(r1/r2) + cste. Avec V(O) = 0 (en O, r1 = r2), la constante est nulle : V(M) = (λ/(2πε0)) ln(r1/r2).
6) Pour r ≫ d : r1 ≈ r + (d/2)cos θ et r2 ≈ r − (d/2)cos θ, donc ln(r1/r2) ≈ d cos θ/r. Avec λd = K : V(M) ≈ K cos θ/(2πε0r).
7) V = V0 ≠ 0 donne r = (K/(2πε0V0)) cos θ : ce sont des cercles passant par O, centrés sur l'axe Ox (tangents à Oy en O) ; V = 0 correspond à l'axe Oy.
8) a) E = −grad V : Er = K cos θ/(2πε0r²), Eθ = K sin θ/(2πε0r²), Ez = 0.
b) ‖E‖ = √(Er² + Eθ²) = K/(2πε0r²) : ‖E‖ = cste ⇔ r = cste.
c) Ce sont des cercles centrés en O.
d) L'angle β entre er et E vérifie tan β = Eθ/Er = tan θ, donc β = θ ; er fait l'angle θ avec Ox : α = (Ox, E) = 2θ.
Exercice 2 — Impédance itérative
1) Le premier condensateur est en série avec l'ensemble [L en parallèle sur (C + Z)] :
Ze = 1/(jCω) + jLω(1/(jCω) + Z)/(jLω + 1/(jCω) + Z).
2) On note a = 1/(jCω) et b = jLω. Ze = Z s'écrit (Z − a)(a + b + Z) = b(a + Z), soit Z² = a² + 2ab, avec a² = −1/(C²ω²) et ab = L/C :
Z = √(2L/C − 1/(C²ω²)).
3) Z est réel positif si 2L/C > 1/(C²ω²), soit ω > ωc = 1/√(2LC). Avec L = 1 mH et C = 0,2 µF : 2LC = 4·10⁻¹⁰ s², ωc = 5·10⁴ rad/s. Pour ω < ωc, Z est imaginaire pur.
4) Pour ω → ∞ : R0 = √(2L/C) = √(2·10⁻³/2·10⁻⁷) = 100 Ω.
5) Z = R0 :
- ω = 0 : les condensateurs sont des circuits ouverts, us = 0 ;
- ω → ∞ : les condensateurs sont des courts-circuits et la bobine un circuit ouvert, us = ue.
Le circuit est un filtre passe-haut.
Exercice 3 — Onde plane dans le vide
1) c = Nλ, d'où N = 3·10⁸/6·10⁻⁷ = 5·10¹⁴ Hz.
2) Φ = k·r − ωt avec un vecteur d'onde (k/3)(2, 2, 1), de norme k√9/3 = k. Dans le vide k = ω/c = 2π/λ : k = 2π/(6·10⁻⁷) ≈ 1,05·10⁷ m⁻¹.
3) Plans d'onde (Φ constant à t fixé) : 2x + 2y + z = cste. Direction de propagation : u = (2/3, 2/3, 1/3).
4) div E = 0 donne, pour une onde plane, k·E = 0 : 2Ex + 2Ey + Ez = 0 avec Ez = 0, donc Ey = −Ex : les deux composantes sont en opposition de phase (déphasage π).
5) Maxwell-Faraday : jk ∧ E = jωB, soit B = (u ∧ E)/c. Avec E = Ex(1, −1, 0) :
B = (Ex/(3c)) (1, 1, −4), soit Bx = By = Ex/(3c), Bz = −4Ex/(3c).
6) En réels : E = E0 cos Φ (1, −1, 0), donc E² = 2E0² cos² Φ ; B² = 18E0² cos² Φ/(9c²) = 2E0² cos² Φ/c². u = ε0E²/2 + B²/(2µ0), avec 1/µ0 = ε0c² :
u = 2ε0E0² cos² Φ (énergies électrique et magnétique égales).
7) ⟨cos² Φ⟩ = 1/2 : ⟨u⟩ = ε0E0². ε0 = 1/(4π × 9·10⁹) ≈ 8,84·10⁻¹² F/m, donc ⟨u⟩ ≈ 8,84·10⁻²⁰ J·m⁻³ ≈ 0,55 eV·m⁻³.
8) R = E ∧ B/µ0. E ∧ B = (E0² cos² Φ/(3c)) (4, 4, 2), d'où
R = ε0cE0² cos² Φ (4/3, 4/3, 2/3) = 2ε0cE0² cos² Φ · u.
9) ⟨R⟩ = ε0cE0² (2/3, 2/3, 1/3), de norme ε0cE0² ≈ 2,65·10⁻¹¹ W·m⁻².
10) ⟨R⟩ = c⟨u⟩ u : l'énergie électromagnétique se propage dans la direction u à la vitesse c, celle de l'onde.
Questions fréquentes sur ce sujet
Ce sujet est-il téléchargeable gratuitement ?
Le corrigé est-il inclus ?
Quel organisme et quel grade concerne ce sujet ?
De quelle session s'agit-il et dans quelle langue ?
Où trouver d'autres sujets du même concours ?
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