Modèle de concours d'accès en 2e année du cycle ingénieur d'État — INPT 2013 — Physique

Ce modèle est l'épreuve de physique (électromagnétisme, lignes et ondes) du concours d'accès en 2^e année de l'INPT (avec l'ANRT), session de juillet 2013, durée 1 h 30. Quatre exercices : questions de cours et calcul vectoriel, ligne de transmission, onde TE, réflexion-réfraction à une interface.

💡 Conseil : l'épreuve est courte pour quatre exercices. Traitez d'abord le cours et le calcul vectoriel (points rapides), puis la ligne (formules d'impédance ramenée), et gardez les ondes pour la fin. Notez toujours la convention utilisée (e^jωt, sens des champs) : le correcteur la vérifie.

Exercice 1

i — Cours

• a. Fréquence de coupure d'un mode : fréquence minimale f_c au-dessus de laquelle un mode (TE_mn, TM_mn) peut se propager dans un guide. Pour f < f_c, la constante de propagation devient réelle : le mode est évanescent (atténué exponentiellement). Pour un guide rectangulaire a×b vide : f_c = (c/2)·√((m/a)² + (n/b)²).
• b. Atténuateur 3 dB : 10·log(P_e/P_s) = 3 dB, soit P_s/P_e = 10^−0,3 ≈ 0,5 : la puissance de sortie est la moitié de la puissance d'entrée (tension ou champ divisé par √2).
• c. Propriétés des ondes planes (trois parmi) : E et B sont transverses (perpendiculaires à la direction de propagation u) ; E, B et u forment un trièdre direct, B = (u ∧ E)/c ; dans le vide |E| = c|B|, E et B en phase ; impédance E/H = Z₀ = √(μ₀/ε₀) ≈ 377 Ω ; le vecteur de Poynting est porté par u ; amplitude uniforme sur les plans d'onde.
• d. Réflexion totale : quand une onde passe d'un milieu d'indice n₁ vers un milieu moins réfringent n₂ < n₁, il existe un angle limite i_L tel que sin i_L = n₂/n₁. Pour i > i_L, il n'y a plus d'onde transmise propagative : toute la puissance est réfléchie (|r| = 1) ; il subsiste seulement une onde évanescente dans le second milieu. Application : fibre optique.

ii — Applications vectorielles

E = (x²yz ; xy²z² ; x²yz²) et V = 2x² + 3y² − z².

Rotationnel :

• (rot E)_x = ∂E_z/∂y − ∂E_y/∂z = x²z² − 2xy²z
• (rot E)_y = ∂E_x/∂z − ∂E_z/∂x = x²y − 2xyz²
• (rot E)_z = ∂E_y/∂x − ∂E_x/∂y = y²z² − x²z

rot E = (x²z² − 2xy²z ; x²y − 2xyz² ; y²z² − x²z)

Gradient : grad V = (∂V/∂x ; ∂V/∂y ; ∂V/∂z) = (4x ; 6y ; −2z)

Laplacien vectoriel (en cartésiennes, laplacien de chaque composante) :

• ΔE_x = Δ(x²yz) = 2yz
• ΔE_y = Δ(xy²z²) = 2xz² + 2xy²
• ΔE_z = Δ(x²yz²) = 2yz² + 2x²y

ΔE = (2yz ; 2x(y² + z²) ; 2y(x² + z²))

Exercice 2 — Ligne de transmission

Données : E_g = 10 V efficaces, Z_g = 100 − j50 Ω, ligne sans pertes, ε_r = 1,4, Z_c = 50 Ω.

A-1. Vitesse de propagation

v = c/√ε_r = 3·10⁸/√1,4 ≈ 2,54·10⁸ m/s. À f = 600 MHz : λ = v/f ≈ 0,42 m (λ₀ = 0,5 m dans le vide).

A-2. Adaptation ligne–générateur ?

Impédance ramenée à l'entrée : Z_e = Z_c·(Z_L + jZ_c tan βL)/(Z_c + jZ_L tan βL), avec βL = 2π·2,75 = 5,5π. tan(5,5π) est infini : la ligne a une longueur égale à un nombre impair de quarts d'onde (11·λ/4), elle se comporte en inverseur d'impédance :

Z_e = Z_c²/Z_L = 50²/(j50) = −j50 Ω.

L'adaptation en puissance exigerait Z_e = Z_g* = 100 + j50 Ω ; on a −j50 Ω : pas d'adaptation. De plus Z_g ≠ Z_c, donc le générateur n'est pas non plus adapté à la ligne. La charge étant purement réactive (|Γ| = 1, ROS infini), aucune puissance active n'est absorbée.

B-1. Z_min et Z_e (L = 26,50 λ, Z_L = 70 Ω)

Le sujet imprime « L = 26,50 » sans unité ; on lit L = 26,5 λ (même notation qu'en A ; réponse probable).

• Coefficient de réflexion : Γ = (70 − 50)/(70 + 50) = 1/6 ; ROS S = (1 + |Γ|)/(1 − |Γ|) = 1,4 (= Z_L/Z_c pour une charge réelle > Z_c).
• Impédance maximale (au niveau de la charge et tous les λ/2) : Z_max = S·Z_c = 70 Ω ; impédance minimale (à λ/4 de la charge) : Z_min = Z_c/S = 50/1,4 ≈ 35,7 Ω.
• L = 26,5 λ = 53·(λ/2) : une ligne de longueur multiple de λ/2 ramène la charge à l'identique : Z_e = Z_L = 70 Ω.

B-2. Puissance transmise à l'entrée

Le transfert est maximal si Z_e = Z_g* = 100 + j50 Ω ; ici Z_e = 70 Ω : la puissance n'est pas maximale.

I = E_g/(Z_g + Z_e) = 10/(170 − j50) ; |Z_g + Z_e|² = 170² + 50² = 31 400 Ω².

P = |I|²·Re(Z_e) = 100 × 70/31 400 ≈ 0,223 W (ligne sans pertes : c'est aussi la puissance reçue par la charge).

À comparer à la puissance disponible maximale E_g²/(4R_g) = 100/400 = 0,25 W.

Exercice 3 — Onde TE

E = E₀ sin(kx) e^{j(ωt + kz)} y. Le facteur e^{j(ωt + kz)} montre que l'onde se propage suivant −z.

4-1. Définition d'une onde TE

Une onde est transverse électrique lorsque son champ électrique n'a pas de composante suivant la direction de propagation (E_z = 0), le champ magnétique pouvant en avoir une. Ici E est porté par y ⊥ z : l'onde est bien TE.

4-2. L'onde est-elle plane ?

Non. Les surfaces équiphases sont les plans z = cte, mais l'amplitude E₀ sin(kx) varie avec x sur ces plans : l'onde n'est pas plane (progressive suivant z, stationnaire suivant x ; c'est la superposition de deux ondes planes de vecteurs d'onde symétriques). Comme on va le voir, B possède en outre une composante longitudinale B_z, ce qui est impossible pour une onde plane.

Remarque : pour que ce champ vérifie l'équation de propagation dans le vide, il faut ω²/c² = k² + k² = 2k², soit ω = √2·kc.

4-3. Champ magnétique

Maxwell–Faraday en notation complexe : rot E = −jωB, donc B = (j/ω) rot E.

Avec E = E_y(x, z) y : rot E = (−∂E_y/∂z ; 0 ; ∂E_y/∂x) = (−jk E_y ; 0 ; kE₀ cos(kx) e^j(ωt+kz)).

B_x = (kE₀/ω) sin(kx) e^j(ωt+kz) ; B_y = 0 ; B_z = j (kE₀/ω) cos(kx) e^j(ωt+kz)

4-4. Vecteur de Poynting moyen R = ½ Re(E ∧ H*)

H = B/μ₀. E ∧ H* = E_yy ∧ (H_x*, 0, H_z*) = (E_yH_z* ; 0 ; −E_yH_x*).

• Composante x : E_yH_z* = −j (kE₀²/μ₀ω) sin(kx) cos(kx) : purement imaginaire → partie réelle nulle.
• Composante z : −E_yH_x* = −(kE₀²/μ₀ω) sin²(kx).

R = −(k E₀²/(2μ₀ω)) sin²(kx) z

Conclusion : l'énergie se propage en moyenne uniquement suivant −z (sens de propagation) ; aucun transport moyen d'énergie suivant x, où l'onde est stationnaire (échange purement réactif). La puissance transportée est nulle sur les plans x = nπ/k (nœuds de E) et maximale pour x = (2n+1)π/(2k).

Exercice 4 — Réflexion et réfraction à une interface (n₂ > n₃)

D'après la figure : l'interface est le plan (x, z), la normale est l'axe y, l'onde incidente arrive du milieu n₂ (à droite) vers le milieu n₃, et H_i est perpendiculaire au plan de la figure (⊗, suivant −x). On note θ₁ l'angle d'incidence mesuré par rapport à la normale (si i₁ est l'angle repéré sur la figure par rapport à la surface, θ₁ = π/2 − i₁) et θ₃ l'angle de réfraction.

1. Directions et sens des champs

• Vecteurs d'onde : réfléchi dans le milieu n₂, symétrique de l'incident par rapport à la normale (θ_r = θ₁) ; transmis dans n₃ avec n₂ sin θ₁ = n₃ sin θ₃, donc θ₃ > θ₁ (il s'écarte de la normale, puisque n₃ < n₂).
• Champs H : tous perpendiculaires au plan d'incidence (suivant ± x).
• Champs E : dans le plan d'incidence, perpendiculaires à leur vecteur d'onde, avec (E, H, k) direct pour chaque onde : E_i = Z (H_i ∧ u_i), etc.
• Avec la convention imposée (à incidence normale, E_i, E_r, E_t de même sens), comme le vecteur d'onde réfléchi est inversé, H_r est de sens opposé à H_i, et H_t est de même sens que H_i.

2. Plan d'incidence et polarisation

Le plan d'incidence est le plan contenant le vecteur d'onde incident et la normale : ici le plan (y, z), celui de la figure. H étant perpendiculaire à ce plan, E est contenu dans le plan d'incidence : c'est une polarisation rectiligne parallèle, dite TM (ou « p »).

3. Coefficients de réflexion et de transmission (en amplitude de E)

À l'interface, σ = 0 et j_s = 0 : les composantes tangentielles de E et de H sont continues. Avec H = nE/(μ₀c) dans chaque milieu (même μ₀) :

• E tangentiel : (E_i + E_r) cos θ₁ = E_t cos θ₃
• H tangentiel : n₂(E_i − E_r) = n₃ E_t

En éliminant E_t :

r = E_r/E_i = (n₂ cos θ₃ − n₃ cos θ₁)/(n₂ cos θ₃ + n₃ cos θ₁)

t = E_t/E_i = 2 n₂ cos θ₁/(n₂ cos θ₃ + n₃ cos θ₁)

Vérifications : à incidence normale, r = (n₂ − n₃)/(n₂ + n₃) et t = 2n₂/(n₂ + n₃), ce qui respecte la convention de même sens. r s'annule à l'incidence de Brewster tan θ_B = n₃/n₂. Comme n₂ > n₃, si sin θ₁ > n₃/n₂, cos θ₃ devient imaginaire : |r| = 1, c'est la réflexion totale.