Modèle de concours d'accès en 2e année du cycle ingénieur d'État — INPT 2004 — Mathématiques-Informatique
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En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de Élève ingénieur organisé par Institut National des Postes et Télécommunications (INPT) (2004), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- Institut National des Postes et Télécommunications (INPT)
- Grade
- Élève ingénieur
- Spécialité
- Mathématiques-Informatique
- Année
- 2004
- Pages
- 5
- Langue des questions
- français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.
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CONCOURS D’ACCES EN DEUXIEME ANNEE
DU CYCLE D’INGENIEURS D'ETAT DE L’INPT
15- 07 -2004
EPREUVE DE MATHEMATIQUES - INFORMATIQUE
| DUREE : 3 HEURES
L'épreuve comporte deux (2) parties, une partie mathématique et une partie
informatique. Chaque partie devra être traitée sur des feuilles séparées.
- L’appréciation des copies tient compte de la rigueur, de la clarté des
_ raisonnements et de la présentation.
- Encadrer vos résultats. | :
- Ecrire avec un stylo à bille ou à encre, bleu ou noir.
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| | Partie Mathématiques > |
Exercice 1
Soient p € IN* et f : IR? — IR une fonction de classe C!, vérifiant :
(i) a > 0 tel que Vr,y € IR?, {Vf(z) — Vf(y),x — y) > al|r - زج
(üi) 334 > 0 tel que Vz,y € IR?, ||[Vf(z) - Vf(y)l| > MIz- y}
où Vf{z), (.,.) et [|.]| désignent respectivement le gradient de f en x, le produit scalaire
euclidien et 1a norme euclidienne sur IR?. :
1) Montrer que '
ul. — »|| + (ه - f(x) 2 (VS), y - (و/ ERP, لعل
2) Montrer que f est strictement convexe et que f(x) — +oo quand ج ||ء|| +co. En
déduire qu’il existe un unique z* € IR? tel que, pour tout x € IR?, f{x*) > f(x)
3} Soient باز م Al et z € IR?. Montrer que la suite (x, )1en, définie pour tout n € IN
PAT و2 = رجونة — PVf(z), est une suite de Cauchy. En déduire qu'elle converge vers z*.
Exercice 2
1) Soient X;, X2, وال des variables aléatoires indépendantes et de même loi exponentielle de
paramètre À > 0, de densité donnée par :
Xe six € IR}
gi) = 0 sinon.
Soit X{13, X (2), رقي le réarrangement par ordre croissant des variables aléatoires X; , Xa, X3.
1.a) Montrer que la densité du vecteur aléatoire )2 رو Xe, Xts)' est définie par ::
GXeA(ritaites) زع (x: ra, 23) € E 0 .
. CG: 22, (و2 = 0 sinon | | 2 3) | ‘ |
Où E = {(21,70,73) EIR* ; 0 > 21 > 22 < ta}. | |
1.b) En déduire que les variables aléatoires = X{1, Y2 = Xe - 0), 3 =. X(33 — Xe)
sont indépendantes et que, pour k = 1,2,3, Y, suit une loi exponentielle de paramètre (4 — k)A.
2) Application : Quatre personnes À, B, C'et D arrivent en même temps dans une télébou-
tique où il y a exactement trois cabines téléphoniques. Ces trois cabines sont occupées immé-
diatement par 4, B et C. D remplace le premier sorti. À, B, 0 et D quittent la téléboutique |
aussitôt après avoir terminé leur communication. On désigne, respectivement, par بل X2, X3
et X4 les variables aléatoires égales au temps d'occupation de la cabine par À, B, C'et D. Ces
variables sont supposées indépendantes, et de même loi exponentielle de paramètre À > 0.
2.a) Calculer la probabilité pour que D sorte le dernier de la téléboutique.
2.b) Donner la loi de probabilité du temps total T passé par D à la téléboutique, ainsi que
le temps moyen passé par D à la téléboutique. | |
2.c) Donner la loi de probabilité de l'instant du dernier départ, l'instant 0 étant l’instant
d'arrivée des quatre personnes à la téléboutique.
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Exercice 3
Soit f une fonction continue, bornée, intégrable telle que sa transformée de Fourier f soit
aussi intégrable.
1.a) Peut-on appliquer le théorème de Fubini pour calculer Î flyer" dy ?
1.b}) Montrer qu'il suffit de vérifier que g(0) = A d(y)dy, où و est une fonction convenable-
ment choisie, pour en déduire : f(x) = FA fly) "dy, Vr ER.
2) Soit h une fonction intégrable. Montrer que, pour tout € € IR :
| »05)04 = | h(et}f{t}dt.
free = [Cafe
3) En appliquant ce qui précède à une fonction À particulière dont on connaît la transformée
de Fourier, établir la formule d'inversion :
"2 Ne
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| Partie Informatique | |
Préliminaires : | | 0
Pour écrire les algorithmes des exercices 1 et 2, vous pouvez utiliser les pseudo types et les
pseudo instructions suivants : |
Pseudo types : | | |
لس Integer est le type des entiers |
" Char est le type des caractères
ء Boolean est le type des éléments dont les valeurs possibles sont «True » ou « False »
= Real est le type des nombres réels
“ TableaufI.N}ofT est le type d’un tableau de N éléments de type T.
Pseudo instructions oo | |
ns VeT déclare que v est une variable de type T ١
- y €vyal affecte la valeur « val » à la variable déjà déclarée v.
٠ Afficher(Expr} affiche à l’écran la valeur de l'expression « Expr » (une expression
peut être nombre ou une chaîne de caractères) ٠ |
“ Lire(v) Lit une valeur au clavier et l’affecte à la variable v.
“" L'’instruction conditionnelle I£ a la forme suivante :
If (expression booléenne )
Début Le
Fin |
Else
Début | |
" La boucle While a la forme suivante : 7 |
While (expression booléenne) D | |
Début : ا :
Fin | | 0 دي j
" La boucle For a ia forme suivante : |
For (i variant de Vi à Vf)
Début
Remarque : Vi est la valeur initialé de i et VF est sa valeur finale . La valeur de i
s’incrémente de 1 après chaque itération
ل Ceci est un commentaire */ . #تفقط1. un commentaire |
Remarque : Toute variable utilisée dans un algorithme doit être déclarée
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EXERCICE 1 : |
Soit T un tableau de 10 éléments réels strictement positifs. Ces éléments ne sont pas | |
nécessairement distincts. En utilisant les pseudo types et les pseudo instructions définis plus :
haut , écrire un algorithme qui permet de: |
- Lire au clavier les éléments du tableau T
| - Afficher la valeur d’une variable réelie Emax contenant le plus grand élément du
tableau T . |
| - Afficher les indices de Emax du tableau T.
Par exemple : Soit T 16 tableau suivant : sa, |
[8319 5ذا | 9 | 3j 2 | 8 | 9 |
[2 1 3 | 4 | 6 | 7 1 8 |] 9 [| 10 |
La variable Emax = 9
Les indices de Emax dans T sont : 4, 6 et 10 | | |
EXERCICE 2 : ١ |
En utilisant les pseudo types et les pseudo instructions définis en préliminaires, écrire
un algorithme qui permet de : ; |
- Lire au clavier une chaîne de caractères Ch (10 caractères au maximum)
(Une chaîne de caractères sera considérée comme un tableau de caractères)
- Afficher la valeur d’une variable entière N contenant le nombre exact de caractères
de la chaîne Ch. (La fonction taille(Ch) retourne le nombre exact de caractères de
la chaîne de caractères Ch)
- Afficher si Ch est un palindrome ou non
Une chaîne de caractères est un palindrome si elle peut se lire de la même façon de droite à
gauche que de gauche à droite, Ainsi, les chaînes ELLE, AZIZA, OMO sont des palindromes,
alors que les chaînes ELLA, AMI ne sont pas des palindromes.
Exemple 1: ' ْ:
| Lecture au clavier: متهم حى : |
Affichage : 5لا | se.
Affichage : La chaîne AZIZA est un palindrome 0س :
Exemp le 2: | : ه :
Lecture au clavier: حي ELLA Lis
Affichage : N=4
Affichage : La chaîne ELLA n’est pas un palindrome
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Correction proposée
Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.
Ce modèle est l'épreuve de mathématiques-informatique du concours d'accès en deuxième année du cycle d'ingénieurs d'État de l'INPT, session du 15 juillet 2004. Durée : 3 heures. Deux parties à rédiger sur des feuilles séparées : mathématiques (optimisation d'une fonction fortement convexe, statistiques d'ordre de lois exponentielles, formule d'inversion de Fourier) et informatique (deux algorithmes en pseudo-code). Voici une correction proposée.
💡 Dans la partie mathématique, citez précisément le théorème utilisé (Fubini, convergence dominée, complétude de ℝp) et vérifiez ses hypothèses : c'est l'essentiel de la note.
Partie mathématiques
Exercice 1 — Méthode du gradient à pas fixe
1) Soit φ(t) = f(x + t(y − x)) sur [0, 1] ; f étant C¹, φ′(t) = ⟨∇f(xt), y − x⟩ avec xt = x + t(y − x). Donc
f(y) − f(x) = ∫01 φ′(t) dt = ⟨∇f(x), y − x⟩ + ∫01 ⟨∇f(xt) − ∇f(x), y − x⟩ dt.
Par (i) appliqué à xt et x (xt − x = t(y − x)) : t⟨∇f(xt) − ∇f(x), y − x⟩ ≥ αt²‖y − x‖², donc l'intégrande est ≥ αt‖y − x‖² pour t > 0, et ∫01 αt dt = α/2. D'où f(y) − f(x) ≥ ⟨∇f(x), y − x⟩ + (α/2)‖x − y‖².
2) Stricte convexité : pour x ≠ y, 1) donne f(y) > f(x) + ⟨∇f(x), y − x⟩. Soit z = θx + (1 − θ)y avec θ ∈ ]0, 1[ ; en écrivant cette inégalité en z vers x et vers y, puis en combinant avec les poids θ et 1 − θ, le terme en gradient disparaît : θf(x) + (1 − θ)f(y) > f(z). f est strictement convexe.
Coercivité : avec x = 0 dans 1) et Cauchy-Schwarz, f(y) ≥ f(0) − ‖∇f(0)‖·‖y‖ + (α/2)‖y‖² → +∞ quand ‖y‖ → +∞.
Existence : l'ensemble K = {x : f(x) ≤ f(0)} est fermé (f continue), borné (coercivité) et non vide, donc compact ; f continue y atteint un minimum en x*, qui est un minimum global (hors de K, f > f(0) ≥ f(x*)). Unicité : si x1 ≠ x2 étaient deux minimiseurs, la stricte convexité donnerait f((x1 + x2)/2) < f(x1), absurde. De plus ∇f(x*) = 0 (point intérieur où f est minimale).
3) Soit Φ(x) = x − ρ∇f(x). En développant le carré puis en utilisant (i) et (ii) :
‖Φ(x) − Φ(y)‖² = ‖x − y‖² − 2ρ⟨∇f(x) − ∇f(y), x − y⟩ + ρ²‖∇f(x) − ∇f(y)‖² ≤ (1 − 2ρα + ρ²M²)‖x − y‖².
On pose k² = 1 − 2ρα + ρ²M². On a k² < 1 ⇔ ρ(ρM² − 2α) < 0 ⇔ 0 < ρ < 2α/M², ce qui est l'hypothèse ; et k² ≥ 1 − α²/M² ≥ 0 (car (i), (ii) et Cauchy-Schwarz donnent α ≤ M). Donc Φ est contractante de rapport k ∈ [0, 1[ et ‖xn+1 − xn‖ ≤ kn‖x1 − x0‖. Pour m > n :
‖xm − xn‖ ≤ (kn + … + km−1)‖x1 − x0‖ ≤ kn/(1 − k) · ‖x1 − x0‖ → 0 : (xn) est de Cauchy. ℝp étant complet, xn → ℓ. Par continuité de ∇f, ℓ = ℓ − ρ∇f(ℓ), soit ∇f(ℓ) = 0 ; alors 1) donne f(y) ≥ f(ℓ) pour tout y : ℓ est un minimiseur, donc ℓ = x* par unicité.
Exercice 2 — Lois exponentielles et téléboutique
1.a) Les Xi ont une loi à densité, donc P(deux Xi égaux) = 0. Pour A ⊂ E borélien, on découpe selon l'ordre des Xi (6 permutations σ) : P((X(1), X(2), X(3)) ∈ A) = Σσ P((Xσ(1), Xσ(2), Xσ(3)) ∈ A). Les Xi étant i.i.d., chaque vecteur permuté a la densité λ³e−λ(x1+x2+x3) sur (ℝ+*)³ ; les 6 termes sont égaux, d'où f(x1, x2, x3) = 6λ³e−λ(x1+x2+x3) 1E.
1.b) Changement de variables linéaire y1 = x1, y2 = x2 − x1, y3 = x3 − x2, de jacobien 1, qui envoie E sur (ℝ+*)³, avec x1 + x2 + x3 = 3y1 + 2y2 + y3. La densité de (Y1, Y2, Y3) est
6λ³e−λ(3y1+2y2+y3) = (3λe−3λy1)(2λe−2λy2)(λe−λy3) sur (ℝ+*)³.
Elle est produit de densités : Y1, Y2, Y3 sont indépendantes et Yk suit la loi exponentielle de paramètre (4 − k)λ.
2.a) D entre à l'instant X(1) = min(X1, X2, X3). Par l'absence de mémoire de la loi exponentielle (c'est aussi ce que traduit 1.b), les durées restantes des deux autres clients sont, à cet instant, deux exponentielles de paramètre λ indépendantes, et indépendantes de X4. Trois durées i.i.d. démarrent ensemble : chacune a la même chance d'être la plus longue.
P(D sort le dernier) = 1/3.
2.b) T = X(1) + X4 (attente puis communication), somme indépendante d'une Exp(3λ) et d'une Exp(λ). Par convolution, pour t > 0 :
fT(t) = ∫0t 3λe−3λs λe−λ(t−s) ds = (3λ/2)(e−λt − e−3λt), et E(T) = 1/(3λ) + 1/λ = 4/(3λ).
2.c) Le dernier départ a lieu à S = X(1) + max(R1, R2, X4), où le maximum de trois Exp(λ) i.i.d. est, d'après 1.b, la somme de trois exponentielles indépendantes de paramètres 3λ, 2λ et λ. Donc S est la somme de quatre exponentielles indépendantes de paramètres 3λ, 3λ, 2λ, λ. Le calcul des convolutions donne, pour t ≥ 0 :
FS(t) = P(S ≤ t) = 1 − (9/2)e−λt + 9e−2λt − (11/2 + 3λt)e−3λt, de densité fS(t) = (9λ/2)e−λt − 18λe−2λt + (27λ/2 + 9λ²t)e−3λt, et E(S) = 2/(3λ) + 1/(2λ) + 1/λ = 13/(6λ).
Exercice 3 — Formule d'inversion de Fourier
Convention : f̂(y) = ∫ℝ f(t)e−2iπty dt.
1.a) Non. ∫ f̂(y)e2iπxy dy = ∫∫ f(t)e2iπ(x−t)y dt dy, mais le module de l'intégrande vaut |f(t)| et ∫∫ℝ² |f(t)| dt dy = +∞ (rien n'est intégrable en y) : l'hypothèse du théorème de Fubini n'est pas satisfaite et on ne peut pas échanger les intégrales.
1.b) Pour x fixé, posons g(t) = f(t + x) : g est continue, bornée, intégrable et ĝ(y) = e2iπxy f̂(y) est intégrable. Alors g(0) = f(x) et ∫ ĝ(y) dy = ∫ f̂(y)e2iπxy dy. Il suffit donc d'établir g(0) = ∫ ĝ pour toute fonction g de la même classe (inversion au point 0) ; on l'applique ensuite au translaté de f.
2) ∫ f(εt)ĥ(t) dt = ∫ f(εt) [∫ h(s)e−2iπst ds] dt. Ici Fubini s'applique : ∫∫ |f(εt)h(s)| ds dt = ‖f‖1‖h‖1/ε < ∞. En échangeant puis en posant u = εt : ∫ f(εt)e−2iπst dt = (1/ε) f̂(s/ε). D'où ∫ h(s)(1/ε) f̂(s/ε) ds, et le changement s = εt donne ∫ h(εt) f̂(t) dt.
3) On prend h(t) = e−πt², dont la transformée est elle-même (ĥ = h) et ∫ h = 1. L'égalité 2) devient ∫ f(εt)e−πt² dt = ∫ e−πε²t² f̂(t) dt. Quand ε → 0, par convergence dominée (dominations ‖f‖∞e−πt² à gauche, |f̂| intégrable à droite) et continuité de f en 0 : f(0)∫ e−πt² dt = f(0) = ∫ f̂(t) dt. C'est l'inversion en 0 ; par 1.b, f(x) = ∫ℝ f̂(y)e2iπxy dy pour tout x.
Partie informatique
Exercice 1 — Maximum et ses indices
On lit le tableau, on calcule le maximum en un parcours, puis on affiche tous les indices où il est atteint (second parcours).
T : Tableau[1..10] of Real
Emax : Real
i : Integer
For (i variant de 1 à 10)
Début
Lire(T[i])
Fin
Emax ← T[1]
For (i variant de 2 à 10)
Début
If (T[i] > Emax)
Début
Emax ← T[i]
Fin
Fin
Afficher("La variable Emax = ")
Afficher(Emax)
Afficher("Les indices de Emax dans T sont : ")
For (i variant de 1 à 10)
Début
If (T[i] = Emax)
Début
Afficher(i)
Fin
Fin
Sur l'exemple : Emax = 9, indices affichés 4, 6, 10.
Exercice 2 — Palindrome
On compare Ch[i] et Ch[N − i + 1] pour i allant de 1 à N/2 ; on s'arrête dès qu'une différence est trouvée.
Ch : Tableau[1..10] of Char
N, i : Integer
pal : Boolean
Lire(Ch)
N ← taille(Ch)
Afficher("N=")
Afficher(N)
pal ← True
i ← 1
While (i <= N / 2 et pal) /* division entière */
Début
If (Ch[i] ≠ Ch[N - i + 1])
Début
pal ← False
Fin
i ← i + 1
Fin
If (pal)
Début
Afficher("La chaîne ") Afficher(Ch) Afficher(" est un palindrome")
Fin
Else
Début
Afficher("La chaîne ") Afficher(Ch) Afficher(" n'est pas un palindrome")
Fin
Contrôle : AZIZA (N = 5) compare A/A puis Z/Z → palindrome ; ELLA (N = 4) compare E/A → n'est pas un palindrome.
Questions fréquentes sur ce sujet
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