Modèle de concours d'accès en 1re année du cycle ingénieur d'État — INPT — session du 27/06/2002 — Physique
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En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de Élève ingénieur organisé par Institut National des Postes et Télécommunications (INPT) (2002), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- Institut National des Postes et Télécommunications (INPT)
- Grade
- Élève ingénieur
- Spécialité
- Physique
- Année
- 2002
- Pages
- 5
- Langue des questions
- français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.
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5 D M المعهد الوطني للبريد والمواملات السلكية واللأسلكية
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CONCOURS D'ACCES EN PREMIERE ANNEE
DU CYCLE D’INGENIEURS D'ETAT
27-06-2002
Epreuve de PHYSIQUE
(Durée :3Heures)
Avertissement
- Les 3 problèmes doivent être traités sur des feuilles séparées.
- L'appréciation des copies tient compte de la rigueur, de la clarté des
raisonnements et de la présentation.
- Encadrer vos résultats,
- Ecrire avec un stylo à bille ou à encre, bleu ou noir.
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icence N ATIQNALE DE RÉGLEMENTATION DES TÉLÉCOMMURICATIONS
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« + + 0 0 . Li] jis :
Problèmel : Etude géométrique d'une fibre à saut d'indice
Les fibres optiques sont des guides de lumière (on dit que la lumière est guidée si elle est
contrainte de se propager toujours à l'intérieur de la fibre). Elles sont utilisées notamment en
génie des télécommunications pour la transmission de l'information, et en médecine pour les
endoscopies. Les lois de l'optique géométrique, concernant la propagation de la lumière dans des
milieux d'indice variable, expliquent leur Fonctionnement.
On supposera que la lumière utilisée est monochromatique.
Une fibre optique est généralement constituée d'un fil transparent d'indice de réfraction n
entouré d'une gaine transparente d'indice de réfraction mn; > n. Les deux milieu sont supposés
homogènes et isotrapes. De la symétrie de révolution cylindrique on se contente de faire l'étude
dans un plan contenant l'axe Ox de la fibre ( figure 1).
La célérité de la lumière dans le vide este = 3,10° m.s”.
Un rayon lumineux se réfléchit alternativement sur le dioptre et fait un angle #'avec l'axe كن
(DO كد © كد 72).
Pau Fil transparent :
7 78 = كت Se
Figure 1
1} a) Soit À la longueur d'onde, dans le vide, de la lumière utilisée, A quelle condition peut an
utiliser l'approximation de l'optique géométrique ?
b)4=100um, n=1,50 , a = 50 pm. la condition précédente est-elle vérifiée ?
c) Si la condition de l'optique géométrique n'est pas vérifiée de quel caractère de la
lumière doit-on tenir compte ?
2) a) Enoncer les lais de Snell Descartes de la réfraction.
b) Rappeler la définition de l'angle limite de réfraction.
و Montrer qu'il n'y a absence de rayon réfracté dans le milieu extérieur d'indice بم que si
0 est compris entre 0 et 6.
Exprimer رق en fonction de n; et de n.
d) Application : n = 1,50 , #; = 1,49 Calculer 6.
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3) On rappelle qu'un signal lumineux se propage le long d'un ravon lumineux à la vitesse كد .
Un signal est émis au point © d'abscisse 0 à l'instant 0. Il se propage selon le trajet représenté sur
la figure 1 et il est perçu à l'instant + par un détecteur placé à l'abscisse x.
Exprimer + en fonction de م 8 net x.
4) L'angle © peut prendre toutes les valeurs comprises entre 0 et يق T aussi est compris
entre To et 10 FAT.
a) Exprimer Ar en fonction de رقي ,n et x.
b) l'intensité lumineuse de la source est une fonction du temps périodique 1ft}) de période
T représentée sur la figure 2.
La durée de chaque impulsion est tres brève devant la durée T qui sépare deux impulsions.
La source étant en ©, le détecteur est placé à l'abscisse x.
Soit '{t} l'intensité lumineuse perçue bar le détecteur.
Représenter sommairement la fonction fr), en régime
permanent, pour deux valeurs x; et x» de x tel que Ami) > 7 et
Arbo) > 7 | !
ل Soit م7 la valeur minimale de 7 au dessous de laquelle, يجيا Figure 2
au niveau du détecteur situé à la distance x, il n'existe plus |
de plage d'intensité 7” nulle entre deux impulsions.
Exprimer 7, en fonction de c, n, n; et x.
d) Quelle conclusion peut-on tirer, concernant la transmission des signaux à grande
distance ?
e) Application: nm=1,50 , n;=1,49, x=10km Calculer 7 ainsi que l'ordre de
grandeur du débit maximal du guide exprimé en nombre d'impulsions par seconde 2
Problème 2 : Etude thermodynamique d'un fusible électrique.
Un fil électrique cylindrique, de longueur Z et de rayon a << L, de conductivité électrique æ
est parcouru par un courant électrique de vecteur densité / = /, uniforme. On se place en régime
stationnaire. On suppose le fil très long de telle sorte que la température ne dépend que de r en
coordonnées cylindriques et on note à la conductivité thermique du matériau constituant le fil
supposé isotrope.
1) a) Rappeler la loi de Fourier de la conduction thermique. Que signifie le signe (-) dans
cette lai ?
b) Préciser les unités des grandeurs intervenant dans cette loi.
2) a) Donner l'expression de la puissance volumique cédée à la matière par un champ
électrique € en fonction de É et ل puis en fonction de j et &.
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Exprimer la loi locale de conservation de l'énergie thermique en régime permanent en (ظ
tenant compte de la puissance thermique volumique produite par effet joule dans le conducteur.
À partir des équations précédentes ou bien en faisant un bilan pour la couronne comprise )3
r+dr en régime permanent, montrer que la température est solution de l'équation : تع entre Fr
د د ايده | , di 77١ j 42
Fr — | +—=0. rreprésente la distance du point considéré à | مساح
rdr\ dr) ©
l'axe.
de mi ir
En déduire que T fr) est de la forme: T{r)=-=—— + 10+ 8 )4
et justifier que nécessairement «= 0.
Etait-ce prévisible ? 3.يم7 Quel est le point dont la température est la plus élevée notée
et on se donne la température de (7- لو = On suppose que l'atmosphère impose Tfr )5
fusion T- du métal. On précise que la fusion commence lorsque 7,:= Tr
a) Déterminer l'expression de B.
b) En déduire comment varie le rayon as d'un fil destiné à réaliser un fusible fondant
? ثرا pour un courant d'intensité
En réalité le fil évacue vers l'atmosphère une puissance thermique : )6
p=2%a 1 R(T{a) - Ty
est une constante telle que ah <<. En déduire comment varie le rayon ax d'un fil destiné à م où
réaliser un fusible fondant pour un courant d'intensité Ji.
r F2 | lorsque f ne dépend que de r en ب On rappelle que: div(gradf})=Af avec Af(r)=
rdr\ dr }
coordonnées cylindriques
CH EI " ٠ # = 2
Problème 3 : Etude d'un milieu à polarisation électronique
On considère un milieu infini, isotrope et contenant des électrons mobiles de masse m, de
le nombre d'électrons ou d'ions م On désigne par ع+ charge - 2 et lié à un ion fixe de charge
positifs par unité de volume, On soumet un tel milieu à une onde plane progressive harmonique
به O.P.P.H ( électromagnétique polarisée réctilignement de pulsation (
La vitesse v des électrons reste assez faible devant la célérité des ondes
راج << électromagnétiques dans le vide fv
a) Rappeler les expressions, en notation complexe, du champ électrique Ê et du champ )1
magnétique É associés à cette onde.
b) À partir des équations de Maxwell établir la relation de structure d'une ) G.P.P.H) dans
le vide.
et 8 ع En déduire la relation entre les modules de
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2) a) Exprimer la force magnétique ا et la force électrique À qui agissent sur un électran
dans le champ électromagnétique ( Ë, & ).
b) Calculer le rapport des modules de ces deux forces.
Justifier que م est négligeable devant اج
Dans la suite on néglige la force magnétique.
Chaque ion exerce, sur l'électron qui lui est associé, une force de rappelle À = “كر où Fest
une constante et représente le déplacement de l'éléctron par rapport à sa position d'équilibre en
l'absence de champ extérieur.
Nous admettrons que le champ électrique qui agit sur chaque électron n'est pas le champ de
Maxwell كع mais un champ dit local et noté بط lorsque les milieux sont faiblement polarisés, ce
champ s'exprime en fonction du champ de Maxwell ع et du vecteur polarisation À de la façon
suivante :
ارمع 13رمع + Ê = بكر
تع حك Chaque couple ) ion positif, électron ) forme un dipôle électrique de moment )3
Exprimer le vecteur polarisation Pen fonction de e, 2 et n. Quelle est l'unité de 5?
4) Ecrire l'équation du mouvement d'un électron.
5) En déduire l'équation différentielle vérifiée par À
6) On cherche une solution en régime permanent de la forme À À “الج - Eat le
vecteur d'onde.
Montrer que: “رس -æ) امم حرط Æ où ص est l'amplitude du champ ع
Exprimer ريق en fonction de 1 717 € Et EG
7) Donner la relation entre la susceptibilité relative Aa , 5, soet .مع
En déduire لبد puis la permittivité électrique relative ب en fonction de رتت €, m, @ et رنة
8) a) Représenter £&.en fonction de نه
b) Interpréter les cas limites & = &7 et © وه يج
9) Au cours de son mouvement, l'électron rayonne de l'énergie dans le milieu, on peut
modéliser le phénomène de dissipation énergétique par une force de frottement visqueux À جح - 7
où } est une constante et F le vecteur vitesse de l'électron.
Déterminer la nouvelle permittivité électrique relative &.. Représenter sa partie réelle en
fonction de ©. Comparer au résultat précédent.
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Correction proposée
Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.
Ce modèle est l'épreuve de physique du concours d'accès en première année du cycle d'ingénieurs d'État de l'INPT (Institut National des Postes et Télécommunications), session du 27 juin 2002. Durée : 3 heures. Trois problèmes indépendants : fibre optique à saut d'indice (optique géométrique), fusible électrique (conduction thermique) et milieu à polarisation électronique (ondes électromagnétiques). Voici une correction proposée.
💡 Les trois problèmes se rédigent sur des copies séparées et l'énoncé demande d'encadrer les résultats : un résultat littéral encadré, puis l'application numérique avec l'unité.
Problème 1 — Étude géométrique d'une fibre à saut d'indice
1) a) L'optique géométrique s'applique si les dimensions transverses du guide sont très grandes devant la longueur d'onde (les effets de diffraction sont alors négligeables) : a ≫ λ.
b) 2a = 100 µm et λ = 1 µm (λ/n ≈ 0,67 µm dans le fil) : le rapport est de l'ordre de 100, la condition est vérifiée.
c) Sinon il faut tenir compte du caractère ondulatoire de la lumière (diffraction, interférences : propagation par modes guidés).
2) a) Lois de Snell-Descartes de la réfraction : le rayon réfracté est dans le plan d'incidence (défini par le rayon incident et la normale au dioptre) ; les angles vérifient n1 sin i1 = n2 sin i2.
b) Pour un passage d'un milieu d'indice n vers un milieu moins réfringent n1 < n, l'angle limite il est l'angle d'incidence pour lequel l'angle de réfraction vaut π/2 : sin il = n1/n. Au-delà il y a réflexion totale.
c) L'angle d'incidence sur le dioptre fil/gaine est i = π/2 − θ. Pas de rayon réfracté (réflexion totale) si sin i ≥ n1/n, soit cos θ ≥ n1/n, c'est-à-dire 0 ≤ θ ≤ θ1 avec cos θ1 = n1/n, θ1 = Arccos(n1/n).
d) cos θ1 = 1,49/1,50 = 0,9933 : θ1 ≈ 0,116 rad ≈ 6,6°.
3) Le long du rayon, la distance parcourue pour avancer de x selon l'axe est x/cos θ, à la vitesse c/n : τ = n x/(c cos θ).
4) a) τ est minimal pour θ = 0 (τ0 = nx/c) et maximal pour θ = θ1 (nx/(c cos θ1) = n²x/(n1c)).
Δτ = (nx/c)(1/cos θ1 − 1) = n x (n − n1)/(n1 c).
b) Chaque impulsion brève, transportée par tous les rayons d'angle 0 à θ1, arrive étalée sur une durée Δτ (de τ0 à τ0 + Δτ), avec une amplitude plus faible.
- x1 (Δτ < T) : I′(t) est une suite d'impulsions élargies, de largeur Δτ, de période T, séparées par des intervalles où I′ = 0 : les impulsions restent distinguables.
- x2 (Δτ > T) : les impulsions élargies se chevauchent ; I′(t) ne s'annule plus et devient une fonction ondulée autour d'une valeur moyenne : les impulsions ne sont plus séparables.
c) La limite correspond à Δτ = T : Tm = n x (n − n1)/(n1 c).
d) Tm est proportionnelle à x : plus la liaison est longue, plus il faut espacer les impulsions. Cette dispersion intermodale limite le débit d'une fibre à saut d'indice sur grande distance (d'où l'intérêt des fibres à gradient d'indice ou monomodes, et des répéteurs).
e) Tm = 1,5 × 10³ × 0,01/(1,49 × 3·10⁸) ≈ 3,4·10⁻⁸ s ≈ 34 ns. Débit maximal ≈ 1/Tm ≈ 3·10⁷ impulsions par seconde (environ 30 Mbit/s sur 1 km).
Problème 2 — Étude thermodynamique d'un fusible électrique
1) a) Loi de Fourier : jth = −λ grad T. Le signe − traduit que la chaleur s'écoule des régions chaudes vers les régions froides (sens des températures décroissantes).
b) jth : densité de flux thermique en W·m⁻² ; λ : conductivité thermique en W·m⁻¹·K⁻¹ ; grad T en K·m⁻¹.
2) a) Puissance volumique cédée à la matière : p = j·E ; avec la loi d'Ohm locale j = σE : p = j²/σ (W·m⁻³).
b) En régime permanent, l'énergie produite dans un volume en sort par conduction : div jth = j²/σ.
3) Avec jth = −λ grad T : −λΔT = j²/σ, et en cylindriques ΔT = (1/r) d/dr(r dT/dr) : (λ/r) d/dr(r dT/dr) + j²/σ = 0. (Bilan sur la couronne r, r + dr de longueur L : le flux sortant net d/dr[−λ 2πrL dT/dr] dr égale la puissance Joule (j²/σ) 2πrL dr.)
4) d/dr(r dT/dr) = −j²r/(σλ), d'où r dT/dr = −j²r²/(2σλ) + α, puis T(r) = −j²r²/(4σλ) + α ln r + β. La température doit rester finie sur l'axe (r → 0), ce qui impose α = 0. T décroît avec r : Tmax = T(0) = β, sur l'axe. C'était prévisible : la chaleur produite dans tout le volume s'évacue vers l'extérieur, et le point le plus éloigné de la surface est le plus chaud.
5) a) T(a) = T0 : β = T0 + j²a²/(4σλ).
b) Fusion pour β = TF, avec j = IM/(πaM²) : IM²/(4π²σλaM²) = TF − T0, soit aM = IM/(2π√(σλ(TF − T0))) : le rayon est proportionnel à IM.
6) En régime permanent toute la puissance Joule sort par la surface : (j²/σ)πa²L = 2πaLh(T(a) − T0), d'où T(a) = T0 + j²a/(2σh). Alors Tmax = T0 + j²a/(2σh) + j²a²/(4σλ) ; le dernier terme est dans le rapport ah/(2λ) ≪ 1 avec le précédent : la température est quasi uniforme dans le fil. Avec j = IM/(πaM²) : TF − T0 ≈ IM²/(2π²σh aM³), donc
aM = [IM²/(2π²σh(TF − T0))]1/3 : le rayon varie comme IM2/3.
Problème 3 — Milieu à polarisation électronique
1) a) Pour une OPPH de vecteur d'onde k : E = E0 ej(k·r − ωt) et B = B0 ej(k·r − ωt).
b) Dans le vide, ∇ → jk et ∂/∂t → −jω. div E = 0 donne k·E = 0 ; div B = 0 donne k·B = 0 (onde transverse) ; rot E = −∂B/∂t donne jk ∧ E = jωB, soit la relation de structure B = (k ∧ E)/ω, avec k = ω/c (équation de propagation). (k, E, B) forme un trièdre direct et ‖B‖ = ‖E‖/c.
2) a) Fe = −eE et Fm = −e v ∧ B.
b) ‖Fm‖/‖Fe‖ ≤ vB/E = v/c ≪ 1 : la force magnétique est négligeable devant la force électrique.
3) P = n p = −n e r ; P s'exprime en C·m⁻² (moment dipolaire par unité de volume).
4) PFD sur l'électron (champ local) : m d²r/dt² = −βr − e(E + P/(3ε0)).
5) On remplace r = −P/(ne) et on multiplie par −ne : m d²P/dt² + (β − ne²/(3ε0)) P = n e² E.
6) En régime sinusoïdal d²P/dt² = −ω²P, d'où m(ω1² − ω²)P0 = ne²E0 avec ω1² = β/m − ne²/(3mε0).
7) Par définition P0 = ε0χ(ω)E0. D'où χ(ω) = ne²/(mε0(ω1² − ω²)) et εr = 1 + χ = 1 + ne²/(mε0(ω1² − ω²)).
8) a) Allure (on pose ωp² = ne²/(mε0)) : εr(0) = 1 + ωp²/ω1² > 1 ; εr croît jusqu'à +∞ quand ω → ω1 par valeurs inférieures ; juste après ω1 il part de −∞, reste négatif jusqu'à ω = √(ω1² + ωp²), puis tend vers 1 par valeurs inférieures quand ω → ∞.
b) ω = ω1 : résonance ; l'amplitude du mouvement et de la polarisation diverge, le modèle sans dissipation n'est plus valable. ω → ∞ : εr → 1 ; les électrons, trop inertes, ne suivent plus le champ et le milieu se comporte comme le vide.
9) Avec la force −hv, l'équation devient m d²P/dt² + h dP/dt + mω1²P = ne²E, et dP/dt = −jωP. D'où εr = 1 + ne²/(mε0(ω1² − ω² − jωh/m)), complexe. Partie réelle : Re εr = 1 + ωp²(ω1² − ω²)/[(ω1² − ω²)² + (hω/m)²]. Elle reste finie : maximum un peu avant ω1, valeur 1 en ω1, minimum un peu après, puis retour vers 1. Loin de ω1 on retrouve la courbe précédente ; la divergence a disparu et la partie imaginaire (positive) traduit l'absorption d'énergie par le milieu autour de la résonance.
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