Modèle de concours d'accès à la Grande École du Groupe ISCAE 2013 — Mathématiques II
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En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de Élève — Grande École organisé par Institut Supérieur de Commerce et d'Administration des Entreprises (ISCAE) (2013), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- Institut Supérieur de Commerce et d'Administration des Entreprises (ISCAE)
- Grade
- Élève — Grande École
- Spécialité
- Mathématiques
- Année
- 2013
- Pages
- 6
- Langue des questions
- français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
Mathématiques II (3 h, 20 QCM notés +2/-1/0) : espaces de matrices, fonctions et intégrales impropres, suites et séries, variables aléatoires, fonctions de plusieurs variables. Photos avec marques d'un candidat. Attention : la copie porte les marques d'un candidat sur certaines réponses.
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.
0 اا
Groupe ISCAE
CONCOURS D'ACCES À LA GRANDE ECOLE
MATHEMATIQUES 11
DUREE : 3 heures
n'est fait usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout 1.11
matériel électronique est interdite.
Seule l’utilisation d’une règle graduée est autorisée. .2
Les téléphones portables sont strictement interdits et doivent être éteints. .3
كن Les réponses aux questions devront être portées sur la grille distribuée .4
complément du sujet.
Il ne sera admis qu'une seule réponse par question. .5
Le barème suivant sera adopté: .6
Réponse correcte: +2
Réponse fausse: -1
Pas de réponse: 0
indépendantes.
Il ÿ a 20 questions totalement indépen
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Question 1 :
Soit M,(R) l'ensemble des matrices carrées d'ordre 2 muni de sa structure d'espace vectoriel et
Soit J la matrice :
On considère l'application 5 de M,(R) dans lui-même qui associe à tout élément M de
M,@R) l'élément S(M) = IMJ
L'application 5 est un automorphisme de l'espace vectoriel M,(R) .
De plus , si M et N sont deux éléments quelconques de M,(R) .ona :
S(MN)=S (M)S(N) 7
On considère les éléments :
1 0) 0 1
1= , ل D ‘| 270
0 1 10 0 1 اج
La matrice représentant l'automorphisme 5 dans la base (1, 1, K , L) est alors égale à :
-1 0 0 0 1 0 00 0 1 0 0
0 1 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 0
A) B) 0
0 0 -1 0 00 -1 0 0 0 1 0
0 0 0 -1 00 0 -1 0 0 0 -1
1 0 0 0
0 1 0 0 :
D E) Autre réponse
) 0 0 -1 0 ) 3
0 0 0 1
Question 2 : À
Soit £ la fonction définie pour tout réel X par :
f(x) =e 12)1+ 2 x à f(x) est la dérivée de
{rés avoir déterminé l'expression de J' 7 A qu Fu . _
_ de fenx),onen déduit que l'intégrale impropre 8 1
اال éponse
tien à. In2 مادم Autre 7
الام Dom |) ٍ 8
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/ Question 3 : be.
diet EN
A considère l'ensemble عر deu LD LE
atrices de la forme M=| y 2 نز où x, Yet sont des
réels x
On note @ l'application linéai
> $ éaire de 7 dans R qui à toute matrice A de F associe le nombre :
154
ٍ 1 و06
où a, désigne l'élé : ا
0 signe l'élément de la matrice À situé à l'intersection de la je ligne et de la مز
On note Ker م le noyau de و . La dimension de Ker و est alors égale à:
401 2 03 D) 4 E) Autre réponse
Question 4 :
: ى وما
Soit f,(x)= ce éixel ec f()=-0 ,# keN:
Pour quelles valeurs de k, f, estcontinue en 1?
A) ke[2,+l @> سيار Okcll IN” 11 +]
E) Autre réponse 2
Question 5 :
1 5 nat) y Sr nn +D@n+1)
0 je = 8 En jetons numérotés de 1 àn
: : 2 urne © ;
On considère un nombre entier ع >2 etune ee 2 jelORS Et 0n désigne alors par :
On extrait de cette une successivement et SAS tiré
N la variable aléatoire indiquant Le numéro du premier 126 ب
No la variable aléatoire indiquant Le numéro du 000008108 7
se: Z=Nit Ni a , :
le vue ce de ta variable aléatoire est alors égale à :
ns (n + 1)(n = 2) (n+ 5)(n—4
(n=1)(n +3) mad) Oo DES
لقان (6 :
@ Autre réponse
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Question 6 لوم ,اعم سول 5, = 9 El
La suite (S,) converge vers : نت
A)0 : B)de :; © 2 : (ه 1
7; ‘ FE) Autrréponse
Question 7: Soit X une variable aléatoire sui 5
= toire Suiv: 8 : لبا
Dre 5 1 ivant la loi exponentielle de paramètre 2=1, Fa 2
Caleuler E(X). bu A
ب 182 5 0 أرق + قعالم M <
0 8 ',: (6-1 عمس ؟ La
À éponse
Queens” tout réel m non nul, on définit la matrice A suivante : LE
0 — — x بي"
م m LA
A=\m 0 1 7
m m 0
Du des valeurs propres de À est:
Em,m) à BI Um: 2m} ; Cltm,2} if 12707 عكلاة لط réponse
Question 9 : Soit ب Xys SR. PA variables aléatoires indépendantes el suivant la même loi a"
drifommesur [0 , a]; où a est un nombre réel non nul
Onpose: 7, نحطل Ne) وح Ts À
La variance de T, est: 5
سق ا 0 ست D) 2 : (ي] au réponse
A) 1 7 B) FPE 0 جد 75 0
1 Question 10 : Soient les matrices :
LE. 3 2 1 1 0 0 À
D pui? 0 -1| p=\0 1 0 ]م M jelle que M = الام
1 0 1 1 0 0 2
0 “العررن : M'est ja matrice * uit SUR
1 A) ب 2*1 )كع "بز + (2-2 à FOR ِ جا ايز VA :.. 5) Autre réponse
مات + اع دير (777
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Question 11 : Pour tout entier naturel باد on pose دما ose أ
Log désigne le logarithme népérien, On cherche un équivalent de 1, quand n tend Vers l 5
On pourra commencer par étudier 18 monotonie de la suite Eh puis par voir la retation
récurrence liant يما à 1, et enfin par trouver un encadrement de 1,
Alors, un équivalent de 1 , quand قمعا ا vers l'infini est:
1 2 0 م ñ VE
A) —(Log2)"* : B) <(Log2)""; 0 الات p) 2, بع Autre Répons
بد # a 15
1 1 RE x
Question 12 : Pour tout entier naturel nr, on pose 4, = à
Log désigne le logarithme népérien. On cherche un équivalent de w, quand د tend vers l'infini,
1 ï ا ; de la
On pourra commencer par remarquer que (vx < 0 > 1: puis par étudier la convergence
+ : : lanta. 2 م
suite (4), définie par 1, = f Log(l+ x" )dx; puis par voir ja relation de récurrence liantu, 0
Alors. un équivalent de u, quand م tend vers l'infini est:
2 0 ا Log2. بع Autre Réponse
ج مساك B) (Log?) Le €) وح D} =
Question 13 : La somme د Don est égale à:
A) با ربع بآ © 145 Het) وا رو -- £) Autre réponse
; 95 2
ع désigne la base du logarithme népérien
S= 5 ل _ estégale à: CS
Qu stion 14 : La somme PTE ; 1
2 7 . = | â se
7 2. fi D/A® répon:
مق D): /
للم 02 13 0
mme أي لودع égale à
Question 1 : 10 5 +1)! |
Î اا قب ol D) Le L) ; £) Autre réponse
{ 6}: 0+ ل 2 e
At; Re? 2
à népérien
e désigne la base du ogarithme 18#
_yidxdy : )ماح رت
Question 16: Caleuler 1= ff, mers O(0.0), AC) لبمار رع
1 e de som 5 : ,
Dans le cas où D est le triangl - رع Autre réponse
1 C)= 3
1 B)= 4
wadifa-info.com ben boule
Question 17: On se donne les matrices . 1
S matrices inversibles P telles que P! À p = B sont de la forme -
15b—4 نز 8
HE !); » D), تر ا +4 2).
E) Autre réponse “Éb= 164 di? -8b+d 2d/°
Question 18 Soit f: R4\ {(0,0)} — R la fonction définie م
:رصخ برض ا
Alors limy)-ç00 f (ty) =
A); B)1: C) ; D)%; E)Autre réponse
Question 19 a, b, c et d étant des nombres réels. les matrices carrées A= (a) d'ordre 4 qui
0 1 0 0
ee. 1 كلدم 0 0 1 0
commutent avec la matrice J = 0 0 0
0 0 0 [ه
sont de la forme :
:لباو( uit, .لط + له (0 ;+ 67+ تنجلم ان E) Aute réponse
Question 20 Soit لصتي la fonction définie par :
Hay) = 2x2+2y+2xy-x-Y
| fprésente
8 لدطماء en A(1/6,1/6) ;
مزل minimum local en A(1/6,1 0 8) لس global en B(-1/6,1/6) ; E)Autre réponse
va - | Jocal en B(-1/6,1/6) : à
D: © un maximum
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Correction proposée
Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.
Ce modèle est l'épreuve de Mathématiques II du concours d'accès à la Grande École du Groupe ISCAE, année 2013. Durée : 3 heures, sans document ni calculatrice. QCM de 20 questions indépendantes, une seule réponse par question, barème : +2 (juste), −1 (fausse), 0 (pas de réponse). Thèmes : algèbre linéaire, séries, intégrales, probabilités et fonctions de deux variables.
💡 Attention : la copie scannée porte des réponses entourées par un candidat ; plusieurs sont fausses (Q12, Q14). Fiez-vous aux justifications ci-dessous.
Corrigé
- E (autre réponse). S(I) = J² = I ; S(J) = J³ = J ; S(K) = JKJ = diag(−1, 1) = −K ; S(L) = JLJ = (0, −1 ; 1, 0) = −L. La matrice de S dans (I, J, K, L) est diag(1, 1, −1, −1), qui ne figure pas parmi A à D.
- B : 2 ln 2. f'(x) + f(x) = e−x × ex/(1 + ex) = 1/(1 + ex). Donc ∫0+∞ f = ∫0+∞ dx/(1 + ex) − [f]0+∞ = ln 2 − (0 − ln 2) = 2 ln 2 (∫0+∞ e−x/(1 + e−x) dx = [−ln(1 + e−x)] = ln 2 ; f(x) ~ x e−x → 0).
- B : 2. ℱ est de dimension 3 (paramètres x, y, z). φ(M) = 4x − 4y + z (les quatre x sont en position i + j paire, les quatre y en position impaire, z au centre). φ est non nulle, de rang 1, donc dim Ker φ = 3 − 1 = 2.
- A : k ∈ [2 ; +∞[. Au voisinage de 1, ln x ~ x − 1, donc fk(x) ~ (x − 1)k−1, qui tend vers 0 si et seulement si k ≥ 2 (k = 1 donne la limite 1, k = 0 une limite infinie).
- C : (n + 1)(n − 2)/6. N1 et N2 suivent la loi uniforme sur {1, …, n} : V(Ni) = (n² − 1)/12. Sans remise, E(N1N2) = [ (Σi)² − Σi² ] / (n(n − 1)), d'où Cov(N1, N2) = −(n + 1)/12. V(Z) = 2(n² − 1)/12 − 2(n + 1)/12 = (n + 1)(n − 2)/6.
- B : 4e. Σ k²/k! = Σ k(k − 1)/k! + Σ k/k! = e + e = 2e ; Σ k/k! = e ; Σ 1/k! = e. Total : 2e + e + e = 4e.
- B : 0. E(Y) = ∫0+∞ ln(ex − 1) e−x dx ; avec u = e−x : ln(ex − 1) = ln(1 − u) − ln u, d'où E(Y) = ∫01 [ln(1 − u) − ln u] du = (−1) − (−1) = 0.
- D : {−1 ; 2}. A + I a ses lignes proportionnelles (L2 = m L1, L3 = m² L1) : elle est de rang 1 et de trace 3, ses valeurs propres sont 3, 0, 0. Celles de A sont donc 2 et −1 (double).
- C : a²/(n(n + 2)). Tn a pour densité n tn−1/an sur [0 ; a] : E(Tn) = na/(n + 1), V(Tn) = na²/((n + 1)²(n + 2)). V(T'n) = ((n + 1)/n)² V(Tn) = a²/(n(n + 2)).
- A : Mn = (2n − 1)M + (2 − 2n)I3. On cherche Dn = αI + βD avec D = diag(1, 1, 2) : α + β = 1 et α + 2β = 2n, d'où β = 2n − 1, α = 2 − 2n ; on conjugue par P.
- B : In ~ (2/n)(ln 2)n+1. La suite décroît (0 ≤ ln(1 + x) ≤ ln 2 < 1). En intégrant sur [0 ; 1] la dérivée de (1 + x)[ln(1 + x)]n+1, on obtient la relation In+1 + (n + 1)In = 2(ln 2)n+1. Avec 0 ≤ In+1 ≤ In, on en tire 2(ln 2)n+1/(n + 2) ≤ In ≤ 2(ln 2)n+1/(n + 1). Vérification numérique : le rapport tend vers 1.
- D : un ~ ln 2 / n. Par parties : un = ∫01 x · xn−1/(1 + xn) dx = ln 2/n − (1/n) In, avec In = ∫01 ln(1 + xn) dx ≤ ∫01 xn dx = 1/(n + 1) → 0. Donc n un → ln 2.
- C : ½(e√3 + e−√3). Σ 3n/(2n)! = Σ (√3)2n/(2n)! = ch(√3).
- A : 1. 1/(n(n + 1)) = 1/n − 1/(n + 1) : somme télescopique, SN = 1 − 1/(N + 1) → 1.
- D : ½(e − 1/e). Σn≥0 1/(2n + 1)! = sh(1).
- B : 1/4. Avec s = x + y, la portion du triangle où x + y ∈ [s ; s + ds] a une aire s ds : I = ∫01 s ln(1 + s) ds = [((s² − 1)/2) ln(1 + s)]01 − ∫01 (s − 1)/2 ds = 0 + 1/4.
- C. P−1AP = B ⇔ AP = PB. En identifiant les coefficients : a = −15b − d et c = −8b − 16d, soit P = (−15b − d, b ; −8b − 16d, d), avec la condition det P ≠ 0.
- E (autre réponse). Sur la droite y = x, f(x, x) = x⁴/x⁴ = 1 ; sur l'axe y = 0, f = 0. Deux chemins donnent deux limites différentes : la limite en (0, 0) n'existe pas.
- C : aI + bJ + cJ² + dJ³. J est le bloc de Jordan nilpotent d'ordre 4 ; en écrivant AJ = JA coefficient par coefficient, A est triangulaire supérieure de Toeplitz, c'est-à-dire un polynôme en J de degré ≤ 3.
- B. ∇f = 0 : 4x + 2y − 1 = 0 et 2x + 4y − 1 = 0, soit x = y = 1/6. La hessienne (4, 2 ; 2, 4) est définie positive (déterminant 12 > 0, trace > 0) et constante : f est convexe, le point A(1/6, 1/6) est un minimum global (f = −1/6). L'option A (minimum local) est vraie aussi mais moins précise ; la réponse attendue est B.
Récapitulatif
| Q | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Réponse | E | B | B | A | C | B | B | D | C | A |
| Q | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| Réponse | B | D | C | A | D | B | C | E | C | B |
Questions fréquentes sur ce sujet
Ce sujet est-il téléchargeable gratuitement ?
Oui. La totalité du sujet (6 pages) est consultable et téléchargeable gratuitement, sans inscription ni compte.
Le corrigé est-il inclus ?
Oui. Un corrigé proposé figure sur cette page, sous les pages du sujet : méthode de réponse et éléments attendus, rédigés par l'équipe Wadifa Info.
Quel organisme et quel grade concerne ce sujet ?
Ce sujet provient d'un concours organisé par Institut Supérieur de Commerce et d'Administration des Entreprises (ISCAE). Il concerne le grade : Élève — Grande École.
De quelle session s'agit-il et dans quelle langue ?
Session : 2013. Les questions sont en français.
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