Modèle de concours d'accès à la Grande École du Groupe ISCAE 2013 — Mathématiques I
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En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de Élève — Grande École organisé par Institut Supérieur de Commerce et d'Administration des Entreprises (ISCAE) (2013), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- Institut Supérieur de Commerce et d'Administration des Entreprises (ISCAE)
- Grade
- Élève — Grande École
- Spécialité
- Mathématiques
- Année
- 2013
- Pages
- 6
- Langue des questions
- français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
Mathématiques I (3 h, 20 QCM notés +2/-1/0) : probabilités et variables aléatoires, suites, intégrales, systèmes linéaires et matrices. Photos avec marques d'un candidat. Attention : la copie porte les marques d'un candidat sur certaines réponses.
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.
ANNEE 2013
DUREE :3 heures »
pres م
1.11 n’est fait usage d’aucun document; l'utilisation de toute calculatrice et de tout
matériel électronique est interdite. :
2. Seule l’utilisation d'une règle graduée est autorisée, 1
3. Les téléphones portables sont strictement interdits et doivent être éteints.
4, Les réponses aux questions devront être portées Sur la grille distribuée en
complément du sujet.
5, Jinesera admis qu'une seule réponse par question.
6. Le barème suivant sera adopté:
| Réponse correcte: 2
Réponse fausse: 7 1
Pas de réponse: 0
06 ntes.
| ji y a 20 questions totalement indépenda
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Pépart le sac 3 contient 2 te Succession de Sacs que l'on désigne par 5 We
re كيرد Fétun jeton blanc. jetons noirs et un jeton blanc : tous 1 gne par S1,
on ra ( : tous les autres sacs contiennent chacun un jeton 3 0 :258 ثاة 16ل
ee Si que l’on place dans le sac 5:. Puis on ti : Len م fon place dans le sac
On note B4 ne 5 ne de suite. sac S3, Puis on tire au hasard un jeton du sac S> que "ET
Fr 3 C 16 » :11
ا Alors jeton tiré du sa
pe 0 n 5 1: ac SK est blanc », et pe p(Bx) sa probabilité. ECS 4 5
Pau = 1/3p; + 2/3 :
PEL ,2 1 © 1 + وح 1/3 ;B:Pou= 2/5
D: Pin = 1/3ps - 3 fs, NS 23 - مق 1/3ك وات 1/3 + Pn +0 . .
Autre réponse #. >
ب 2 Question 2 Une urne conti
numérotées de 1 à », et on suppose que n>3, On tire au hasard et F y ل ا Successivement 3 boules de
de ea ges sont effectués sans remise, 3 تناه طامط La
obtenu dans l'ordre trois numéros conséeutifs" est: RE 1 م "On : 1 1 /
C': 1 * ببست دوزت ام
TR 5C: ———;D: — °F: > Ré
n nfn=1{n+1) FPS) D: PS E: Autre Réponse 1
Question 3 : Soit X une variable aléatoire à densité, de loi uniforme sur l'intervalle 10,1]. 1
On pose Y < - 8 in(X); B étant un nombre réel strictement positif. Lu
Déterminer l'espérance mathématique de 1 ke %
LV 4
D} Inf : E Autre réponse : م © ; A/ £ #1; B/25
Question 4 : +
Un mobile se déplace aléatoirement dans l'ensemble des sommets d'un triangle ABC de la façon suivante : si, LA,
à l'instant n, il est sur l'un quelconque des trois sommets , alors à l'instant {n#1), soit il y reste , avec une
probabilité de ? , soit il se place sur l'un des deux autres sommets ; El ceci avec la même probabilité
On note A, l'événement : “ Je mobile se trouve en À àl'instantn" ٠
mobile se trouve en Bà l'instant 8 à ; | ع1" : B, l'événement
C, l'événement : ١ Je mobile se trouve en C à l'instantn 7
ct GT p(Cn) متام ba مم P( مة : Onpose
Soit le vecteur-colonne de 2, — b, | 1 ;
Ch) 4!
j se d'ordre 3 suivante : 0
où M est la matrice carrée e L د M: X ح ريد : On a alors
Le 0 2 ] 21
ET 3 اح
x + 3 6 6 8 2 0
NUS - 1 2: 1 1 3 3
ler > D) “ 2.1 1
lex nl 6 é 36 3 2 8 e 1 )4
1 1 1 1 1 2 12 2 3 6
6 2 3 6 6 3 ا 111
6 2 3 6
Autre réponse م
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Question 5 Soit X une vari =:
rare ariable aléatoire ré 0 0 ل
définie par: ire réelle ayant pour densité de probabilité la fonction لاعف
f(x) = aexp(-— 3x*) pour tout x réel où a est une * 4,
| st une Constante à déterminer éventuellement. #7
| L'écart-type de X est: L
mas 1
3 : 17 6 ED: 7 ; E: Autre Réponse |
Question 6 : Soit 1 éatoire de sité :
X une variable aléatoire de densité de probabilité / définie sur IR par :
fe? si x+ a
حار =
0 ailleurs co
5 1 0 0 *. 1 à 7 pe
Déterminer le nombre réel m tel que : F(m) = 5° où F est la fonction de répartition de X.
2 : : 1 1 0
A/ In2 an: a+in2 ; C| a- 5 2ط : D/ =a ; E Aute réponse
Question 7: Soit a un nombre réel non nul, on considère la suite (p,),.sdéfinie par VnelN,
1,2+a"
م8 $ 0 mi
Pour quelle valeur de à, la suite (p, ),:0 définit — elle une loi de probabilité ?
A] In2 : )ما بت 8-2 + © 1 In(8-e) ; D/ : E/ Autreréponse
à Question 8 Une urne contient 3 dés équilibrés. Deux d’entre eux son! normaux : ils possèdent six faces
numérotées de 1à 6. Le troisième est truqué : il possède deux faces numérotées 1 et quatre faces portent le
numéro 6. 1
On prend un dé au Hasard dans l’ume et on effectue de manière indépendante des lancers successifs de
celui-ci. On note pour tout n entier non nul, م8 l'évènement « on obtient 6 à chacun des n premiers lancers » et
P, sa probabilité
Alors 1 1 1
1 SE ap لله D;P, - ع جوج réponse
D جاجد ره رج 0:7: a
| Question : 1 ب 79 6 98
On donne la série statistique suivante : 14,16,12,9,11,18; :
La médiane est égale à:
٠ Autre réponse
A) 9 B) 1 C) 14 D) 16 E) e rép
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ب de la sui عننستا PAIE la م خا
ue Ne (U,)., définie par
Gain +
3e : pi 20 El Au 7 ع 70 : د
ل : Question11 : Soi
اف م] Soit n qe Entier naturel non nul. On considère l'intégrale
dx à «حتع 7ج م
"0 حم D
A:-1-(n#1)lhn;B: -1-1,;C:-1 nl : D:-1 Hn+l)h3E; Autre réponse
Question 12 : Calculer l’intégrale suivante : il
(e* +72 0 [
الفا lo La 1 D) ir 1+ 1 3
In( > 2) 44 ) وي (حور ;B) He 102-ء 3 A)
E/Autre réponse. 4
L | ا 59 : 7 Question13 Caleuler l’ intégrale
Gé - 8# CS
x A 5" ' 12 2
In2 ; D: -13 17/2+ قما In2 ;C:-13/8
A:-13/4 103 * 17/6 In2 ; B:-1 3/8 In3 +173 hé
E: Autre réponse t : 9
ues réelles x, y, 2 - 4
1 سه PT
1 72-5 رو سير
85 ٍ و وو
ane est: =197-
| له 3x+1 1y ble des solutions de ce syst
à ميا ا 1:27 و))
E: Autre Réponse | : })1#0 5
1 )بو
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Question 15 Soit le système à 4 inconnues réelles x, قب et t
X— دبز 721 = -8
2x=y+32+rt—23
4x+3y+52—3=7
5x—2y+8z+51=77
Alors l'ensemble des solutions de ce système est:
A: {(2:-—31+31-2-51+39;z1); (at) € R°};B: {(-22+31+31;z-51+ 39:21); neR’};
C: {C-2z —3+31;-2-51+39;z1);(2,0 € رخ ; D: ))28:34:0:1(( ; E: Autre Réponse
Question 16 : Soit a un nombre réel et » un entier naturel non nul et soit la fonction définie sur
l'intervalle(0;+<[ deR par f(x) = D. NN six>0
| a Six —Ù
La condition nécessaire et suffisante pour que f soit continue en 005
A:a=-1 : B:a=0; بحو ; D: 21+: E: Autre réponse
| Question 17: ,
5 On considère les matrices carrées d'ordre 3 suivantes :
1 ا 1 1 2 1 0 1 0
5: قاد .5 م ايم 2° Aou
8 1 1 1 1 ل (o 1 0
| On pose: B= n QAP . Best alors égale à :
Ré = 0 0 0
Lo 0 2 0 € ae
Pas » lo 0 B) | © 212 0 010 * É
0 0 1 0 0: = 2
o o -©2
9 0 0 Je
ارم 0 0 E) Autre répo
o 0 -V2
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KR Est à
— Question 18 Près
Onconsidére Ja fonction f définie sur R DT #
MEN رد زر . * 0:27 ات 1
Soit برج la courbe représentative de f ا
La 18008016 à برج à l'origine a Pour équation
A) مك بن B)y=-x © D) y=0 E) Autre réponse
Question 19 Soit P la matrice | 5 0 ماي est inversible et son inverse Pl est égale à يسبت
LE OR
01 0 1 1 ال [ 2] ٠١ ENT ] 2 ١
Do د هه مادا A دده يواد ه
4] 5 4] 6 4 C2 LUE : CA
1 4 à | ١ 2 2 2 1 À 1
E) Autre réponse ا
Question 20 : On effectue des tirages successifs et sans remise d une boule dans une urne conter, ant +
boules blanches et 3 boules noires. Soit X Ja variable aléatoire égale au rang de sortie de la première boul
blanche, et Y Ia variable aléatoire égale au rang de sortic de la seconde boule blanche
Après avoir déterminé la loi du couple (X, Y), calculer la covariance de X et Y. Cox X,Y)
A : B/ -3 : 6 MO ; E/ Autre réponse
Correction proposée
Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.
Ce modèle est l'épreuve de Mathématiques I du concours d'accès à la Grande École du Groupe ISCAE, année 2013. Durée : 3 heures, sans document ni calculatrice. QCM de 20 questions indépendantes, une seule réponse par question, barème : +2 (juste), −1 (fausse), 0 (pas de réponse). Les thèmes : probabilités, statistiques, suites, intégrales, systèmes linéaires et matrices.
💡 Avec −1 pour une erreur et +2 pour une bonne réponse, répondre est rentable dès qu'on peut éliminer deux options sur cinq. Vérifiez toujours une réponse proposée en la réinjectant (systèmes, primitives) : c'est souvent plus rapide que de tout recalculer.
Corrigé
- B : pn+1 = 1/3 pn + 1/3. Si le jeton tiré de Sn est blanc, Sn+1 contient 2 blancs sur 3 ; sinon 1 blanc sur 3. Probabilités totales : pn+1 = (2/3)pn + (1/3)(1 − pn) = pn/3 + 1/3.
- C : 1/(n(n − 1)). Tirages ordonnés sans remise : n(n − 1)(n − 2) cas. Cas favorables (k, k + 1, k + 2) avec 1 ≤ k ≤ n − 2 : n − 2 cas. P = (n − 2)/(n(n − 1)(n − 2)).
- C : β. P(Y > y) = P(X < e−y/β) = e−y/β : Y suit la loi exponentielle de moyenne β. (Directement : E(Y) = −β ∫01 ln x dx = −β × (−1) = β.)
- E (autre réponse). an+1 = (2/3)an + (1/6)bn + (1/6)cn, et de même pour b et c : M a 2/3 sur la diagonale et 1/6 ailleurs. Aucune des matrices A à D n'a cette forme : B et C placent des 2/3 hors de la diagonale, A et D comportent des coefficients 0 et 1/2 impossibles ici.
- D : 1/√6. a e−3x² est la densité d'une loi normale centrée avec 1/(2σ²) = 3, donc σ² = 1/6 et σ = 1/√6 (et a = √(3/π)).
- B : a + ln 2. Pour x > a, F(x) = 1 − e−(x−a) ; F(m) = 1/2 ⇔ e−(m−a) = 1/2 ⇔ m = a + ln 2.
- B : ln(8 − 2e). Σ pn = (1/8)(2e + ea) = 1 ⇔ ea = 8 − 2e ≈ 2,56, donc a = ln(8 − 2e) ≈ 0,94 (non nul, et tous les pn sont positifs).
- Réponse probable : A. Avec T = « dé truqué » : P(Sn) = (2/3)(1/6)n + (1/3)(2/3)n. Les propositions correspondent en fait à la probabilité que le dé soit truqué sachant Sn : P(T | Sn) = (1/3)(2/3)n / [(2/3)(1/6)n + (1/3)(2/3)n] = 1 / [2(1/4)n + 1], soit A. Si l'on s'en tient à la lettre de l'énoncé (Pn = P(Sn)), aucune proposition ne convient et la réponse est E.
- B : 11. Série ordonnée (13 valeurs) : 7, 7, 8, 9, 9, 9, 11, 12, 14, 16, 16, 18, 18 ; la médiane est la 7ᵉ valeur.
- D : 2. Encadrement : 2n × n/(n² + 2n) ≤ un ≤ 2n × n/(n² + 1) ; les deux bornes tendent vers 2 (théorème des gendarmes).
- D : In+1 = −1 + (n + 1)In. Par parties (u = xn+1, v' = e1−x, v = −e1−x) : In+1 = [−xn+1e1−x]01 + (n + 1)∫01 xne1−x dx = −1 + (n + 1)In.
- B : 1/2 − ln((e + 1)/2) + 1/(e + 1). Avec t = ex : ∫1e dt/(t(t + 1)²) et 1/(t(t + 1)²) = 1/t − 1/(t + 1) − 1/(t + 1)². Primitive : ln t − ln(t + 1) + 1/(t + 1). Valeur : [1 − ln(e + 1) + 1/(e + 1)] − [−ln 2 + 1/2] ≈ 0,1488.
- D : −13/8 ln 3 + 17/6 ln 2. Par parties avec u = ln x, v = −1/(x² − 1) : [−ln x/(x² − 1)]23 = −ln3/8 + ln2/3 ; puis ∫23 dx/(x(x² − 1)) avec 1/(x(x² − 1)) = −1/x + 1/(2(x − 1)) + 1/(2(x + 1)), qui vaut (5/2)ln 2 − (3/2)ln 3. Total : −(13/8)ln 3 + (17/6)ln 2 ≈ 0,1787.
- B : {(−z − 1 ; 2z + 8 ; z)}. Le système est de rang 2 (L3 = 2L2 − 3L1). Vérification de B : (−z − 1) − 3(2z + 8) + 7z = −25 ; 3(−z − 1) + (2z + 8) + z = 5 ; 3(−z − 1) + 11(2z + 8) − 19z = 85. (A ne vérifie pas la première équation.)
- Réponse probable : C. On a L4 = 3L2 − L1, et la proposition C, (−2z − 3t + 31 ; −z − 5t + 39 ; z ; t), est la solution générale de L1 et L2. Mais la 3ᵉ équation telle qu'imprimée (4x + 3y + 5z − 3t = 7) n'est pas combinaison de L1 et L2 : avec elle, la solution est {(7t − 47 ; 0 ; 39 − 5t ; t)}, qui ne figure pas parmi les propositions (réponse E). Avec 4x − 3y + 5z − 3t = 7 (= 2L1 + L2), la réponse est C : le signe imprimé est très probablement une coquille.
- C : a = n. 1 − (1 + x)−n ~ nx au voisinage de 0, donc f(x) → n ; f est continue en 0 si et seulement si a = n.
- E (autre réponse). On vérifie que QP = 4I, donc Q = 4P−1 et B = P−1AP. Les colonnes de P sont des vecteurs propres de A : A(1, −√2, 1) = −√2(1, −√2, 1) ; A(−1, 0, 1) = 0 ; A(1, √2, 1) = √2(1, √2, 1). Donc B = diag(−√2, 0, √2). La proposition D, diag(√2, 0, −√2), a les valeurs dans l'ordre inverse : elle ne convient pas.
- D : y = 0. f(x)/x = e−1/x²/x → 0 quand x → 0 (l'exponentielle l'emporte), donc f'(0) = 0 et f(0) = 0 : la tangente est l'axe des abscisses.
- B. Comme Q × P = 4I (calcul direct), P−1 = Q/4 = (1/4)[[1, −√2, 1], [−2, 0, 2], [1, √2, 1]].
- A : 1/2. Les positions des 2 boules blanches parmi 5 forment une paire (i < j) équiprobable parmi C(5, 2) = 10 paires : P(X = i, Y = j) = 1/10. E(X) = 20/10 = 2 ; E(Y) = 40/10 = 4 ; E(XY) = 85/10 = 8,5. Cov(X, Y) = 8,5 − 2 × 4 = 1/2.
Récapitulatif
| Q | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Réponse | B | C | C | E | D | B | B | A* | B | D |
| Q | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| Réponse | D | B | D | B | C* | C | E | D | B | A |
* Réponses probables : voir les explications des questions 8 et 15 (énoncé ambigu ou coquille).
Questions fréquentes sur ce sujet
Ce sujet est-il téléchargeable gratuitement ?
Oui. La totalité du sujet (6 pages) est consultable et téléchargeable gratuitement, sans inscription ni compte.
Le corrigé est-il inclus ?
Oui. Un corrigé proposé figure sur cette page, sous les pages du sujet : méthode de réponse et éléments attendus, rédigés par l'équipe Wadifa Info.
Quel organisme et quel grade concerne ce sujet ?
Ce sujet provient d'un concours organisé par Institut Supérieur de Commerce et d'Administration des Entreprises (ISCAE). Il concerne le grade : Élève — Grande École.
De quelle session s'agit-il et dans quelle langue ?
Session : 2013. Les questions sont en français.
Où trouver d'autres sujets du même concours ?
Tous nos sujets de la même famille sont regroupés sur la page les sujets de concours « Accès aux écoles et instituts supérieurs ». Les sujets y sont classés par session, du plus récent au plus ancien.
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