Modèle de concours d'accès en 2e année du cycle ingénieur (INE) de l'Institut National des Postes et Télécommunications (INPT) — session du 19 juillet 2011 — Épreuve : Mathématiques

Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours d'accès en deuxième année du cycle ingénieur (INE) de l'Institut National des Postes et Télécommunications (INPT), session du mardi 19 juillet 2011, durée 1 h 30, sans document. Deux problèmes indépendants de traitement du signal : transformée de Fourier et transformée de Hilbert (problème 1), densité spectrale de puissance d'un processus aléatoire (problème 2). Voici une correction proposée.

💡 Le jury insiste sur la rigueur : chaque « déduire » doit s'appuyer explicitement sur la question précédente (changement de variable, parité, dualité). Annoncez la propriété utilisée avant le calcul.

Problème 1

1) Transformée de Fourier de la porte x(t)

X(f) = ∫_−a/2^a/2 e^−2jπft dt = [e^−2jπft/(−2jπf)]_−a/2^a/2 = (e^jπfa − e^−jπfa)/(2jπf) = sin(πfa)/(πf) pour f ≠ 0, et X(0) = a (prolongement par continuité).

2) ∫ sin(πfα)/(πf) df = sgn(α)

x est continue en t = 0 et x(0) = 1. La transformée de Fourier inverse en t = 0 donne :

x(0) = ∫_−∞^+∞ X(f) e⁰ df ⇒ ∫_−∞^+∞ sin(πfa)/(πf) df = 1 pour tout a > 0.

Pour α > 0 on prend a = α : l'intégrale vaut 1. Pour α < 0, sin(πfα) = −sin(πf|α|), donc l'intégrale vaut −1. D'où ∫ sin(πfα)/(πf) df = sgn(α) (et 0 pour α = 0).

3) TFI de 1/(πf)

TFI[1/(πf)](t) = ∫ e^2jπft/(πf) df = ∫ cos(2πft)/(πf) df + j ∫ sin(2πft)/(πf) df.

• La première intégrande est impaire en f : intégrale (en valeur principale) nulle.
• La seconde est la question 2 avec α = 2t : elle vaut sgn(2t) = sgn(t).

Donc TFI[1/(πf)] = j sgn(t).

4) TF de 1/(πt)

TF[1/(πt)](f) = ∫ e^−2jπft/(πt) dt. En renommant la variable d'intégration, c'est l'expression de la question 3 évaluée au point −f : TF[1/(πt)](f) = j sgn(−f) = −j sgn(f) (propriété de dualité).

5) TF de la transformée de Hilbert

Posons h(t) = 1/(πt). D'après la définition de la convolution :

(x * h)(t) = ∫ x(μ) h(t − μ) dμ = (1/π) ∫ x(μ)/(t − μ) dμ = x̂(t).

La transformée de Fourier d'un produit de convolution est le produit des transformées : X̂(f) = X(f)·H(f) et, d'après 4), H(f) = −j sgn(f). Donc X̂(f) = −j sgn(f) X(f).

6) Hilbert de cos(2πf₀t) et sin(2πf₀t)

• X₁(f) = ½[δ(f − f₀) + δ(f + f₀)] ⇒ X̂₁(f) = −j sgn(f)X₁(f) = (1/2j)[δ(f − f₀) − δ(f + f₀)], qui est la TF de sin(2πf₀t). x̂₁(t) = sin(2πf₀t).
• X₂(f) = (1/2j)[δ(f − f₀) − δ(f + f₀)] ⇒ X̂₂(f) = −½[δ(f − f₀) + δ(f + f₀)], TF de −cos(2πf₀t). x̂₂(t) = −cos(2πf₀t).

(La transformée de Hilbert déphase chaque composante de fréquence positive de −π/2.)

Problème 2 – DSP de Y(t) = X(t + T) − X(t − T)

Autocorrélation. Par stationnarité de X :

R_Y(τ) = E[(X(t+T) − X(t−T))(X(t+τ+T) − X(t+τ−T))]
= R_X(τ) − R_X(τ − 2T) − R_X(τ + 2T) + R_X(τ)
= 2R_X(τ) − R_X(τ − 2T) − R_X(τ + 2T).

(Détail : E[X(t+T)X(t+τ−T)] = R_X(τ − 2T) et E[X(t−T)X(t+τ+T)] = R_X(τ + 2T).) R_Y ne dépend que de τ : Y est bien stationnaire au sens large.

DSP. Par le théorème du retard, TF[R_X(τ − τ₀)] = e^{−2jπfτ₀} γ_X(f) :

γ_Y(f) = γ_X(f)[2 − e^−4jπfT − e^4jπfT] = 2γ_X(f)[1 − cos(4πfT)]

γ_Y(f) = 4 sin²(2πfT) · γ_X(f).

Interprétation : Y est la sortie du filtre de réponse H(f) = e^2jπfT − e^−2jπfT = 2j sin(2πfT), et l'on retrouve γ_Y = |H(f)|² γ_X.