Modèle de concours d'accès en 2ème année du cycle d'ingénieurs d'État — Institut National des Postes et Télécommunications (INPT) 2003 — Épreuve : QCM de mathématiques

🏢 Institut National des Postes et Télécommunications (INPT) 👤 2ème année du cycle d'ingénieurs d'État 🎯 QCM de mathématiques 📅 10/07/2003 👁️ 18 vues

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En bref

Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de 2ème année du cycle d'ingénieurs d'État organisé par Institut National des Postes et Télécommunications (INPT) (2003), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.

Organisme: Institut National des Postes et Télécommunications (INPT)
Grade: 2ème année du cycle d'ingénieurs d'État
Spécialité: QCM de mathématiques
Année: 2003
Pages: 5
Langue des questions: français
Correction: correction proposée disponible sur cette page

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Sujet de l'épreuve « QCM de mathématiques » du concours d'accès en 2ème année du cycle d'ingénieurs d'État de l'INPT (Rabat), session du 10/07/2003. Document officiel publié par l'institut sur inpt.ac.ma (copie archivée). Il compte 5 page(s), sans corrigé.

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Modèle de concours d'accès en 2ème année du cycle d'ingénieurs d'État — Institut National des Postes et Télécommunications (INPT) 2003 — Épreuve : QCM de mathématiques — page 1

📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)

Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.

Institut National des Postes
et Télécommunications
RABAT
Concours d’accès en deuxième année du Cycle
d’Ingénieurs d’Etat |
INPT — Rabat - 10 Juillet 2003
PRENOM mn
PR encens
| QCM DE MATHEMATIQUES
| DUREE : 1 H 45
Ce fascicule comporte 16 questions
DIRECTIVES
> Aucun feuillet ne doit être séparé du fascicule de questions qui sera rendu
impérativement avec les réponses pour valider le QCM
> Un seul fascicule est distribué par candidat
> L'usage de la calculatrice est interdit
> Pour chaque question, il y a 3 propositions numérotées 1, 2 et 3
> Ily a toujours une bonne réponse et une seule parmi les 3 proposées
> Répondez au QCM en utilisant le « Document Réponse » qui se trouve à la fin du
fascicule
> Pour chaque question de la grille de réponses du «Document Réponse »,
remplissez la case correspondante par le numéro de la proposition que vous
jugez bonne
BAREMES ET EVALUATION
> Réponse exacte : 1 point
> Réponse inexacte ou réponse multiple : 0 point
> Absence de réponse : 0 point
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MATHEMATIQUES (SERIE 3)
Q 1: La transformée de Fourier de la distribution tempérée définie par /{x) = sin(2rax),
a € IR, est donnée par:
1) ‏قيقد‎
‎2) ‏معددة- مده‎
3( ‏ريف‎
‎Q 2: La transformée de Fourier de la suite de distributions tempérées définie par
Ja(x) = (cos F }", pour n 6 IN*, converge dans ‏اي‎ (espace des distributions tempérées sur ZR)
vers:
1)/2x ‏ع‎
‎2) e 2
3) J2r er
Q 3: On considère l'équation différentielle (E): y’ +y = f avec f{f) = e”*,pour > 0 et nulle
pour { > 0. La transformée de Laplace de la solution de (E) nulle pour + > 0 et vérifiant y(0) = 1
est donnée par:
D Gr
AE 2 dE
3) ‏تزاج‎
‎Q 4: La distribution peigne de Dirac” À = ‏,(1-7)ة5 زل‎ a réel quelconque, et sa
transformée de Fourier vérifient:
1)A = + 5 ‏لان‎ et la transformée de Fourier de A est donnée par X° &(f- na)
2)A= Ÿ ‏امتقو‎ et ]a transformée de Fourier de À est donnée par à: ô(f- Æ)
3)A = + 1 ‏لطن‎ et la transformée de Fourier de À est donnée par a ‏مقع زح‎
Q 5 : La série entière 3° = cos(n6) (n > 0):
1) Converge uniformément pour tout réel 8 vers e**%#? sin(zsin 6)
2) Converge uniformément pour tout réel ‏ق‎ vers e**%#{# cos(z sin 8)
3) Est le développement en série de Fourier de ‏تم‎ 0405( sin(zsin 9)
‏و‎ 6 : La série donnée par g(z) = 1-35 {-1}"==+8>(-1)" ‏د‎ est le développement en
nel ‏اسم‎
‎série de Laurent de la fonction f{z) = Pa sur le domaine suivant:
1} Ii > 2
2)2<El<3
3) [2 > 3
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907: L'intégrale 8 d, C* étant un cercle de centre O et de TayOn 7 > 1 parcouru dans
le sens trigonométrique direct, vaut:
1) 2ix(1 - 1)
2) 2ir(L — 1)
98: Soit {{r) = 1 sur [-a, a] avec a > 0 et nulle en dehors de [-a,a]. Le produit de
convolution + f'est:
1) continu sur ZR à support inclus dans [-2a,2a]
2) discontinu en —a et a à Support inclus dans [24,24]
3) dérivable sur ZR à support inclus dans [-2a, 2a]
Q9: Soit F et G des 50118-65030865 vectoriels de dimensions finies d'un espace de Hilbert £.
On note p; et pc les projections othogonales respectivement sur F et G. Si F ‏ح‎ G on a:
l)pc Pa = pc et poepr = pr
2)pa epr = pre pc = 6
3)(-pc}(1-pr) = 1- Pc (] : opérateur identité) ë
Q10 : Soit £ un espace de Hilbert muni du produit scalaire > .,. >et(x, ( une suite de 7 On
dit que (x;) converge faiblement vers un élément x € E, ce qu'on note (x, ) — x, si pour tout
‏إلا © ل(‎ 018 > y,x, >< y,x >. On suppose que (x:) — x et [x,]l + |xl. On a:
1) La convergence de (x,) implique la convergence faible de (xx) et la limite x peut ne pas
être unique
2) La convergence faible de (Xn) implique la convergence de (x,) et la limite x est unique
3) Il existe des formes linéaires de ‏جر‎ qui ne peuvent pas se mettre sous forme d'un produit
scalaire
911 : Soit f impaire, 2x périodique, définie sur ]0,r [par f{t) = 1, (0) et fr) étant
quelconques. On 2:
1) = > +625 sin(2p + 1(7 sur 0,7] et > Des
2) 0) = Z ES sin(2p)t sur 10,7] et Z ‏علد‎ = +
3) A4) = 7 ‏حلي‎ Sin(2p + 2(1 sur 10,7] et Z Sr =0
Q12 : La transformée de Fourier de la fonction Ja définie par f,(x) = ‏قب‎ (a > 0) est
donnée par:
1) Fat) ‏اع‎
‎2) Ft) = ‏8ع‎
‎3) Fa(t) = ‏م‎
‎us ‏نمادج المباريات من موقع وظيفة إن‎
wadifa-info.com ‏قع وظيفة إنفو‎

Q13: La transformée de Laplace de la fonction f, nulle pour + > 0 et égale à Le-s(a > 0)
pour 2 > O, vaut:
1) ‏جل‎ pour Rep) > +
2) ST pour Re(p) > -2L
3) ‏جب‎ pour Re(p) > ‏ل‎
Q14: La limite dans D' (espace des distributions sur ZR) de la suite de fonctions
fn(8) = nel, quand n + oo, vaut:
2) 6 (6 : Distribution de Dirac)
3) 26
Q15: La dérivée dans D' (espace des distributions sur IR) de la fonction /{f) = Y(r) cos(r),
avec Y(?) = 1 pour £ > 0 et ‏0ل‎ = 0 pour 2 > 0, est donnée par: |
1) -[)2( sin(r) + 26
2) —-Y(P) cos(r) — 6
3) —Y(i) sin(r) + 6
Q16: L’inverse de convolution dans D! (espace des distributions causales sur IR) de la
distribution 6” - 551 + 66 (i.e., la distribution 7> D} telle que 7+)8” — 551 + 66) = 6), est
donné par:
1)T= Y(i)(e - e2!)
2)T= Y(#)(e' — e2!)
3) T = Y(f)(e5 — et) |
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Document Réponse
Partie Mathématique
SERIE 3
‏يح حم سم‎
Questions
‏ض َس‎ | |
Q10 |
Qui |
Q12 5 |
Q13 | |
Q14 | |
| 015 | |
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Correction proposée

Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.

Ce fascicule est le QCM de mathématiques (série 3) du concours d'accès en 2^e année du cycle d'ingénieurs d'État de l'INPT – Rabat, session du 10 juillet 2003, durée 1 h 45, calculatrice interdite. 16 questions, 3 propositions chacune, une seule bonne réponse ; barème : 1 point par réponse exacte, 0 pour une réponse fausse, multiple ou absente. Voici une correction proposée.

💡 Convention : les propositions utilisent la transformée de Fourier F(ν) = ∫ f(x) e^−2iπνx dx (c'est elle qui donne δ_a pour e^2iπax en Q1 et e^−2πa|t| en Q12). Gardez-la pour tout le QCM. Une erreur ne coûte rien de plus qu'une absence de réponse : répondez à tout.

Q	Réponse	Justification
1	1	sin(2πax) = (e^2iπax − e^−2iπax)/(2i) et F(e^2iπax) = δ_a, donc F = (δ_a − δ_−a)/(2i).
2	3 (réponse probable)	n ln cos(x/√n) → −x²/2 et \|f_n\| ≤ 1, donc f_n → e^−x²/2 dans S′ ; la transformée de Fourier étant continue sur S′, la limite est F(e^−x²/2) = √(2π) e^−2π²ν². L'exposant imprimé « −2πx² » semble avoir perdu le carré de π ; la seule proposition avec le bon facteur √(2π) et la bonne forme est la 3.
3	1	Laplace : pY − y(0) + Y = 1/(p+1), soit (p+1)Y = 1 + 1/(p+1), d'où Y = (p+2)/(p+1)².
4	3 (réponse probable)	Formule de Poisson : Δ = (1/a) Σ e^−2iπnt/a (bon dans 1 et 3). La transformée directe est F(Δ) = Σ e^−2iπnaf = (1/a) Σ δ(f − n/a). La proposition 1 donne Σ δ(f − na), faux ; la 3 a la bonne forme Σ e^−2iπanf, mais avec un facteur a en trop tel qu'imprimé. C'est la proposition la plus proche.
5	2	Σ zⁿcos(nθ)/n! = (e^{ze^iθ} + e^{ze^−iθ})/2 = e^{z cos θ} cos(z sin θ). La convergence est uniforme en θ car le terme général est majoré par \|z\|ⁿ/n!.
6	3	f = 1 + 3/(z+2) − 8/(z+3). Les deux séries sont en puissances de 1/z : 3/(z+2) = −3Σ(−1)ⁿ2ⁿ⁻¹/zⁿ pour \|z\| > 2 et −8/(z+3) = 8Σ(−1)ⁿ3ⁿ⁻¹/zⁿ pour \|z\| > 3, donc \|z\| > 3.
7	3	Avec w = 1/z, l'intégrale devient ∮_\|w\|=1/r e^w/(w(1+w)) dw. Seul w = 0 est intérieur, de résidu 1, d'où 2iπ. Vérification : Res₋₁ = 1/e et Res₀ = 1 − 1/e, de somme 1.
8	1	f∗f(x) = (2a − \|x\|)⁺ : fonction « triangle », continue, de support [−2a, 2a] et non dérivable en 0 et en ±2a.
9	1 (réponse probable)	F ⊂ G ⇒ p_G∘p_F = p_F et p_G² = p_G : la 1 est vraie, la 2 est fausse (p_G∘p_F = p_F ≠ p_G). Attention : la 3 est aussi exacte, puisque (I − p_G)(I − p_F) = I − p_F − p_G + p_Gp_F = I − p_G. La question a donc deux propositions vraies. La 1, propriété directe de l'inclusion, est la réponse la plus vraisemblablement attendue.
10	2	‖x_n − x‖² = ‖x_n‖² − 2⟨x_n, x⟩ + ‖x‖² → ‖x‖² − 2‖x‖² + ‖x‖² = 0 : convergence forte, et la limite est unique. La 1 est fausse (limite unique). La 3 est fausse pour les formes linéaires continues (théorème de Riesz).
11	1	b_n = (2/π)∫₀^π sin(nt) dt = 4/(nπ) pour n impair, 0 sinon. En t = π/2 : 1 = (4/π)Σ(−1)^p/(2p+1), donc la somme vaut π/4.
12	2	F(1/(x² + a²)) = (π/a) e^−2πa\|t\| ; en multipliant par a/π, on obtient F_a(t) = e^−2πa\|t\| (on a bien F_a(0) = ∫ f_a = 1).
13	1	(1/a)∫₀^∞ e^−t/ae^−pt dt = (1/a)/(p + 1/a) = 1/(ap + 1), pour Re(p) > −1/a. La 2 oublie le facteur 1/a.
14	3	f_n ≥ 0, ∫ n e^−n\|t\| dt = 2 et la masse se concentre en 0, donc la limite est 2δ.
15	3	Formule des sauts : (Y cos t)′ = −Y(t) sin t + [cos 0]·δ = −Y(t) sin t + δ.
16	1	T = Y(t)z(t), où z″ − 5z′ + 6z = 0, z(0) = 0 et z′(0) = 1. Racines 2 et 3, d'où z = e^3t − e^2t (z′(0) = 3 − 2 = 1).

Grille récapitulative : 1-1, 2-3, 3-1, 4-3, 5-2, 6-3, 7-3, 8-1, 9-1, 10-2, 11-1, 12-2, 13-1, 14-3, 15-3, 16-1.

💡 Q2, Q4 et Q9 comportent une imprécision dans l'énoncé tel qu'imprimé (exposant, facteur a, deux propositions vraies) : les réponses retenues sont les plus proches du résultat exact, établi dans la justification.

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Questions fréquentes sur ce sujet

Ce sujet est-il téléchargeable gratuitement ?

Oui. La totalité du sujet (5 pages) est consultable et téléchargeable gratuitement, sans inscription ni compte.

Le corrigé est-il inclus ?

Oui. Un corrigé proposé figure sur cette page, sous les pages du sujet : méthode de réponse et éléments attendus, rédigés par l'équipe Wadifa Info.

Quel organisme et quel grade concerne ce sujet ?

Ce sujet provient d'un concours organisé par Institut National des Postes et Télécommunications (INPT). Il concerne le grade : 2ème année du cycle d'ingénieurs d'État.

De quelle session s'agit-il et dans quelle langue ?

Session : 10/07/2003. Les questions sont en français.

Où trouver d'autres sujets du même concours ?

Tous nos sujets de la même famille sont regroupés sur la page les sujets de concours « Accès aux écoles et instituts supérieurs ». Les sujets y sont classés par session, du plus récent au plus ancien.

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