Modèle de concours d'accès en 2ème année du cycle d'ingénieurs d'État — Institut National des Postes et Télécommunications (INPT) 2000 — Épreuve : Mathématiques

Cette épreuve est l'épreuve de mathématiques du concours d'accès en 2^e année du cycle d'ingénieurs d'État de l'Institut National des Postes et Télécommunications (INPT), session du 18 juillet 2000, durée 3 heures. Quatre exercices indépendants : fonction Gamma d'Euler, distributions (dérivées de Dirac), projections sur des convexes dans un espace de Hilbert, et caractérisation de la loi normale. Voici une correction proposée.

💡 Méthode : chaque exercice est un grand classique (Gamma, Dirac, projections, Cochran). Rédigez proprement les hypothèses des théorèmes utilisés (convergence dominée, caractérisation de la projection, indépendance) : c'est ce que le barème récompense.

Exercice 1 — Fonction Gamma d'Euler

1) a) Existence de I_n(x)

f_n est nulle sur [n, +∞[, donc I_n(x) = ∫₀ⁿ t^x−1(1 − t/n)ⁿ dt. Sur ]0, n], f_n est continue et 0 ≤ f_n(t) ≤ t^x−1. Comme x > 0, t^x−1 est intégrable au voisinage de 0 (Riemann, exposant 1 − x < 1). Donc I_n(x) existe.

1) b) Relation entre A(k) et A(k−1), valeur de I_n(x)

Pour 1 ≤ k ≤ n, intégration par parties dans A(k−1) = ∫₀¹ u^x+k−2(1−u)^n−k+1 du, en intégrant u^x+k−2 :

A(k−1) = [u^x+k−1(1−u)^n−k+1/(x+k−1)]₀¹ + ((n−k+1)/(x+k−1)) ∫₀¹ u^x+k−1(1−u)^n−k du.

Le crochet est nul (x+k−1 > 0 et n−k+1 ≥ 1), d'où A(k−1) = ((n−k+1)/(x+k−1)) · A(k).

Le changement de variable t = nu donne I_n(x) = n^x ∫₀¹ u^x−1(1−u)ⁿ du = n^x A(0). En itérant : A(0) = [n(n−1)…1 / (x(x+1)…(x+n−1))] · A(n), et A(n) = ∫₀¹ u^x+n−1 du = 1/(x+n). Donc :

I_n(x) = n! n^x / ∏_p=0ⁿ (x+p).

2) Limite de I_n(x)

• Convergence simple : pour t fixé et n > t, (1 − t/n)ⁿ = exp(n ln(1 − t/n)) → e^−t, donc f_n(t) → t^x−1e^−t.
• Domination : ln(1 − s) ≤ −s pour 0 ≤ s < 1, donc (1 − t/n)ⁿ ≤ e^−t et 0 ≤ f_n(t) ≤ t^x−1e^−t, intégrable sur ]0, +∞[.

Par convergence dominée, I_n(x) → Γ(x), c'est-à-dire Γ(x) = lim n! n^x ∏_p=0ⁿ 1/(x+p) (formule de Gauss).

3) Formule de Weierstrass

Γ(x) > 0, donc 1/Γ(x) = lim x ∏_p=1ⁿ (1 + x/p) · n^−x (on a divisé chaque facteur x+p par p, ce qui absorbe n!). Notons H_n = 1 + 1/2 + … + 1/n. Alors n^−x = e^{−x ln n} = e^{x(H_n − ln n)} · ∏_p=1ⁿ e^−x/p, d'où

1/Γ(x) = lim x · e^{x(H_n − ln n)} · ∏_p=1ⁿ (1 + x/p) e^−x/p.

Comme H_n − ln n → γ, le facteur exponentiel tend vers e^γx ; le produit partiel converge donc aussi, et 1/Γ(x) = x e^γx ∏_n≥1 (1 + x/n) e^−x/n.

4) Prolongement holomorphe à ℂ \ ℤ⁻

Posons u_n(z) = (1 + z/n)e^−z/n, fonction entière. Le développement (1+w)e^−w = 1 − w²/2 + … donne une constante C telle que |(1+w)e^−w − 1| ≤ C|w|² pour |w| ≤ 1/2. Sur un disque |z| ≤ R et pour n ≥ 2R : |u_n(z) − 1| ≤ CR²/n², terme général d'une série convergente. Le produit infini converge donc uniformément sur tout compact, et G(z) = z e^γz ∏ u_n(z) est entière, ses zéros étant exactement 0, −1, −2, … (zéros des facteurs).

Ainsi 1/G est holomorphe sur ℂ \ ℤ⁻ (ouvert connexe) et coïncide avec Γ sur ℝ₊^* d'après 3). C'est le prolongement cherché (unique par le principe des zéros isolés).

Exercice 2 — Produit de x^p ou de f par δ^(q)

1) x^pδ^(q)

Pour φ test : ⟨x^pδ^(q), φ⟩ = ⟨δ^(q), x^pφ⟩ = (−1)^q(x^pφ)^(q)(0). Leibniz : (x^pφ)^(q)(0) = Σ_k C_q^k(x^p)^(k)(0) φ^(q−k)(0), et (x^p)^(k)(0) vaut p! si k = p, 0 sinon.

• Si p > q : aucun terme k = p, donc x^pδ^(q) = 0.
• Si p ≤ q : ⟨x^pδ^(q), φ⟩ = (−1)^q (q!/(q−p)!) φ^(q−p)(0). Or φ^(q−p)(0) = (−1)^q−p⟨δ^(q−p), φ⟩, et (−1)^q(−1)^q−p = (−1)^p. D'où x^pδ^(q) = (−1)^p (q!/(q−p)!) δ^(q−p).

2) Formule pour fδ^(q)

Taylor à l'ordre q en 0 : f(x) = Σ_p=0^q f^(p)(0) x^p/p! + x^q+1g(x), g régulière. Le même calcul de Leibniz montre que x^q+1g δ^(q) = 0 (toutes les dérivées d'ordre ≤ q de x^q+1g sont nulles en 0). Avec 1) :

fδ^(q) = Σ_p=0^q (f^(p)(0)/p!) (−1)^p (q!/(q−p)!) δ^(q−p) = Σ_p=0^q (−1)^p C_q^p f^(p)(0) δ^(q−p).

3) (sin x)δ′ et (cos x)δ′

Pour q = 1 : fδ′ = f(0)δ′ − f′(0)δ.

• sin 0 = 0, sin′(0) = 1 : (sin x)δ′ = −δ.
• cos 0 = 1, cos′(0) = 0 : (cos x)δ′ = δ′.

4) (x^pδ^(q)) ∗ (x^mδ⁽ⁿ⁾)

On utilise δ^(a) ∗ δ^(b) = δ^(a+b) (convolution de distributions à support compact).

• Si p ≤ q et m ≤ n : (x^pδ^(q)) ∗ (x^mδ⁽ⁿ⁾) = (−1)^p+m · q! n! / ((q−p)!(n−m)!) · δ^{(q+n−p−m)}.
• Si p > q ou m > n : l'un des facteurs est nul, le produit de convolution est 0.

Exercice 3 — Méthode des projections moyennées

Outil : pour un convexe fermé non vide K, p = P_K(u) est caractérisé par p ∈ K et ⟨u − p, c − p⟩ ≤ 0 pour tout c ∈ K ; de plus d(u, K) = ‖u − P_K(u)‖.

1)

‖c − u_n‖² = ‖(c − u_nⁱ) + (u_nⁱ − u_n)‖² = ‖c − u_nⁱ‖² + ‖u_nⁱ − u_n‖² + 2⟨c − u_nⁱ, u_nⁱ − u_n⟩. Le produit scalaire vaut −⟨u_n − u_nⁱ, c − u_nⁱ⟩ ≥ 0. Comme ‖u_nⁱ − u_n‖ = d(u_n, C_i) : d(u_n, C_i)² ≤ ‖c − u_n‖² − ‖u_nⁱ − c‖².

2)

u_n+1 − v = (1/N) Σ (u_nⁱ − v). Par l'inégalité triangulaire puis Cauchy-Schwarz (ou convexité de ‖·‖²) : ‖u_n+1 − v‖² ≤ ((1/N) Σ ‖u_nⁱ − v‖)² ≤ (1/N) Σ ‖u_nⁱ − v‖².

3)

Si c ∈ C, alors c ∈ C_i pour tout i. On somme 1) sur i et on divise par N, puis on applique 2) avec v = c : (1/N) Σ d(u_n, C_i)² ≤ ‖u_n − c‖² − (1/N) Σ ‖u_nⁱ − c‖² ≤ ‖u_n − c‖² − ‖u_n+1 − c‖².

4)

Le membre de gauche de 3) est ≥ 0, donc (‖u_n − c‖) est décroissante et minorée par 0 : elle converge vers ℓ ≥ 0. Alors ‖u_n − c‖² − ‖u_n+1 − c‖² → ℓ² − ℓ² = 0, donc chaque terme positif d(u_n, C_i)² → 0 : lim d(u_n, C_i) = 0 pour tout i.

5)

Pour c ∈ C fixé, ‖u_n − c‖ ≤ ‖u₀ − c‖ : la suite est bornée dans E de dimension finie. Par Bolzano-Weierstrass, elle admet une sous-suite convergente vers un û ∈ E.

6)

• û ∈ C : d(·, C_i) est 1-lipschitzienne, donc d(û, C_i) = lim_n∈S d(u_n, C_i) = 0 ; C_i fermé ⇒ û ∈ C_i pour tout i, donc û ∈ C. De même ũ ∈ C.
• D'après 4) avec c = û, ‖u_n − û‖ converge ; le long de S sa limite est 0, donc ‖u_n − û‖ → 0 pour toute la suite. En passant à la limite le long de T : ‖ũ − û‖ = 0, soit û = ũ.

Conclusion : toute valeur d'adhérence est égale à û et ‖u_n − û‖ → 0 ; la suite (u_n) converge dans E vers û ∈ C, qui est une solution du problème.

Exercice 4 — Moyenne et variance empiriques, caractérisation de la loi normale

1) a) Loi de nΣ²/σ²

nΣ²/σ² = Σ_i ((X_i − μ)/σ)², somme des carrés de n variables N(0, 1) indépendantes : nΣ²/σ² ∼ χ²(n).

1) b) Indépendance de X̄ et S²

Cas μ = 0. Soit P une matrice orthogonale dont la première ligne est (1/√n, …, 1/√n), et Y = PX. X est un vecteur gaussien de covariance σ²I, donc Y est gaussien de covariance σ²PP^T = σ²I : Y₁, …, Y_n sont indépendantes, de loi N(0, σ²). On a Y₁ = √n X̄ et Σ Y_i² = Σ X_i² (P conserve la norme), donc nS² = Σ X_i² − n X̄² = Y₂² + … + Y_n². X̄ est fonction de Y₁, S² de (Y₂, …, Y_n) : ils sont indépendants.

Cas général : X_i = μ + X′_i avec X′_i centrées ; X̄ = μ + X̄′ et S² = S′² (S² est invariante par translation). L'indépendance subsiste.

1) c) Loi de nS²/σ²

Avec μ = 0 : nS²/σ² = Σ_i=2ⁿ (Y_i/σ)², somme de n − 1 carrés de N(0, 1) indépendantes : χ²(n − 1). Pour μ quelconque, S² = S′², même loi.

2) a) Réciproque (μ = 0)

Espérance : nS² = Σ X_i² − nX̄², E(Σ X_i²) = nσ², E(nX̄²) = n·Var(X̄) = σ². Donc E(nS²) = (n − 1)σ².

Avec l'indépendance : nX̄ = Σ X_j, donc E(nS² e^itnX̄) = E(nS²)·E(e^itΣX_j) = (n − 1)σ² φⁿ(t).

Calcul direct : nS² = (1 − 1/n) Σ X_j² − (1/n) Σ_j≠k X_jX_k. Les X_i ayant un moment d'ordre 2, φ est C², avec φ′(t) = E(iX e^itX) et φ″(t) = −E(X² e^itX). Par indépendance :

• E(X_j² e^itΣX) = −φ″(t) φⁿ⁻¹(t) ;
• pour j ≠ k : E(X_jX_k e^itΣX) = (E(X e^itX))² φⁿ⁻² = (−iφ′)² φⁿ⁻² = −φ′² φⁿ⁻².

D'où E(nS² e^itnX̄) = (n − 1)(−φ″φⁿ⁻¹) − (1/n)·n(n − 1)(−φ′²φⁿ⁻²) = (n − 1)(φ′²φⁿ⁻² − φ″φⁿ⁻¹).

En égalant les deux expressions et en divisant par (n − 1)φⁿ (n ≥ 2, et φ ≠ 0 au voisinage de 0) : φ″/φ − (φ′/φ)² = −σ², avec φ(0) = 1 et φ′(0) = iE(X) = 0.

Résolution : sur le plus grand intervalle I ∋ 0 où φ ne s'annule pas, soit ψ = ln φ (détermination continue, ψ(0) = 0). Alors ψ″ = φ″/φ − (φ′/φ)² = −σ², ψ′(0) = 0, donc ψ(t) = −σ²t²/2 et φ(t) = e^−σ²t²/2 sur I. Si I avait une borne finie t₀, on aurait φ(t₀) = 0 par définition et φ(t₀) = e^{−σ²t₀²/2} ≠ 0 par continuité : contradiction. Donc I = ℝ, φ est la fonction caractéristique de N(0, σ²) et, la fonction caractéristique caractérisant la loi, X_i ∼ N(0, σ²).

2) b) Cas μ quelconque

On pose X′_i = X_i − μ : variables i.i.d. centrées de variance σ², avec X̄′ = X̄ − μ et S′² = S². X̄′ et S′² sont des fonctions respectives de X̄ et de S², donc restent indépendantes. D'après a), X′_i ∼ N(0, σ²), donc X_i ∼ N(μ, σ²) : l'hypothèse μ = 0 n'était pas nécessaire.