Modèle de concours d'accès en 1ère année du cycle d'ingénieurs d'État — Institut National des Postes et Télécommunications (INPT) 2005 — Épreuve : Mathématiques
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En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de 1ère année du cycle d'ingénieurs d'État organisé par Institut National des Postes et Télécommunications (INPT) (2005), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- Institut National des Postes et Télécommunications (INPT)
- Grade
- 1ère année du cycle d'ingénieurs d'État
- Spécialité
- Mathématiques
- Année
- 2005
- Pages
- 3
- Langue des questions
- français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
Sujet de l'épreuve « Mathématiques » du concours d'accès en 1ère année du cycle d'ingénieurs d'État de l'INPT (Rabat), session du 19/07/2005. Document officiel publié par l'institut sur inpt.ac.ma (copie archivée). Il compte 3 page(s), sans corrigé.
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.
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CONCOURS D’ACCES EN PREMIERE ANNEE |
DU CYCLE D’INGENIEURS D’ETAT -
19-07-2005
Epreuve de MATHEMATIQUES
Durée : 2 heures 15 minutes)
Avertissement :
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements interviendront
pour une part importante dans l'appréciation des copies. On pourra admettre les
résultats d'une question pour traiter les suivantes.
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Exercice 1
I) Soit f et و deux fonctions de classe 09 sur IR et ما م fonction de IR dans IR définie par
VrEeR, y(x)= FA g(t)f(xt)dt.
I. 1. a) Soit و € IR. Montrer que, pour tout ع > 0, il existe a > 0 tel que
هه > ام — Vte({0,1], |f(xot + ht) — f(xot)l > ©
(On pourra utiliser la continuité uniforme de f sur tout intervalle compact).
I. 1. b) Montrer que la fonction est continue sur IR.
I. 2. a) Soit xo € IR. Montrer que, pour tout € > 0, il existe a > 0 tel que
lhl<a جح Vtel0,1], |f(xot + At) — f(xot) — htf'(tot)| > .اما
I. 2. b) Montrer que la fonction est dérivable sur IR et que
761, (x) = 1 ta(t)f'(xt)dt.
I. 2. c) Montrer que est de classe 09 sur IR.
II) Soit ع l’espace vectoriel sur IR des fonctions de IR dans IR de classe C® et F l’application
de € dans € définie par
70 65, F(Y) = zx,
où بع désigne la fonction x æ#(x).
II. 1) Montrer que F est un endomorphisme de €, injectif et non surjectif.
II. 2) Soit 0 € €, montrer que
7 61, (x) =#(0)+zx [ )ب
II. 3) On désigne par 7) l’ensemble des fonctions # € ع telles que Ÿ(0) = 0. Montrer que H
est l’image de € par F.
II. 4) Soit f un élément de 2 qui n’appartient pas à Æ. On désigne par 7 le sous-espace
vectoriel de ع engendré par f. Montrer que دع H@ 7٠
لكككسش جب EEE
Exercice 2
Soit E un espace euclidien de dimension finie n (n > 1). Pour tout x, y de Æ, le produit
scalaire de x et y sera noté (x | (ن et la norme sera notée ||x|| = 4/(x|x). Soit u un endomorphisme
symétrique de Æ, non nul, de valeurs propres (distinctes ou non, mais nécessairement réelles)
مما ب .روخ برل rangées dans l’ordre croissant (A > ول < ... > À,). Soit enfin (e1,€2,...,e,) une
base orthonormée de E.
1) a) Montrer que pour tout vecteur x de E,ona: *اإعالي > (u(x)|x) < Allr| F2:
1) b) Pour quels vecteurs zx l’une des deux inégalités ci-dessus est-elle une égalité +
2) On suppose ici que la matrice M = (mi;)i,5=1,..n de u pour la base (e1,e2,...,e,) vérifie :
Vi,j e{l;..in}t, mx 20.
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Soit 2: = 3 2:6: un vecteur propre unitaire associé à la plus grande valeur propre À,. On lui
associe z° = زج |rile:.
Montrer que u(x*) = À,r* et que À, > 0.
3) Soit À une matrice quelconque à n lignes et n colonnes, à coefficients réels. On pose
S— 5 (A +) (‘A dénote la transposée de A). On note ده (resp. a,) la plus petite (resp. la plus
grande) valeur propre de 5. Montrer que si À admet des valeurs propres réelles, elles appartiennent
nécessairement à l’intervalle [a:,a,]. Qu’en déduit-on lorsque À est antisymétrique ?
Exercice 3
SE حلت . بج
1) Soit مه = 1 et pour n entier strictement positif,
2.4.6...2n 22 (n!)?2
On = 2 ]Î = نتنب ,
+ 1.3.5...)2+1( (Cn+1)l
A l’aide de la formule de Stirling
nl = n'tie "\2r,
n— +00
+00 1
Calculer lim a,4/n et en déduire la nature de la série ———.
n—+oo 7" ف 2 an(2n + 2
+00 1 2+ 1
2) Déterminer, 71, l’ensemble des points réels x tels que la série . — Cn +1ÿ converge.
an (2n
n=0 "74 هن
Montrer que cette série converge normalement sur 7 et que sa somme F(x) est une fonction
continue sur 1.
3) a) Montrer que pour tout 0 € ]- 5 ; 3) on a :
+00 : 2n+1
1 (sin@)"
SEC ارم
An (2n +1) وحور
3) b) En admettant la formule de Wallis a, = 1 : (sin 0)?*#*146, calculer
A = اج م
وح (2n + 1)?
4) Soit B = زج —. Montrer que B — À — à et trouver B.
n=1l n°
5) On définit, pour tout n entier strictement positif, la fonction مه sur [0,1] par u,(0) = 0 et
pour + €]0,1], u,(t) = —-t" Int.
Pour quelle valeur de t € [0, 1] la fonction u, atteint elle son maximum ? Quel est ce maximum ?
Montrer que la série Su, converge normalement sur [0,1] et calculer sa somme.
6) En déduire que
1 +00 1
Int In(1 —t)dt — 8 ٌ-زكزططوططأأ!أل5 0
Î 2 n(n + 1)?
7) En utilisant ce qui précède calculer Î Int In(1 —t)dt.
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ب 5 re 6 eo £ =
Correction proposée
Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.
Épreuve de mathématiques du concours d'accès en 1re année du cycle d'ingénieurs d'État de l'INPT, session du 19 juillet 2005. Durée : 2 heures 15 minutes. Trois exercices : intégrale à paramètre et espace des fonctions C∞, endomorphismes symétriques (quotient de Rayleigh), séries numériques et calcul de ζ(2). Voici une correction proposée.
💡 Épreuve courte (2 h 15) : l'exercice 3 est très guidé et rapporte vite ; ne le laissez pas pour la fin.
Exercice 1
I) φ(x) = ∫01 g(t)f(xt) dt
- 1. a) f est uniformément continue sur K = [−|x0| − 1, |x0| + 1] : pour ε > 0, il existe η > 0 tel que u, v ∈ K et |u − v| < η ⇒ |f(u) − f(v)| < ε. Avec α = min(η, 1) : si |h| < α et t ∈ [0,1], x0t et x0t + ht sont dans K et distants de |h|t < η.
- 1. b) |φ(x0 + h) − φ(x0)| ≤ ∫01|g(t)|·|f(x0t + ht) − f(x0t)| dt ≤ ε∫01|g| : φ continue.
- 2. a) Accroissements finis : f(x0t + ht) − f(x0t) − htf'(x0t) = ht(f'(c) − f'(x0t)) avec c entre x0t et x0t + ht ; la continuité uniforme de f' sur K (même α) donne une majoration par |h|t·ε ≤ ε|h|.
- 2. b) |(φ(x0+h) − φ(x0))/h − ∫tg(t)f'(x0t)dt| ≤ ε∫|g| pour |h| < α : φ'(x) = ∫01 t g(t) f'(xt) dt.
- 2. c) φ' a la même forme, avec (tg(t), f') à la place de (g, f), toutes deux C∞. Par récurrence φ(k)(x) = ∫01tkg(t)f(k)(xt)dt existe pour tout k : φ est C∞.
II) F(ψ) = xψ
- 1) xψ est C∞ et F est linéaire. Si xψ = 0, ψ est nulle sur ℝ* donc en 0 par continuité : F injectif. Toute image s'annule en 0, donc la constante 1 n'est pas atteinte : F non surjectif.
- 2) ψ(x) − ψ(0) = ∫0xψ'(s)ds, et s = tx donne x∫01ψ'(tx)dt.
- 3) Im F ⊂ H (xψ s'annule en 0). Si ψ ∈ H : ψ = xχ avec χ(x) = ∫01ψ'(tx)dt, qui est C∞ par I (g = 1, f = ψ'). Donc ψ = F(χ) : H = Im F.
- 4) f(0) ≠ 0. Tout ψ s'écrit ψ = (ψ − (ψ(0)/f(0))f) + (ψ(0)/f(0))f, le premier terme dans H. Si λf ∈ H, λf(0) = 0, donc λ = 0. E = H ⊕ 𝓕.
Exercice 2
- 1) a) Théorème spectral : b.o.n. (vi) de vecteurs propres. Pour x = Σyivi : (u(x)|x) = Σλiyi², compris entre λ1Σyi² = λ1‖x‖² et λn‖x‖².
- 1) b) Égalité à droite ⇔ Σ(λn − λi)yi² = 0 ⇔ yi = 0 dès que λi < λn ⇔ x ∈ Ker(u − λnid). De même, égalité à gauche ⇔ x ∈ Ker(u − λ1id).
- 2) ‖x*‖ = ‖x‖ = 1 et, les mij étant ≥ 0 : (u(x*)|x*) = Σmij|xi||xj| ≥ Σmijxixj = (u(x)|x) = λn. Avec 1 a), (u(x*)|x*) = λn‖x*‖² : cas d'égalité, donc par 1 b) u(x*) = λnx*. Enfin λn = Σmij|xi||xj| ≥ 0 ; si λn = 0, toutes les valeurs propres sont ≤ 0 alors que Σλi = tr M = Σmii ≥ 0 : elles seraient toutes nulles et u = 0, exclu. Donc λn > 0.
- 3) Si AX = λX avec λ réel et X réel non nul : tXSX = ½(tXAX + tXtAX) = tXAX (un scalaire est égal à son transposé) = λ‖X‖². S est symétrique, donc par 1 a) α1‖X‖² ≤ λ‖X‖² ≤ αn‖X‖² : λ ∈ [α1, αn]. Si A est antisymétrique, S = 0 et α1 = αn = 0 : la seule valeur propre réelle possible de A est 0.
Exercice 3
- 1) Stirling : (n!)² ~ 2π n2n+1e−2n et (2n+1)! = (2n+1)(2n)! ~ (2n+1)(2n)2n+½e−2n√(2π). D'où an ~ 2π√n/((2n+1)√2·√(2π)) = √π·√n/(2n+1), et an√n → √π/2. Alors 1/(an(2n+1)²) ~ 1/(2√π n3/2) : série de Riemann d'exposant 3/2 > 1, convergente.
- 2) |terme| ~ |x|2n+1/(2√π n3/2) : divergence grossière si |x| > 1, convergence si |x| ≤ 1. I = [−1, 1]. Sur I, |terme| ≤ 1/(an(2n+1)²), sommable (1) : convergence normale, termes continus, donc F continue sur I.
- 3) a) 1/(an(2n+1)²) = (2n)!/(4n(n!)²(2n+1)). Pour |x| < 1, série binomiale : (1 − x²)−1/2 = Σ(2n)!/(4n(n!)²)x2n ; en intégrant, arcsin x = F(x) sur ]−1,1[, puis sur [−1,1] par continuité des deux membres. Avec x = sin θ, θ ∈ [−π/2, π/2] : θ = Σ(sin θ)2n+1/(an(2n+1)²).
- 3) b) On intègre sur [0, π/2] (convergence normale, |sin θ| ≤ 1) : π²/8 = Σ(1/(an(2n+1)²))·an, donc A = Σ1/(2n+1)² = π²/8.
- 4) B − A = Σk≥11/(2k)² = B/4, donc (3/4)B = A et B = π²/6.
- 5) un est continue sur [0,1] (tnln t → 0), positive, et un'(t) = −(tn−1/n)(n ln t + 1) s'annule en t = e−1/n (croissante puis décroissante) : max un = 1/(e n²). Série normalement convergente sur [0,1]. Somme : pour t ∈ ]0,1[, −ln t·Σtn/n = ln t·ln(1 − t) ; elle vaut 0 en t = 0 et t = 1.
- 6) Convergence normale sur [0,1] ⇒ intégration terme à terme, et ∫01tnln t dt = −1/(n+1)² (par parties) : ∫01ln t ln(1 − t)dt = Σ 1/(n(n+1)²).
- 7) 1/(n(n+1)²) = 1/n − 1/(n+1) − 1/(n+1)² (au numérateur : (n+1)² − n(n+1) − n = 1). La somme télescopique vaut 1 et Σ1/(n+1)² = π²/6 − 1, donc ∫01ln t ln(1 − t) dt = 2 − π²/6 ≈ 0,355.
Questions fréquentes sur ce sujet
Ce sujet est-il téléchargeable gratuitement ?
Oui. La totalité du sujet (3 pages) est consultable et téléchargeable gratuitement, sans inscription ni compte.
Le corrigé est-il inclus ?
Oui. Un corrigé proposé figure sur cette page, sous les pages du sujet : méthode de réponse et éléments attendus, rédigés par l'équipe Wadifa Info.
Quel organisme et quel grade concerne ce sujet ?
Ce sujet provient d'un concours organisé par Institut National des Postes et Télécommunications (INPT). Il concerne le grade : 1ère année du cycle d'ingénieurs d'État.
De quelle session s'agit-il et dans quelle langue ?
Session : 19/07/2005. Les questions sont en français.
Où trouver d'autres sujets du même concours ?
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