Modèle de concours d'accès en 1ère année du cycle d'ingénieurs d'État — Institut National des Postes et Télécommunications (INPT) 2003 — Épreuve : Physique

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UE 4 entorse
CONCOURS D’ACCES EN PREMIERE ANNEE
DU CYCLE D’INGENIEURS D'ETAT
24-06-2003
Epreuve de PHYSIQUE
(Durée : 3Heures)
Avertissement
- Chaque problème doit être traité sur des feuilles séparées.
- L’appréciation des copies tient compte de la rigueur. de la clarté des
raisonnements et de la présentation.
- Encadrer vos résultats.
- Ecrire avec un stylo à bille ou à encre, bleu ou noir.
- Préciser la numérotation de la question traitée.
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Le sujet comporte un problème d ‘électromagnétisme et un exercice d'électrocinét ique
PROBLEME ELECTROMAGNETISME
On se propose d'étudier le comportement d'une onde électromagnétique lorsqu'elle
pénètre dans un gaz ionisé qu'on appelle plasma. L'ionisation du gaz peut être produite
artificiellement ou naturellement comme dans l'ionosphère, zone de l'atmosphère qui
s'étend entre 60 et 1 000 km d'altitude, et présentant une forte densité en ions et en
électrons. Cette ionisation est un phénomène déterminant pour les télécommunications car
les ondes radioélectriques, courtes et longues, sont réfléchies par les différentes couches
de l'atmosphère.
On modélise le plasma par un gaz ionisé électriquement neutre sous faible pression,
contenant par unité de volume, N ions positifs de masse M et de charge +e, et N électrons de
masse m de charge -<. On pourra considérer le gaz comme un milieu homogène et isotrope
de permittivité set de perméabilité magnétique lu identiques à celles du vide.
19 10 -21 0 9 3
On donne: e=1,610 © m=0,9.10 kg M=1,67.10 kg N= 5,10 ions/m
La célérité des ondes électromagnétiques dans le vide est: c = 3.10 m/s
3 1 7
£o= (367.10 ) SI = 4.10 SI.
1) On considère la propagation dans le plasma d'une onde plane progressive
monochromatique de pulsation w de vecteur d'onde k. représentée en notation complexe par
le champ électrique :
ifont-k 2
‏أ ا ا‎ est le nombre complexe tel que 2 -
a) Rappeler l'expression de la force électrique £ s'exerçcant sur une particule chargée
de charge q en fonction de ‏ع‎ et q
b) Rappeler l'expression de la force magnétique À s'exerçant sur une particule de
charge q et de vitesse 7en fonction de q, Îet 4
c) En déduire le rapport des modules ( f,/f) en fonction de v et ‏ف‎ quelle condition
l'action sur les charges du champ magnétique de l'onde est-elle très inférieure à celle du
champ électrique?
On 500005670 cette condition vérifiée dans la suite et on négligera la pesanteur et
les interactions ion-ion, ion-électron ou électron-électron.
d) Ecrire la relation fondamentale de la dynamique pour un ion positif de vitesse 7 et
pour un électron de vitesse ÿ
e) En déduire, en notation complexe, les vitesses 76+ 7 ‏مع‎ régime sinusoïdal forcé.
f Montrer que la densité de courant volumique dans le plasma s'écrit /=Ne(ÿ - ÿ)
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g) Montrer que l'on peut caractériser le milieu par une conductivité électrique
complexe y, définie par /= ‏كل‎ que l'on exprimera en fonction de N. e, m, M et w. Simplifier
l'expression obtenue en comparant les valeurs de m et M. On fera cette approximation dans
la suite.
AN: calculer y si © = 6.0 1 O rad/s.
Dans les questions suivantes, on considère la propagation dans le plasma d'une onde plane
monochromatique de pulsation w, polarisée suivant Ox et se propageant suivant les z > 0. On
lanotera: Ê=£e""" avec À = Hé.
On suppose que le plasma est localement neutre ( p = 0 ) à tout instant.
2) a) Ecrire les équations de Maxwell dans le plasma. En déduire ١ ‘équation de
propagation vérifiée par ‏ع‎
On donne rot(rotÂ) = grad(divÂ) - AÀ
b} Déterminer la relation de dispersion k = ‏زه‎ des ondes dans le plasma,
c) Montrer qu'il existe une pulsation caractéristique ‏ونه‎ au dessous de laguelle la
propagation n'est pas possible c'est-à-dire k°? < 0. Exprimer w, en fonction de N. e. m. et ‏رت‎
‎Calculer la valeur numérique de la fréquence f, correspondante.
3) On suppose dans cette question que l'on a w < ‏وق‎
a) Déterminer l'expression du champ électrique de l'onde, et en déduire celle du
champ magnétique
b) Calculer la distance au bout de laquelle l'amplitude du champ électrique est égale à
196 de son amplitude à l'origine Es pour une onde de pulsation ‏نه‎ =10° rad/s.
c) Déterminer le vecteur de Poynting K et calculer sa valeur moyenne <> sur une
période T. Conclusion?
4) On suppose dans cette question que l'on a w > ‏مه‎
a) Déterminer l'expression du champ 5 ‏عل‎ l'onde dans le plasma. Que peut-on dire de
l'amplitude de l'onde dans ce cas? Comparer avec les résultats de la question 3).
b) Déterminer la densité volumique de courant J ainsi que la vitesse ÿdes électrons.
c) Calculer la vitesse de phase ‏ود‎ et la vitesse de groupe v,. En déduire une relation
entre vs. ve. et c.
d) Définir le vecteur de Poynting À et préciser son unité.
e) Déterminer le vecteur de Poynting À . En déduire sa valeur moyenne sur une
période T en fonction de Es. ‏,وت‎ €, w, et Op
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f) À partir de div (# ) et des équations de Maxwell établir l'équation locale d'énergie
électromagnétique faisant intervenir le vecteur de Poynting À, la densité de courant J. et la
densité d'énergie électromagnétique ‏.نا‎ Interpréter chacun des termes de cette équation.
On donne pour deux champs de vecteurs et 7: div(# AŸ )= Ÿ rot Z -X . rot Ÿ. .
8) On définit une densité totale d'énergie u = un +e où e. est la densité volumique
d'énergie cinétique des électrons. Déterminer u et calculer sa moyenne > u > en fonction de
& et Es. Quelle relation y a-t-il entre <u > et <#>2
En déduire, en précisant le raisonnement la vitesse v. avec laquelle se propage ١ énergie.
Conclusion?
5) On suppose dans cette question que l'on a «>> ‏ليه‎ Décrire les caractéristiques de la
propagation de l'onde dans le plasma.
6) Une onde plane monochromatique de pulsation w, d'amplitude Ex polarisée
rectilignement suivant Ox, se propage dans le vide vers les z > 0. Elle arrive, sous
incidence normale, sur la surface de séparation z - 0 entre le vide et un plasma analogue à
celui étudié dans les questions précédentes. Cette onde donne naissance à une onde
réfléchie d'amplitude Es. se propagent dans le vide vers les z > 0 et à une onde transmise
d'amplitude E4 se propageant dans le plasma vers les z > 0. On suppose que les trois ondes
ont le même état de polarisation. On se place dans le cas w > w,et onnoterak, et kles
modules des vecteurs d'onde dans le vide et dans le plasma.
a) Écrire les expressions de champs électrique et magnétique des ondes incidente,
réfléchie et transmise.
b) En utilisant les conditions de passage dans le plan z = 0, en déduire les
coefficients de réflexion ‏متاح‎ / Ex et de transmission t = Es / Ex en fonction de k et ‏ما‎
c) On peut attribuer au plasma un indice de réfraction défini par n = ‏.ين‎ Exprimer
n en fonction de w et ‏مه‎ puis donner les expressions de r et t en fonction de n.
d) On définit les coefficients de réflexion et de transmission de l'énergie
électromagnétique par R = P, /P; et T - P/P; ; P; P, et P, sont les puissances rayonnées par
les ondes incidente, réfléchie et transmise à travers une surface 5 située dans le plan
Calculer R et T en fonction de n. Déterminer une relation entre R et T. Conclusion?
Application numérique: Calculer ‏بد‎ R et T sachant que w = 6,0.10 rad/s.
e) La haute atmosphère possède une couche assimilable à un plasma et nommée
ionosphère.
Pourquoi est-elle nommée ainsi ? Comment expliquer son existence ?
Expliquer pourquoi il est possible de capter radio BBC (en ondes courtes), sachant que la
terre est un « bon » conducteur qui ne peut en aucun cas être traversé par les ondes (faire
un schéma).
: - +. : = È A | 9 ٠.
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EXERCICE ELECTROCINETIQUE
On considère le circuit représenté sur la figure ci-dessous où e(t) est une source
idéale de tension, R; , R et R; sont des résistances tel que ‏رم‎ = R2 = 2R ,R;= R et C un
condensateur parfait
1) Etablir l'équation différentielle vérifiée par la tension ut) où r est le temps.
2) Le condensateur étant initialement déchargé, exprimer u(t) dans chacun des cas :
a) La source délivre un échelon de tension et) = 0 pour + > 0 et e(t) =E pour # > 0.
b) La source délivre une tension sinusoïdale e(t) = Ecos(at), où E et ‏ه‎ des
constantes.
3) Dans le cas d'une tension sinusoïdale de pulsation ‏ته‎ déterminer le courant qui circule
dans R; par application du théorème de Thevenin
Ri R; <
‏]ا لا‎
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