Modèle de concours : professeurs de l'enseignement secondaire qualifiant (accès au 1er grade) — Ministère de l'Éducation nationale — didactique des mathématiques — décembre 2021

هذا النموذج هو اختبار ديداكتيك مادة التخصص: الرياضيات في امتحان الكفاءة المهنية لولوج الدرجة الأولى من إطار أساتذة التعليم الثانوي التأهيلي — المركز الوطني للتقويم والامتحانات، دورة دجنبر 2021. مدة الإنجاز: ثلاث ساعات، المعامل: 1، ولا يُسمح باستعمال الآلة الحاسبة. يتكون من ثلاثة مواضيع مستقلة: الموضوع الأول (10 ن) حول درس المعادلات والمتراجحات والنظمات بالجذع المشترك العلمي وحول نص للخوارزمي، الموضوع الثاني (3 ن) حول الاستدلال بالخلف (السنة الأولى باكالوريا علوم تجريبية)، والموضوع الثالث (7 ن) حول تحليل أخطاء التلاميذ في حساب الاحتمالات (السنة الثانية باكالوريا علوم فيزيائية). ما يلي تصحيح مقترح، والإحالات على «التوجيهات التربوية» تعني التوجيهات التربوية والبرامج الخاصة بتدريس مادة الرياضيات بالسلك الثانوي التأهيلي (نونبر 2007).

💡 قبل أن تبدأ: أغلب الأسئلة هنا تُصحَّح بالرجوع إلى نصين رسميين: التوجيهات التربوية لسنة 2007 (المحتوى، القدرات المنتظرة، التوجيهات) والمذكرة 08-142 (تنظيم الفروض). من يحفظ بنية هذين النصين يربح نصف النقطة قبل أي اجتهاد شخصي.

الموضوع الأول (10 نقط)

1) a — موقع الدرس في التوزيع الدوري

درس «المعادلات والمتراجحات والنظمات» هو الدرس الخامس من محور «مجموعات الأعداد والحساب العددي» في برنامج الجذع المشترك العلمي: يأتي بعد درس الحدوديات (الذي يمهد له بتعميل الحدوديات وجذورها) ويُدرَّس في الدورة الأولى. والمذكرة 08-142 تجعله ضمن مكونات الفرض الذي يُنجز في الأسبوع 15 مع الحدوديات والحساب المثلثي والإحصاء، أي أن إنجازه يقع في النصف الثاني من الدورة الأولى (إجابة مرجّحة: تقريباً بين الأسبوعين 12 و14، لأن التوزيع الأسبوعي الدقيق قد يختلف من توزيع إلى آخر).

1) b — الرقم التسلسلي للفرض المحروس حسب المذكرة 08-142

حسب جدول الجذع المشترك العلمي والجذع المشترك التكنولوجي في المذكرة 08-142: الدرس مكوِّن من مكونات الفرض المحروس رقم 3 من الدورة الأولى (إنجازه في الأسبوع 15، مدته ساعتان، تصحيحه في الأسبوع 16)، إلى جانب الحدوديات والحساب المثلثي والإحصاء. ويسبقه الفرض المنزلي رقم 3 (الأسبوع 12) الذي يشمل المكونات نفسها.

2) القدرات المنتظرة من الدرس

حسب التوجيهات التربوية (الجذع المشترك العلمي):

• حل معادلات ومتراجحات تؤول في حلها إلى معادلات ومتراجحات من الدرجة الأولى أو الثانية بمجهول واحد؛
• حل نظمات من الدرجة الأولى بمجهولين باستعمال مختلف الطرائق (التأليفة الخطية، التعويض، المحددة)؛
• ترييض وضعيات تتضمن مقادير متغيرة باستعمال تعابير أو معادلات أو متراجحات أو متفاوتات أو نظمات؛
• التمثيل المبياني لحلول متراجحات أو نظمات متراجحات من الدرجة الأولى بمجهولين، واستعماله في تجزيء المستوى وحل مسائل بسيطة حول البرمجة الخطية.

3) a — تعريف المهارة في المجال التربوي

المهارة هي القدرة على أداء عمل أو إنجاز مهمة محددة بدقة وسرعة وإتقان، مع اقتصاد في الجهد والوقت. وهي تُكتسب بالتعلم وتترسخ بالتدريب والممارسة المتكررة، وتظهر في سلوك قابل للملاحظة والقياس (مثلاً: حل معادلة من الدرجة الثانية بسرعة ودون خطأ). وهي أضيق من الكفاية: الكفاية تعبئ مجموعة من المهارات والمعارف لحل وضعية-مسألة.

3) b — مهارة يتطلبها إنجاز التمرينين 01 و03

المناقشة حسب الحالات (الاستدلال بفصل الحالات):

• في Ex01: بعد شرط الوجود x ≠ a وx ≠ b تؤول المعادلة إلى 2x² − 3(a+b)x + (a+b)² = 0، أي (x − (a+b))(2x − (a+b)) = 0. الحلول الممكنة a+b و(a+b)/2، ثم تجب المناقشة: a = b = 0 (لا حل)، a = b ≠ 0 (الحل الوحيد 2a)، أحد العددين منعدم والآخر غير منعدم (الحل a/2 أو b/2 إن كان زوجياً، وإلا فلا حل)، a ≠ b وكلاهما غير منعدم (الحل a+b، ويضاف (a+b)/2 إن كان a+b زوجياً).
• في Ex03: يجب فحص الحالات الممكنة لتوزيع عناصر {−2 ; −1 ; 1 ; 3} على S وT. بما أن مميز المعادلة الثانية q² + 12 > 0 وجداء جذريها −3، فالزوج الوحيد الممكن من المجموعة هو (−1 ; 3)، إذن T = {−1 ; 3} وq = −2؛ ويبقى S = {−2 ; 1} فيكون p = (−2)×1 = −2.

(تُقبل أيضاً مهارة الربط بين جذور معادلة من الدرجة الثانية ومعاملاتها، لأنها حاضرة في التمرينين.)

4) التمرين رقم 02

الحلول للتذكير:

• المعادلة (1): x² − 2x − 2|x − 1| − 2 = 0 ⟸ مجموعة الحلول S = {−2 ; 4}.
• المعادلة (2): x² + x + 2√(x² + x + 2) − 6 = 0 ⟸ مجموعة الحلول S = {−2 ; 1}.

a) طريقتان لحل التمرين

الطريقة الأولى: تغيير المتغير.

• (1): نلاحظ أن x² − 2x = (x − 1)² − 1. نضع t = |x − 1| ≥ 0، فتصبح المعادلة t² − 2t − 3 = 0، أي (t − 3)(t + 1) = 0. بما أن t ≥ 0 فإن t = 3، أي |x − 1| = 3، ومنه x = 4 أو x = −2.
• (2): مميز x² + x + 2 هو 1 − 8 < 0، فهذا التعبير موجب قطعاً والمعادلة معرفة على ℝ. نضع t = √(x² + x + 2) ≥ 0، فيصبح x² + x = t² − 2 وتصبح المعادلة t² + 2t − 8 = 0، أي (t − 2)(t + 4) = 0، ومنه t = 2. إذن x² + x + 2 = 4، أي x² + x − 2 = 0، ومنه x = 1 أو x = −2.

الطريقة الثانية: فصل الحالات (للمعادلة 1) والعزل ثم التربيع (للمعادلة 2).

• (1): إذا كان x ≥ 1 تصبح المعادلة x² − 4x = 0، فـ x = 0 (مرفوض) أو x = 4 (مقبول). إذا كان x < 1 تصبح x² − 4 = 0، فـ x = −2 (مقبول) أو x = 2 (مرفوض).
• (2): نكتب 2√(x² + x + 2) = 6 − (x² + x)، بشرط 6 − (x² + x) ≥ 0. نضع u = x² + x ونربع: 4u + 8 = (6 − u)²، أي u² − 16u + 28 = 0، ومنه u = 2 أو u = 14. الشرط u ≤ 6 يستبعد 14، فيبقى x² + x = 2، ومنه x = 1 أو x = −2.

b) المكتسبات القبلية الضرورية

• تعريف القيمة المطلقة وخاصياتها (|A| = A إذا كان A ≥ 0 و|A| = −A إذا كان A ≤ 0، و|A| = k ⟺ A = k أو A = −k لـ k ≥ 0)؛
• تعريف الجذر المربع (√A معرف لـ A ≥ 0 و√A ≥ 0)، و√A = k ⟺ A = k² لـ k ≥ 0؛
• المتطابقات الهامة والشكل القانوني لثلاثية الحدود؛
• حل معادلة من الدرجة الثانية (بالتعميل أو بالمميز) وإشارة ثلاثية الحدود؛
• التمييز بين الاستلزام والتكافؤ (التربيع يعطي استلزاماً فقط، ومن ثم ضرورة التحقق أو وضع الشرط).

c) صعوبتان متوقعتان

• إهمال شرط الإشارة: الاحتفاظ بالقيمة t = −1 أو t = −4 بعد تغيير المتغير، أو التربيع دون شرط 6 − u ≥ 0 فيظهر حل دخيل (الحل u = 14 الذي لا يحقق الشرط).
• أخطاء فصل الحالات: عدم مقارنة الحلول المحصل عليها مع المجال المدروس (قبول x = 0 في الحالة x ≥ 1، أو x = 2 في الحالة x < 1)، أو عدم إدراك أن x² − 2x يُكتب بدلالة (x − 1)²، فلا يرى التلميذ إمكانية تغيير المتغير.

5) هل يمكن اقتراح التمرين رقم 05 كنشاط تقويمي؟

حل التمرين للتذكير: (1) المميز Δ = m²(m − 2)² + 4(m − 1)² مجموع مربعين لا ينعدمان معاً (الأول ينعدم لـ m = 0 أو m = 2، والثاني لـ m = 1)، إذن Δ > 0 والمعادلة تقبل حلين مختلفين. (2) α + β = m(m − 2) و αβ = −(m − 1)²، إذن α + β − 2(m − 2) = (m − 2)² و−αβ = (m − 1)²، وتصبح المتراجحة 2|m − 2| − 3|m − 1| ≥ 1. فصل الحالات يعطي: لا حل لـ m ≥ 2، وm ≤ 6/5 لـ 1 ≤ m < 2، وm ≥ 0 لـ m < 1، إذن m ∈ [0 ; 6/5].

a) فرض محروس: لا. التوجيهات التربوية تنص صراحة على أن «المعادلات والمتراجحات البارامترية من الدرجة الثانية خارج المقرر»، والفرض المحروس يقيس القدرات المنتظرة من البرنامج الرسمي فقط. ثم إن التمرين يتطلب توظيف العلاقة بين الجذرين والمعاملات ومناقشة متراجحة بقيم مطلقة في عدة حالات، وهو طويل بالنسبة لفرض مدته ساعتان يغطي أربعة دروس.

b) فرض منزلي: لا كتقويم إشهادي، للسبب نفسه: الفرض المنزلي جزء من المراقبة المستمرة ويجب أن يبقى داخل حدود المقرر. يمكن في أقصى الحالات اقتراحه نشاطاً إثرائياً اختيارياً غير منقط للتلاميذ المتفوقين، مع توجيهات (إجابة مرجّحة: الإجابة المنتظرة تقوم على كون التمرين خارج المقرر، وقد يقبل المصحح هذا الاستعمال الإثرائي).

💡 الملاحظة نفسها تنطبق على Ex04 (معادلة بارامترية من الدرجة الثانية): ذكرها في جوابك يبيّن أنك قرأت الوثيقة كاملة بعين ناقدة.

6) الوثيقة 2 — الخوارزمي

a) الصياغة بالترميز الحالي: «مال وعشرة أجذاره يعدل تسعة وثلاثين درهماً»، والمال هو مربع الجذر، فالمعادلة هي: x² + 10x = 39.

b) الطريقة: الإتمام إلى مربع كامل: تنصيف عدد الأجذار (10 ÷ 2 = 5)، ضربه في نفسه (25)، إضافته إلى العدد (39 + 25 = 64)، أخذ جذر الناتج (8)، ثم طرح نصف الأجذار (8 − 5 = 3). بالترميز الحالي: x² + 10x + 25 = 64، أي (x + 5)² = 64، ومنه x + 5 = 8، فـ x = 3 والمال x² = 9.

c) أداة أساسية في صياغة الحل: اللغة الطبيعية (الجبر البلاغي) بمفرداتها الخاصة: «الجذر» للمجهول، «المال» لمربعه، «العدد المفرد» للثابت، مع خطوات حسابية في شكل وصفة متتابعة (خوارزمية). (إجابة مرجّحة: تُقبل أيضاً «الإتمام إلى مربع» أو التبرير الهندسي بالمربعات والمستطيلات الذي يعتمده الخوارزمي في كتابه.)

d) حدود الطريقة:

• لا تعطي إلا الحل الموجب: المعادلة x² + 10x = 39 تقبل أيضاً الحل −13، وهو مُهمل؛
• غياب الأعداد السالبة يفرض تقسيم المعادلات إلى أنواع (أموال وجذور تعدل عدداً، أموال وعدد تعدل جذوراً...) لكل منها طريقة، بدل صيغة واحدة عامة؛
• الصياغة بلاغية بلا رموز، فهي طويلة وصعبة التعميم، وتُعرض من خلال أمثلة عددية لا من خلال حالة عامة.

e) صياغة المعادلة 3x + 4 = x² بلغة الخوارزمي: «ثلاثة أجذار وأربعة من العدد تعدل مالاً. فبابه أن تنصّف الأجذار فتكون واحداً ونصفاً، فاضربها في مثلها فتكون اثنين وربعاً، فزدها على الأربعة فتكون ستة وربعاً، فخذ جذرها وهو اثنان ونصف، فزده على نصف الأجذار وهو واحد ونصف فيكون أربعة، وهو جذر المال، والمال ستة عشر.» (تحقق: 3×4 + 4 = 16 = 4².)

الموضوع الثاني (3 نقط): الاستدلال بالخلف

1) باقي الاستدلالات المقررة في درس مبادئ في المنطق

حسب برنامج السنة الأولى باكالوريا علوم تجريبية: الاستدلال بمضاد العكس، الاستدلال بفصل الحالات، الاستدلال بالتكافؤ، الاستدلال بالترجع (إلى جانب الاستدلال بالخلف).

2) المبادئ التي يعتمد عليها الاستدلال بالخلف

• مبدأ عدم التناقض: لا يمكن أن تكون عبارة ونفيها صحيحتين معاً (لا يمكن أن يكون Q وQ̄ صحيحين معاً)؛
• مبدأ الثالث المرفوع: العبارة إما صحيحة وإما خاطئة، فإذا كان P̄ خاطئاً فإن P صحيح.

3) العبارتان P وQ في التمرين

• P: «√2 ∉ ℚ» (العبارة المراد إثباتها، وP̄ هي «√2 ∈ ℚ»، أي الافتراض الذي بدأ به الأستاذ)؛
• Q: «a وb أوليان فيما بينهما» حيث √2 = a/b. فـ (P̄ ⇒ Q) هو اختيار الكسر غير قابل للاختزال، و(P̄ ⇒ Q̄) هو استنتاج أن 2 قاسم مشترك لـ a وb.

4) ثلاثة مشاكل ديداكتيكية يطرحها تدريس الاستدلال بالخلف

• صعوبة النفي: كتابة نفي عبارة (خاصة بالمكممات والروابط «و» و«أو») خطوة أولى يخطئ فيها كثير من التلاميذ؛
• الخلط بين الاستدلال بالخلف والاستدلال بمضاد العكس، لأن كليهما يبدأ بنفي، والفرق في الهدف: تناقض عام في الأول، ونفي المقدمة في الثاني؛
• غموض العبارة Q: الخاصية تنص على Q، لكنها لا تكون معروفة مسبقاً بل تظهر أثناء البرهان، فلا يعرف التلميذ «أين يبحث» عن التناقض (وهذا بالضبط سؤال التلميذ: «أين P وQ؟»)؛
• (ويُقبل أيضاً: الوضع المنطقي غير المريح لـ«افتراض شيء خاطئ» والاستدلال انطلاقاً منه، وصعوبة تحرير البرهان.)

5) المرحلة التي لم يدقق فيها الأستاذ

إجابة مرجّحة: مرحلة الخلاصة: توقف الأستاذ عند «وهذا تناقض» دون أن يستنتج صراحة أن الافتراض √2 ∈ ℚ خاطئ، وبالتالي √2 ∉ ℚ، ودون أن يربط التناقض بالخاصية (P̄ أدى إلى Q وإلى Q̄). كما أنه انتقل من «a² زوجي» إلى «a زوجي» (ومن «b² زوجي» إلى «b زوجي») دون تبرير، وهذه الخاصية نفسها تحتاج إلى برهان (بمضاد العكس: إذا كان a فردياً فإن a² فردي).

6) وضعيتان محلولتان لتوظيف الاستدلال بالخلف

المتتاليات العددية: بيّن أن المتتالية (u_n) المعرفة بـ u_n = n² غير مكبورة.

الحل: نفترض أنها مكبورة: يوجد M > 0 بحيث لكل n من ℕ: n² ≤ M. نأخذ n₀ = E(√M) + 1، فيكون n₀ > √M وبالتالي u_n0 = n₀² > M، وهذا يناقض الافتراض. إذن (u_n) غير مكبورة.

الهندسة الفضائية: ABCD رباعي أوجه. بيّن أن المستقيمين (AB) و(CD) غير مستوائيين.

الحل: نفترض أن (AB) و(CD) مستوائيان، أي يوجد مستوى (P) يحتويهما. إذن النقط A وB وC وD تنتمي إلى (P)، أي أنها مستوائية، وهذا يناقض كون ABCD رباعي أوجه. إذن (AB) و(CD) غير مستوائيين.

7) وضعية محلولة بطريقتين

الوضعية: ليكن n عدداً صحيحاً طبيعياً. بيّن أنه إذا كان n² زوجياً فإن n زوجي.

• بالخلف: نفترض أن n² زوجي وأن n فردي، أي n = 2k + 1. إذن n² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1 فردي، وهذا يناقض كون n² زوجياً. إذن n زوجي.
• بمضاد العكس: نبيّن الاستلزام المكافئ «إذا كان n فردياً فإن n² فردي»: n = 2k + 1 يعطي n² = 2(2k² + 2k) + 1 فردي. إذن الاستلزام الأصلي صحيح.

💡 هذه الوضعية تسد أيضاً الثغرة التي تركها الأستاذ في برهان √2 ∉ ℚ (السؤال 5).

الموضوع الثالث (7 نقط): حساب الاحتمالات

الحل الصحيح للتذكير: الكيس يحتوي على 9 كرات منها 4 بيضاء و5 غير بيضاء. السحب بالتتابع وبدون إحلال، فالنموذج المناسب هو الترتيبات: card Ω = A₉³ = 504. الحدث (X = 2): كرتان بيضاوان وكرة غير بيضاء في أي ترتيب؛ موضع الكرة غير البيضاء يُختار بـ C₃¹ = 3 طرق، إذن: P(X = 2) = 3 × A₄² × A₅¹ / A₉³ = 3 × 12 × 5 / 504 = 180/504 = 5/14. (تحقق بالتأليفات: C₄² × C₅¹ / C₉³ = 30/84 = 5/14.)

1) تحليل أجوبة التلاميذ

2) مصادر الأخطاء

• أحمد: سوء فهم معنى «بالتتابع»: فهمه على أنه «بهذا الترتيب»، فلم يميز بين الحدث «كرتان بيضاوان من بين الثلاث» والحدث «الأوليان بيضاوان والثالثة غير بيضاء». المصدر ترجمة الحدث إلى لغة التعداد وإهمال الترتيب في نموذج يعتبر الترتيب.
• محمد: تعميم مفرط لنموذج حديث التعلم (القانون الحداني) دون التحقق من شروطه، وخلط بين السحب بإحلال والسحب بدون إحلال. وهو عائق ديداكتيكي: كلما رأى التلميذ «عدد مرات النجاح في ثلاث سحبات» استدعى القانون الحداني آلياً.

3) وضعيات داعمة

• لأحمد: إنجاز شجرة الاختيارات للسحبات الثلاث (أبيض B / غير أبيض N)، ثم تحديد الفروع المحققة للحدث (X = 2): BBN وBNB وNBB، وحساب احتمال كل فرع: (4/9)(3/8)(5/7) = (4/9)(5/8)(3/7) = (5/9)(4/8)(3/7) = 60/504. يلاحظ التلميذ أن الفروع الثلاثة متساوية الاحتمال وأن الجواب 3 × 60/504 = 5/14، فيفهم دور المعامل 3.
• لمحمد: وضعية مقارنة: سحب كرتين من الكيس نفسه (أ) بإحلال و(ب) بدون إحلال، وحساب احتمال أن تكون الكرة الثانية بيضاء علماً أن الأولى بيضاء في الحالتين: 4/9 في (أ) و3/8 في (ب). يستنتج التلميذ أن الاحتمال غير ثابت في (ب)، فيتحقق من شروط القانون الحداني قبل استعماله.

4) التعديلات ليصبح X حدانياً وسيطاه 4 و4/9

يجب أن يصبح السحب بإحلال (تُعاد الكرة إلى الكيس بعد كل سحبة) لتصبح السحبات مستقلة واحتمال سحب كرة بيضاء ثابتاً 4/9 (نحتفظ بتركيبة الكيس: 4 بيضاء من 9)، وأن يصبح عدد السحبات أربعاً بدل ثلاث. نص التمرين المعدل: «نسحب بالتتابع وبإحلال أربع كرات من الكيس»، فيكون X تابعاً للقانون الحداني B(4 ; 4/9).

5) ثلاث صعوبات في تقديم درس الاحتمالات

• اختيار نموذج التعداد المناسب (p-لائحات، ترتيبات، تأليفات) حسب طبيعة التجربة: بالتتابع أو آنياً، بإحلال أو بدونه، مع اعتبار الترتيب أو بدونه؛ وهو ما يظهر في أجوبة التلاميذ الثلاثة.
• ترجمة لغة الأحداث («على الأقل»، «على الأكثر»، «بالضبط»، الحدث المضاد) إلى عمليات على المجموعات، والخلط بين الحدثين المستقلين والحدثين غير المتلائمين.
• التصورات الحدسية الخاطئة لدى التلاميذ: افتراض تساوي الاحتمالات حيث لا يوجد، أو الاعتقاد أن النتائج السابقة تؤثر في تجربة مستقلة لاحقة، إضافة إلى التمييز بين احتمال حدث وتردده التجريبي.

6) المحاكاة

a) المقصود بالمحاكاة: هي تعويض تجربة عشوائية حقيقية بنموذج يولّد نتائج عشوائية تحاكيها (أعداد عشوائية بالآلة الحاسبة أو بالحاسوب)، وإعادتها عدداً كبيراً من المرات. وحسب التوجيهات التربوية، يُدرج مفهوم المحاكاة لإثبات استقرار تردد حدث عشوائي من خلال إعادة تجربة عشوائية بسيطة عدداً كبيراً من المرات (10000 مرة أو أكثر) باستعمال الملمس Rand للآلة الحاسبة أو المبرمج Excel، تمهيداً لقبول احتمال حدث، وأي تبرير نظري لهذه النتيجة يعتبر خارج المقرر.

b) ثلاث دوال من Excel تسمح بمحاكاة تجربة عشوائية:

• ALEA() (بالإنجليزية RAND()): تعطي عدداً عشوائياً من المجال [0 ; 1[؛
• ALEA.ENTRE.BORNES(a;b) (RANDBETWEEN): تعطي عدداً صحيحاً عشوائياً بين a وb (مثلاً 1 و6 لمحاكاة رمي نرد)؛
• NB.SI(plage;critère) (COUNTIF): تحسب عدد مرات تحقق نتيجة معينة، ومنه التردد. (وتُقبل أيضاً ENT() / INT() مع ALEA، مثل ENT(6*ALEA())+1، وSI() / IF().)