Modèle : Épreuve de spécialité - Mathématiques (1re page manquante) — Centre de formation des inspecteurs de l'enseignement secondaire qualifiant 2020

Ce modèle est l'épreuve de spécialité — mathématiques du concours d'accès à la filière de formation des inspecteurs pédagogiques du secondaire qualifiant (Centre de formation des inspecteurs de l'enseignement), session des 28-29 novembre 2020. La page 1 sur 3 manque : le modèle commence à la question 4 du problème 1 (fonction zêta, probabilités sur ℕ*, nombres premiers) et contient le problème 2 en entier (intégrales, théorème de Wilson). Les questions 1 à 3 du problème 1 ne sont pas connues ; lorsque la suite s'y réfère, on donne une démonstration autonome.

💡 Notation : pour s > 1, ζ(s) = Σ_n≥1 1/n^s (série convergente). C'est la fonction utilisée dans les questions 4) e) et f).

Problème 1 — question 4

Soient s > 1, λ ∈ ℝ et p({n}) = λ/n^s.

a) Valeurs de λ

Sur l'ensemble dénombrable ℕ*, p définit une probabilité (par p(A) = Σ_n∈A p({n})) si et seulement si p({n}) ≥ 0 pour tout n et Σ p({n}) = 1. Or Σ λ/n^s = λ ζ(s) = 1 ⇔ λ = 1/ζ(s), qui est bien > 0. C'est l'unique valeur.

b) p(A_m)

A_m = {mk ; k ∈ ℕ*}. Donc p(A_m) = Σ_k≥1 λ/(mk)^s = (1/m^s) λ ζ(s) = 1/m^s.

c) Indépendance de A_m et A_m'

n est multiple de m et de m' ⇔ n est multiple de ppcm(m, m'). Donc A_m ∩ A_m' = A_ppcm(m,m') et p(A_m ∩ A_m') = 1/ppcm(m,m')^s.
Indépendance ⇔ 1/ppcm^s = 1/(mm')^s ⇔ ppcm(m,m') = mm' ⇔ pgcd(m,m') = 1 (car ppcm × pgcd = mm'). Donc A_m et A_m' sont indépendants si et seulement si m et m' sont premiers entre eux.

d) p(D_n)

k est premier avec p_i ⇔ p_i ne divise pas k ⇔ k ∉ A_pi. Donc D_n = ∩_i≤n (ℕ* \ A_pi).
Les événements A_p1, …, A_pn sont mutuellement indépendants : pour toute partie I de {1,…,n}, ∩_i∈I A_pi = A_{Π pi} (les p_i étant premiers distincts), donc sa probabilité vaut Π_i∈I 1/p_i^s = Π_i∈I p(A_pi). Les complémentaires d'événements mutuellement indépendants le sont aussi, d'où :

p(D_n) = Π_i=1ⁿ (1 − 1/p_i^s).

e) Produit eulérien

La suite (D_n) est décroissante (D_n+1 ⊂ D_n), donc par continuité décroissante de la probabilité : p(∩D_n) = lim p(D_n).
Or ∩_n D_n = {1} : 1 est premier avec tout p_i ; et tout k ≥ 2 admet un facteur premier p_i, donc k ∉ D_i.
Ainsi p({1}) = λ = 1/ζ(s) = lim_n Π_i≤n(1 − 1/p_i^s), limite non nulle, d'où

ζ(s) = 1 / Π_n=1^+∞ (1 − 1/p_n^s).

f) Divergence de Σ 1/p_n (raisonnement par l'absurde)

i) Supposons Σ 1/p_n convergente. On a ln(1 − 1/p_n)⁻¹ = −ln(1 − 1/p_n) > 0 et, comme 1/p_n → 0, −ln(1 − 1/p_n) ~ 1/p_n. Par comparaison de séries à termes positifs, Σ ln(1 − 1/p_n)⁻¹ converge, de somme S. Les produits partiels P_N = Π_n≤N(1 − 1/p_n)⁻¹ = exp(Σ_n≤N ln(1 − 1/p_n)⁻¹) convergent vers l = e^S (fini, ≥ 1), et la suite (P_N) est croissante, donc P_N ≤ l pour tout N.

ii) Pour s > 1 : 1/p_n^s ≤ 1/p_n, donc (1 − 1/p_n^s)⁻¹ ≤ (1 − 1/p_n)⁻¹ (facteurs positifs). En multipliant : Π_n≤N(1 − 1/p_n^s)⁻¹ ≤ P_N ≤ l. En faisant N → +∞ et d'après 4) e) : ζ(s) ≤ l pour tout s > 1.

iii) La question 3) (page manquante) établit selon toute vraisemblance que ζ(s) → +∞ quand s → 1⁺. Démonstration autonome : t ↦ 1/t^s est décroissante, donc 1/n^s ≥ ∫_nⁿ⁺¹ dt/t^s, et ζ(s) ≥ ∫₁^+∞ dt/t^s = 1/(s − 1) → +∞. Cela contredit ζ(s) ≤ l. Donc la série Σ 1/p_n diverge.

Problème 2

I_n = ∫₀¹ (ln t)ⁿ dt et J_n = ∫₀^+∞ tⁿ e^−t dt.

1) Existence

• I_n : t ↦ (ln t)ⁿ est continue sur ]0, 1] ; en 0, √t·|ln t|ⁿ → 0 (croissances comparées), donc |ln t|ⁿ ≤ 1/√t au voisinage de 0, et ∫₀¹ dt/√t converge (Riemann, exposant 1/2 < 1). I_n converge absolument.
• J_n : t ↦ tⁿe^−t est continue sur [0, +∞[ et t²·tⁿe^−t → 0 en +∞, donc tⁿe^−t ≤ 1/t² pour t grand : J_n converge.

2) Relation de récurrence

Intégration par parties sur [ε, 1] avec u = (ln t)ⁿ⁺¹, v' = 1 :
∫_ε¹ (ln t)ⁿ⁺¹ dt = [t (ln t)ⁿ⁺¹]_ε¹ − (n+1) ∫_ε¹ (ln t)ⁿ dt. Comme ε(ln ε)ⁿ⁺¹ → 0 quand ε → 0 :

I_n+1 = −(n + 1) I_n.

Initialisation : I₁ = [t ln t − t]₀¹ = −1 = (−1)¹·1!. Si I_n = (−1)ⁿ n!, alors I_n+1 = −(n+1)(−1)ⁿ n! = (−1)ⁿ⁺¹(n+1)!. Par récurrence, I_n = (−1)ⁿ n!.

3) Valeur de J_n

Changement de variable t = e^−u (bijection C¹ de ]0, +∞[ sur ]0, 1[) : ln t = −u, dt = −e^−u du, d'où I_n = ∫_+∞⁰ (−u)ⁿ(−e^−u) du = (−1)ⁿ J_n. Donc J_n = n!. (On peut aussi intégrer par parties : J_n+1 = (n+1) J_n, J₀ = 1.)

4) Aires A et B, théorème de Wilson

a) f(x) = (ln x)^2k ≥ 0. Le domaine est compris entre la droite y = −1 et la courbe, pour x ∈ ]0, 1] :

A = ∫₀¹ (f(x) − (−1)) dx = I_2k + 1 = (2k)! + 1 (intégrale convergente d'après 1).

Le rectangle PQRS a pour largeur PQ = 1 et pour hauteur QR = |−1 − (−2k − 2)| = 2k + 1, donc B = 2k + 1. Les deux aires sont des entiers.

b) A est multiple de B ⇔ (2k + 1) divise (2k)! + 1. C'est le théorème de Wilson pour p = 2k + 1 : p est premier ⇔ (p − 1)! ≡ −1 (mod p).

• Sens direct (p premier ⇒ p | (p−1)! + 1) : dans le corps ℤ/pℤ, chaque élément non nul a un inverse ; x = x⁻¹ ⇔ x² = 1 ⇔ x = ±1. Dans le produit 1·2·…·(p−1), les éléments autres que 1 et p − 1 se regroupent par paires {x, x⁻¹} de produit 1. Donc (p − 1)! ≡ 1·(p − 1) ≡ −1 (mod p).
• Réciproque : si 2k + 1 = ab n'est pas premier, avec 1 < a < 2k + 1, alors a ≤ 2k divise (2k)! ; si a divisait aussi (2k)! + 1, il diviserait 1 : contradiction. Donc 2k + 1 ne divise pas (2k)! + 1.

Conclusion : A est multiple de B ⇔ 2k + 1 est premier.

5) f_(n,m)(x) = (n − x^m) e^−x sur [0, +∞[

a) Allure de f_(3,2)(x) = (3 − x²)e^−x

• f(0) = 3 ; f s'annule en x = √3 ≈ 1,73 ; f > 0 sur [0, √3[, f < 0 sur ]√3, +∞[ ; lim_+∞ f = 0 (asymptote y = 0, approchée par-dessous).
• f'(x) = (x² − 2x − 3)e^−x = (x − 3)(x + 1)e^−x : f décroissante sur [0, 3], croissante sur [3, +∞[ ; f'(0) = −3.
• Minimum : f(3) = −6e⁻³ ≈ −0,30.
• f''(x) = (−x² + 4x + 1)e^−x s'annule en x = 2 + √5 ≈ 4,24 : point d'inflexion.

La courbe part de (0 ; 3), descend, coupe Ox en √3, atteint son minimum en (3 ; −0,30), puis remonte lentement vers l'axe Ox.

b) i) f_(n,m) s'annule en x₀ = n^1/m, positive avant, négative après. Donc :

An,m = ∫0n1/m (n − xm) e−x dx   et   A'n,m = ∫n1/m+∞ (xm − n) e−x dx.

ii) Clé : A_n,m − A'_n,m = ∫₀^+∞ f_(n,m)(x) dx = n J₀ − J_m = n − m! (d'après 3). Donc A_n,m = A'_n,m ⇔ n = m!.

• (6, 3) : 3! = 6 ⇒ A_6,3 = A'_6,3.
• (5, 2) : 2! = 2 ≠ 5 ⇒ A_5,2 − A'_5,2 = 3 ≠ 0, donc A_5,2 ≠ A'_5,2.

iii) K = {(n, m) ∈ (ℕ*)² : n = m!} = {(m!, m) ; m ∈ ℕ*}. L'application m ↦ (m!, m) est une bijection de ℕ* sur K : K est non vide et infini dénombrable. Le complémentaire K̄ contient par exemple tous les couples (n, 1) avec n ≥ 2 (car 1! = 1) : il est non vide et infini ; partie infinie de l'ensemble dénombrable (ℕ*)², il est lui aussi infini dénombrable. Les deux infinis ont donc la même nature : celle de ℕ (cardinal ℵ₀).

iv) Pour (n, m) ∈ K, n = m! donc n + 1 = m! + 1. D'après le théorème de Wilson (démontré en 4) b), appliqué à p = m + 1 ≥ 2) :

m + 1 est premier ⇔ (m + 1) divise m! + 1 = n + 1.

(Vérification pour m = 1 : 2 est premier et 2 divise 1! + 1 = 2. Pour m = 3 : 4 n'est pas premier et 4 ne divise pas 3! + 1 = 7.)