Modèle concours enseignement (cadres AREF) — Mathématiques et didactique des mathématiques - primaire 2019

هذا النموذج هو موضوع الرياضيات وديدكتيك الرياضيات من «اختبار في العلوم والرياضيات» ضمن مباراة توظيف الأساتذة أطر الأكاديميات — التعليم الابتدائي (التخصص المزدوج)، دورة نونبر 2019. يتكون من مجالين رئيسيين: الرياضيات (10 نقط) في اثني عشر تمريناً، وديدكتيك الرياضيات (10 نقط) في تمرينين. ما يلي تصحيح مقترح مع خطوات الحل.

💡 منهجية: تمارين المجال الأول قصيرة (نصف نقطة أو نقطة لكل واحد): لا تتجاوز دقيقتين إلى ثلاث في كل تمرين، واحتفظ بأغلب الوقت لمجال الديدكتيك حيث التحرير هو الذي يُنقَّط.

المجال الرئيسي الأول: الرياضيات (10 نقط)

التمرين الأول (0,5 ن)

A = (1 − 2/5 + 1/10) × 10/7. نوحد المقامات: 1 − 2/5 + 1/10 = 10/10 − 4/10 + 1/10 = 7/10.
إذن A = 7/10 × 10/7 = 1. الجواب: c.

التمرين الثاني (1 ن)

1. المضلع ABCD هو شبه منحرف: له ضلعان متوازيان (AB) و (DC) غير متقايسين.
2. الربط: [AB] ← قاعدة صغرى؛ [CD] ← قاعدة كبرى؛ [AH] ← ارتفاع؛ [BC] ← ضلع. (كلمة «قطر» تبقى دون ربط: القطران هما [AC] و [BD].)
3. مساحة شبه المنحرف = (القاعدة الصغرى + القاعدة الكبرى) × الارتفاع ÷ 2، أي S = (AB + DC) × AH / 2. الجواب: b.
4. S = (20 + 30) × 8 ÷ 2 = 50 × 4 = 200 cm².

التمرين الثالث (1 ن)

المسافة الحقيقية: 192 km = 192 000 m = 19 200 000 cm. السلم 1/2 500 000 يعني أن 1 cm على الخريطة يمثل 2 500 000 cm (25 km) في الواقع.
المسافة على الخريطة = 19 200 000 ÷ 2 500 000 = 192 ÷ 25 = 7,68 cm. الجواب: c.

التمرين الرابع (1,5 ن)

1. a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²). الجواب: c. (تحقق بالنشر: a³ + a²b + ab² − a²b − ab² − b³ = a³ − b³.)
2. بتطبيق المتطابقة: 2019³ − 2016³ = (2019 − 2016)(2019² + 2019 × 2016 + 2016²) = 3 × k حيث k عدد صحيح طبيعي؛ إذن العدد مضاعف للعدد 3.
3. مجموع أرقام 123456789 هو 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45، و 45 = 3 × 15 مضاعف لـ 3؛ إذن العدد قابل للقسمة على 3 (بل على 9 أيضاً).
4. 2020 عدد زوجي، فالجداء 2019 × 2020 × 2021 مضاعف لـ 2. و 2019 = 3 × 673 (مجموع أرقامه 12)، فالجداء مضاعف لـ 3. وبما أن 2 و 3 أوليان فيما بينهما فالجداء مضاعف لـ 2 × 3 = 6. (يمكن أيضاً القول: جداء ثلاثة أعداد متتابعة مضاعف دائماً للعدد 6.)

التمرين الخامس (0,5 ن)

ساعة الانطلاق = ساعة الوصول − مدة الرحلة = 12 h 15 min 30 s − 6 h 45 min 30 s.
الثواني: 30 − 30 = 0. الدقائق: 15 < 45، فنحول ساعة إلى 60 دقيقة: 11 h 75 min − 6 h 45 min = 5 h 30 min. الجواب: a.

التمرين السادس (0,5 ن)

3,14 = 3,140 و 3,15 = 3,150. العددان المحصوران بينهما هما 3,145 (b) و 3,147 (d). أما 3,151 فأكبر من 3,150، و 3,135 أصغر من 3,140.

التمرين السابع (1 ن)

أ) عدد تلاميذ القسم: 4 + 2 + 11 + 7 + 5 + 1 = 30 تلميذاً.
ب) الحاصلون على 14 أو أكثر: 11 + 7 + 5 + 1 = 24 تلميذاً. النسبة المئوية: 24/30 × 100 = 80%.

التمرين الثامن (1 ن)

بقراءة التعبير كما يظهر في الورقة: A = [a⁴ × (a²)⁻¹] / [(a³)² × a⁻³].
البسط: a⁴ × a⁻² = a². المقام: a⁶ × a⁻³ = a³. إذن A = a² / a³ = a⁻¹ = 1/a. إجابة مرجّحة: b (الأسس صغيرة في النسخة المصورة؛ القواعد المستعملة: (aⁿ)ᵐ = a^n×m، aⁿ × aᵐ = a^n+m، aⁿ / aᵐ = a^n−m).

التمرين التاسع (1 ن)

أسماء المجسمات حسب ترتيبها في الجدول من اليمين إلى اليسار:

1. الكرة (الفلكة)
2. الأسطوانة القائمة
3. الهرم (قاعدته رباعية)
4. متوازي المستطيلات القائم
5. المكعب
6. الموشور القائم (قاعدته مثلث)
7. المخروط الدوراني

التمرين العاشر (1 ن)

مماثل الشكل بالنسبة للمستقيم (D) — تماثل محوري: لكل رأس من رؤوس الرباعي نعدّ عدد التربيعات التي تفصله أفقياً عن (D)، ونضع مماثله على السطر نفسه في الجهة الأخرى وعلى البعد نفسه، ثم نصل الرؤوس الأربعة بالترتيب نفسه. بقراءة التربيعات في الشكل، الرؤوس تبعد عن (D) بـ 6 و 3 و 1 و 2 تربيعات (من اليسار)، فتكون مماثلاتها على يمين (D) بالأبعاد نفسها وعلى الأسطر نفسها. الشكل المحصل عليه «مقلوب» يميناً ويساراً وله القياسات نفسها.

مماثل المثلث ABC بالنسبة للمركز O — تماثل مركزي: نرسم نصف المستقيم [AO) ونأخذ عليه النقطة A′ بحيث O منتصف [AA′] (OA′ = OA بالبركار)، وكذلك B′ و C′، ثم نصل A′B′C′. المثلث المحصل عليه مقايس لـ ABC ومدار بنصف دورة حول O: رأسه A′ يتجه نحو الأسفل وقاعدته [B′C′] في الأعلى، و (A′B′) ∥ (AB).

التمرين الحادي عشر (0,5 ن)

نقارن ضلعين متناسبين بعدّ التربيعات، مثلاً القاعدة [HN] في F₂ والقاعدة [AG] في F₁: HN = 2 × AG (وكذلك HI = 2 × AB).
نسبة التكبير هي 2.

التمرين الثاني عشر (0,5 ن)

مجموع قياسات زوايا رباعي هو 360°. إذن D̂ = 360° − (75° + 90° + 80°) = 360° − 245° = 115°. الجواب: b.

المجال الرئيسي الثاني: ديدكتيك الرياضيات (10 نقط)

التمرين الأول (5 ن) — مسألة برميل الزيت

حل المسألة أولاً: القطر 4 dm ⇒ الشعاع r = 2 dm. حجم الزيت V = 125,6 l = 125,6 dm³. ارتفاع الزيت h′ = V ÷ (π × r²) = 125,6 ÷ (3,14 × 2 × 2) = 125,6 ÷ 12,56 = 10 dm = 100 cm (وهو أقل من ارتفاع البرميل 1,2 m = 120 cm، فالزيت لا يفيض).

1) المستوى (0,5 ن): السنة السادسة ابتدائي، لأن حساب حجم الأسطوانة القائمة يُدرَّس في هذا المستوى (وهو كذلك في برنامج السنة السادسة بمنهاج 2021: «حجم الموشور القائم والأسطوانة القائمة»).

2) أربعة مكتسبات قبلية (1 ن):

• تعرف الأسطوانة القائمة وعناصرها (القاعدة، الشعاع، القطر، الارتفاع) والعلاقة «القطر = 2 × الشعاع»؛
• حساب مساحة القرص (π × r × r)؛
• وحدات قياس الحجم والسعة والتحويل بينها (1 l = 1 dm³) وتحويل وحدات الأطوال (m، dm، cm)؛
• ضرب وقسمة الأعداد العشرية؛ ويضاف إليها: قراءة نص مسألة وفرز المعطيات المفيدة.

3) تدخل الأستاذة عبر التعليمات (0,5 ن): جزّأت الأستاذة المهمة إلى مراحل متدرجة ترسم للمتعلم منهجية حل المسألة: استحضار القاعدة (التعليمة 1)، ثم تحليل النص وفرز المعطيات الضرورية وغير الضرورية (التعليمة 2)، ثم الإنجاز الحسابي مع تحديد الوحدة المطلوبة (التعليمة 3). فهو توجيه بالتدريج (تسقيل): فهم ← تخطيط ← تنفيذ.

4) الدلالة الديدكتيكية لضمير جمع المتكلم «لنعطِ، لنحدد، لنحسب» (0,5 ن): الصيغة تعلن عقداً ديدكتيكياً قوامه التشارك: الأستاذة تضع نفسها داخل جماعة القسم كطرف مرافق لا كمصدر وحيد للأمر، وتشرك المتعلمين في مسؤولية بناء الحل، فيشعر المتعلم أن المهمة مهمته (تفويض المسؤولية) وأن الخطأ مقبول داخل عمل جماعي؛ وفي المقابل تلتزم الأستاذة ضمنياً بالمساعدة والمصاحبة.

5) المعطيات (0,5 ن):

6) صيغة حجم الأسطوانة القائمة (0,5 ن): V = r² × π × h. الجواب: b (مساحة القاعدة × الارتفاع).

7) نموذج الرسم الهندسي (1 ن): ترسم أسطوانة قائمة في وضع عمودي، ويُثبت عليها:

• سهم أفقي على القاعدة يحمل «القطر = 4 dm» مع إبراز الشعاع r = 2 dm؛
• سهم عمودي خارج البرميل على طوله الكامل يحمل «1,2 m»؛
• جزء سفلي مظلل يمثل الزيت، مكتوب داخله «V = 125,6 l»؛
• سهم عمودي من القاعدة إلى سطح الزيت يحمل «h′ = ؟ (cm)».

الرسم يُظهر أن الزيت نفسه أسطوانة لها قاعدة البرميل نفسها وارتفاعها هو المجهول.

8) صيغة الارتفاع (0,5 ن): من V = π × r² × h′ نستنتج h′ = V / (π × r²). الجواب: b.

التمرين الثاني (5 ن) — العدد العشري

1) وضعية تقنع متعلم المستوى الرابع بعدم كفاية الأعداد الصحيحة الطبيعية (1 ن): وضعية قياس: يُطلب من المتعلمين قياس طول شريط (أو عرض الطاولة) بمسطرة مدرجة بالديسيمترات فقط. يجدون أن الطول «أكبر من 3 dm وأصغر من 4 dm»، فلا يوجد عدد صحيح يعبر عنه بدقة. تقترح الأستاذة تقسيم الوحدة إلى 10 أجزاء متقايسة؛ فيجد المتعلمون 3 وحدات و7 أجزاء من عشرة، أي 3 + 7/10، ويُكتب 3,7. (بدائل: اقتسام 5 دراهم بالتساوي بين طفلين، أو ثمن سلعة بالدرهم والسنتيم.) هكذا يدرك المتعلم أن الأعداد العشرية جاءت لسد حاجة القياس والقسمة.

2) هدفان لمفهوم العدد العشري في السنة الخامسة (0,5 ن): إجابة مرجّحة. في المنهاج الدراسي للتعليم الابتدائي (صيغة يوليوز 2021) يُقدَّم العدد العشري ويُقارَن ويُرتَّب ويُجمع ويُطرح في السنة الرابعة، ويشمل برنامج السنة الخامسة ما يلي:

• حساب جداء عدد عشري في عدد صحيح طبيعي وجداء عددين عشريين بالتقنية الاعتيادية، وضرب عدد عشري في 10 و100 و1000؛
• التعبير عن عدد كسري (خارج عددين صحيحين) بعدد عشري، وقسمة عدد صحيح أو عشري على عدد عشري، وتوظيف ذلك في حل وضعيات مسائل (إلى جانب جمع وطرح الأعداد العشرية بالتقنية الاعتيادية).

الورقة من دورة 2019، أي قبل الصيغة النهائية لمنهاج 2021، لذلك قد يُقبل كذلك هدف من قبيل «مقارنة الأعداد العشرية وترتيبها وتأطيرها» إذا كان البرنامج المعمول به آنذاك يدرجه في السنة الخامسة.

3) امتدادان لمقارنة عددين عشريين بالسنة الخامسة (0,5 ن):

• ترتيب سلسلة من الأعداد العشرية تزايدياً أو تناقصياً وتمثيلها على المستقيم المدرج؛
• تأطير عدد عشري بين عددين (صحيحين أو عشريين) وإدراج عدد عشري بين عددين عشريين، والتقريب؛ ويمتد ذلك إلى مقارنة قياسات (أطوال، كتل، أثمنة) ومقارنة الكسور.

4) نشاط بنائي بالسنة الرابعة لمقارنة عددين عشريين (1 ن):

• الوضعية: في مسابقة القفز الطولي قفز أحمد 3,4 m وقفزت سلمى 3,25 m. من قفز أبعد؟
• البحث: يشتغل المتعلمون في مجموعات بوسائل مختلفة: شريط مدرج بالمتر والديسيمتر والسنتيمتر، جدول العد (وحدات | أجزاء من عشرة | أجزاء من مائة)، التحويل إلى السنتيمتر (340 cm و 325 cm).
• التقاسم: تعرض المجموعات نتائجها؛ يظهر التعارض بين من قارن 4 و 25 ومن حوّل إلى السنتيمتر، فيُناقش.
• المأسسة: لمقارنة عددين عشريين نقارن أولاً الجزأين الصحيحين؛ فإن تساويا نقارن رقم الأجزاء من عشرة، ثم رقم الأجزاء من مائة. ويمكن تسوية عدد الأرقام بعد الفاصلة: 3,4 = 3,40 و 3,40 > 3,25.
• التطبيق: أزواج أخرى للمقارنة (2,5 و 2,15؛ 0,8 و 0,75…).

5) أ — تحليل الخطأين ومصادرهما (1 ن):

• 7,6 < 7,12: المتعلم قارن الجزأين العشريين كأنهما عددان صحيحان (6 < 12)، أي اعتبر العدد العشري «عددين صحيحين تفصلهما فاصلة»، وطبق قاعدة الأعداد الصحيحة «العدد الذي له أرقام أكثر هو الأكبر». المصدر: عائق ابستمولوجي (معرفة الأعداد الصحيحة تصبح عائقاً أمام العشرية)، يغذيه مصدر ديداكتيكي: قراءة العدد «سبعة فاصلة اثنا عشر» وعدم إبراز قيمة كل رقم حسب موقعه (6 أجزاء من عشرة = 60 جزءاً من مائة).
• 0,2 × 0,2 = 0,4: المتعلمة ضربت 2 × 2 = 4 وأبقت الفاصلة في موضعها كما تفعل في الجمع (0,2 + 0,2 = 0,4)، أي عممت قاعدة وضع الفاصلة في الجمع على الضرب؛ أو خلطت مع 0,2 × 2. والصواب 0,04 (جزءان من عشرة × جزءان من عشرة = 4 أجزاء من مائة). المصدر: تعميم مفرط لقاعدة سابقة وعدم تملك معنى ضرب عشريين، مع تصور أن «الضرب يكبّر دائماً».

5) ب — طريقة لتوجيه المتعلم(ة) إلى إدراك الخطأ وتصحيحه (1 ن): الاعتماد على الصراع المعرفي بدل التصحيح المباشر:

1. المواجهة: يُطلب من المتعلم تبرير جوابه، ثم التحقق منه بوسيلة أخرى:
   • للمقارنة: وضع 7,6 و 7,12 على مستقيم مدرج أو في جدول العد، أو التعبير عنهما بالدرهم والسنتيم (7 دراهم و60 سنتيماً مقابل 7 دراهم و12 سنتيماً)، أو بالكسور: 7,6 = 760/100 و 7,12 = 712/100؛
   • للضرب: الكتابة الكسرية 2/10 × 2/10 = 4/100 = 0,04؛ أو شبكة مربعة 10 × 10 تمثل الوحدة يُلوَّن فيها مستطيل بعداه 0,2 و 0,2 فيغطي 4 مربعات من 100؛ أو التقدير: 0,2 × 0,2 يجب أن يكون أصغر من 0,2 × 1 = 0,2، و 0,4 أكبر من 0,2.
2. إدراك التناقض: يلاحظ المتعلم أن نتيجته لا تتوافق مع ما وجده بالوسيلة الثانية، فيصوغ بنفسه سبب الخطأ.
3. إعادة البناء: صياغة القاعدة الصحيحة مع جماعة القسم (تسوية عدد الأرقام بعد الفاصلة قبل المقارنة؛ في الضرب عدد الأرقام بعد الفاصلة في الجداء يساوي مجموع عددها في العاملين).
4. التثبيت: تمارين قصيرة مماثلة (5,3 و 5,27؛ 0,3 × 0,3؛ 0,5 × 0,4) ثم تقويم أثر المعالجة.