Modèle de concours d'accès au cycle de formation des techniciens spécialisés — Ministère de l'Intérieur (DGCT) — filière travaux des collectivités territoriales — session du 3 juillet 2022 — mathématiques

مباراة ولوج سلك تكوين التقنيين المتخصصين بوزارة الداخلية – شعبة أشغال الجماعات الترابية، مادة الرياضيات، دورة 3 يوليوز 2022. الاختبار مقالي / حلّ تمارين، مدته ساعتان، ولا يُسمح فيه باستعمال الآلة الحاسبة. يضم أربعة تمارين: المتتاليات، دراسة دالة، الأعداد العقدية، والاحتمالات. (تنبيه: يظهر في ذيل المسح موضوع مقالي منفصل عن السياحة يخصّ شعبة «المالية المحلية» ولا علاقة له بهذا النموذج.) ما يلي تصحيح منهجي مقترح.

💡 قبل أن تبدأ: وزّع الساعتين حسب سلّم النقط (7 + 5 + 4 نقط...): ابدأ بالتمرين الذي تتقنه لتضمن رصيداً مبكراً. بلا آلة حاسبة، النقط في البرهان المنظّم: كل «بيّن أن» يبدأ بالمعطى ويُختم بالمطلوب صراحةً. اكتب المبرهنة المستعملة (الترجع، TVI، صيغة موافر...) فهي جزء من التنقيط.

التمرين الأول: المتتاليات العددية

• البرهنة بالترجع: تهيئة عند n=0، ثم توارث بافتراض صحة الخاصية عند n واستعمال العلاقة التراجعية للانتقال إلى n+1، فخلاصة على كل n من ℕ.
• المتتالية الهندسية (vₙ): احسب النسبة vₙ₊₁/vₙ وبيّن ثباتها ⟸ حدّد الأساس q والحدّ الأول، ثم عبّر عن vₙ = v₀·qⁿ واستنتج uₙ بدلالة n وقيمة نهايتها (بما أن |q|<1 ⟸ lim = القيمة المطلوبة).
• المجموع/الجداء (Pₙ): استعمل صيغة مجموع المتتالية الهندسية v₀(1−qⁿ)/(1−q)، أو حوّل الجداء إلى مجموع أسس، للوصول للصيغة المطلوبة.

التمرين الثاني: دراسة الدالة f (7 نقط)

• النهايات والفروع اللانهائية: احسب النهايات عند حدود مجموعة التعريف؛ عند فرع لا نهائي ادرس lim f(x)/x ثم lim (f(x) − ax) لتحديد مقارب مائل أو فرع شلجمي.
• الاشتقاق ورتابة الدالة: بيّن أن f′(x) تُكتب بجداء فيه عامل أسّي eˣ (موجب دوماً)، فتصبح إشارة f′ من إشارة العامل الآخر؛ استنتج أن f تزايدية قطعاً وأنشئ جدول التغيرات.
• نقطة الانعطاف: بيّن أن المشتقة الثانية f″ تنعدم وتتغيّر إشارتها عند النقطة المعطاة، فتكون نقطة انعطاف لـ (C).
• حلّ المعادلة f(x)=0: طبّق مبرهنة القيم الوسطية (TVI): f متصلة ورتيبة قطعاً على المجال، و f تغيّر الإشارة بين طرفيه ⟸ يوجد حلّ وحيد α، ثم أطّره (مثلاً −2 < α < −1) بحساب إشارتي f عند الطرفين.
• حساب المساحة: مساحة الحيّز = تكامل فرق الدالتين على المجال (مع مراعاة الإشارة والوحدة cm²).

التمرين الثالث: الأعداد العقدية (5 نقط)

• حلّ المعادلة z² − 2z + 4 = 0: احسب المميّز Δ؛ إذا كان سالباً فالحلّان عقديان مترافقان: z = (2 ± i√|Δ|)/2. (طبّق على المعاملات الصحيحة في ورقتك، فالمسح مبتور جزئياً.)
• الشكل المثلثي: لكل عدد عقدي احسب الطويلة r = |z| والعمدة θ = arg(z)، فتكتبه r(cosθ + i·sinθ). استعن بالقيم المرجعية للزوايا (π/6، π/3، π/4...).
• الزوايا والكتابة الأسّية: عمدة الجداء = مجموع العمد، وعمدة القسمة c/a = فرق العمد؛ استنتج قياس الزاوية الموجّهة، واكتب على الشكل الأسّي z = r·e^{iθ}، ثم استخرج cos وsin للزاوية المطلوبة بالمطابقة مع الشكل الجبري.
• الإزاحة (translation): لاحق صورة نقطة B بالإزاحة ذات المتّجهة المعطاة: d = b + affixe(الإزاحة). للاستقامية بيّن أن (d−a)/(o−a) عدد حقيقي (أو أن المتّجهتين مترابطتان خطياً).

التمرين الرابع: الاحتمالات (4 نقط)

• الإطار: سحب كرتين في آن واحد (سحب آنيّ بلا ترتيب) من كيس ⟸ عدد الإمكانات = التوفيقات C(n,2) لا الترتيبات.
• احتمال «نفس اللون»: P = [C(بيض,2) + C(سود,2)] / C(المجموع,2). طبّق على أعداد الكرات الصحيحة في نصّك.
• احتمال «الجداء منعدم»: يتحقّق إذا سُحبت كرة تحمل الرقم 0؛ احسب عدد التوفيقات المحتوية على الصفر مقسوماً على C(المجموع,2). فكّر بالحدث المضادّ عند الاقتضاء.
• المتغيّر العشوائي X (مجموع العددين): حدّد قيم X الممكنة، ثم قانون الاحتمال P(X=k) لكل قيمة، ثم الأمل الرياضي E(X)=Σ k·P(X=k). تحقّق أن مجموع الاحتمالات = 1.

💡 ملاحظة أمانة: عدّة معطيات عددية (معاملات المعادلة العقدية، لواحق النقط، أعداد الكرات) وردت مبتورة أو مشوّشة في المسح الضوئي [غير واضحة في النص]؛ لذلك اقتصرنا على المنهجية والمبرهنات دون فرض أرقام قد تكون مغلوطة. عوّض بالمعطيات الدقيقة من ورقة الامتحان، فالمنهج أعلاه صالح لأي قيم صحيحة.