Modèle de concours d'accès en 1re année du cycle ingénieur (3e année) de l'ENSA d'El Jadida — Université Chouaïb Doukkali — session du 17 juillet 2019 — épreuve de mathématiques

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جامعة شعيب الدكالي
ENSA UNIVERSITE CHOUAIB DOUKKALI ROALE I 6/008 AMEL
Leila pal LA Lt ECOLE NATIONALE DES SCIENCES APPLIQUEES
CILSTCIERTTS EL JADIDA
Unkenité Chosoih Deuhi ait
Concours d'accès à la première année du cycle ingénieur (session 17/07/2019)
Epreuve de Mathématiques (Durée 1h 45 min)
QUESTIONS À CHOIX MULTIPLES
ns
Lisez soigneusement les consignes cl-dessous:
> _Les formulaires, les calculatrices, les téléphones portables ainsi que tous les appareils électroniques ne sont pas
autorisés.
> Ce QCM comporte 20 questions. Pour chaque question, une des quatre propositions ‏ها , ل‎ WW, 2 est correcte.
> _ Le candidat doit mettre une croix correspondante à la réponse choisie sur la fiche des réponses.
> Barème : Réponse Juste = 2 point ; Réponse fausse = -1 point; Pas de réponse = 0 point.
+ Soient f: E—Fet g:F— 6 deux applications telles que go f est surjective, où E, F et G sont des ensembles
quelconques. Alors :
0 gestinjective.
festinjective,
g estsurjective,
f est surjective.
. Soient P(X) = X*-2X7-4X? +2X +3 et Q(X) = X*-2X3 ‏أرق‎ des polynômes de RIX]. Notons D le pgcd de P et Q.
Alors :
‎px =‏ لقا
‎BJ 000 = x +1.
‎DIX) = (X = 3)X + D).
‏لها‎ px = (X-31X + 12,
‎. On considère un polynôme P non nul tel que :
PCR?) + PIX + DP(X) =
‎et (a = 1)2" sont aussi racines de P.‏ "2ه ‎a est une racine de P, Vn € N°,‏ 51 لها
‎Vn eN°, a?” et (a- 1)?" sont aussi racinesde P.‏ ,تا ‎si a est une racine de‏ لطا
‎si a est une racine non nulle de P, a et a + 1 sont des racines de l'unité.‏ لعا
‎si P n'est pas constant, les racines de P sont 0, 1, -j et -].‏ ](
‎. On considère la fraction rationnelle :
‎1
‎F(x) = RDA TENTE
‎La décomposition en éléments simples de Fest:
‎Groo = ‏لمج بلج‎ il + Fr
‏اه ا بج لج بجا ‎DÉNEP‏
‏الج + 17+ جل + لج بام دضع لعا
لج ‎rt‏ + جاع + جل = ‎r1x)‏ لها
‎[2

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ENSA d'El Jadida -Epreuve de Mathématiques.
5, Parmi les familles ci-dessous, laquelle est une base de R??
‏صم لقا‎  ))1,1,2(, (0,-1,1). V
©] ‏ل( ,1,1,(1,0-,40,1,2),(0 = هه‎
‏لعا‎ © = (14,1,2),00,1,0,0,0, 1m
‏ليا‎ 9 = 1(1,1,2),0,-1, 1), (1,0, 1,(2,1,3)1:
6. Quelle est la valeur du déterminant
1 0 0 0
2 1 -10
h= 3 2 3 1
1 2 1- 4
.4- = 1 لها
‎h=2.‏ لقا
.0 لعا
.4 )0(
7. Soit l'espace vectoriel ‏تا‎ = RŸ. On note 3  )نريعير ‏لم‎ sa base canonique. Soit / l'endomorphisme de E qui à tout
vecteur (x, y, z) associe le vecteur (x +3z,0,y-22).
‏لها‎ 16 ٠# 0+7 f{e2) =0, fes) 20-6.
le2l est une base de ker(f).
[ est de rang 3 car E est de dimension 3.
les, ext est une base de Im(f).
8. R?est muni de sa base canonique = [e,,e2,e3). Soit N une matrice carrée d'ordre 3 n ilpotente d'indice 3, c'est-
à-dire que N°? = 0 et N? # 0. N est la matrice de f € (R?) dans la base @.
(AN? =0 donc N =0.
‏لقا‎ dimker(N) = 3.
‏رقو بزلا‎ f?{u) #0.
‏لها‎ nl existe u € R? tel que f?(u) #0.
9. Soit u € R? tel que f?{u) # 0.
‏قتع لها‎ est de dimension 3, donc toute famille de 3 vecteurs de R? est une base.
‏لقا‎ {f2(u), tu), u} est une famille libre de ‏تج‎
‎{f?(u), fu), u} n'est pas une famille génératrice de R?.
(©) it existe une base de R? dans laquelle la matrice de f est diagonale.
10. Soient H et K deux sous-espaces vectoriels supplémentaires d'un espace vectoriel E de dimension finie, Soit
le,e2,-..,er) une base de K,et a€H.
(] dim(Vecrles +a,e2+a,..,ez+al<k. #
Vectlei+4,e2+a,...,e;+ a) est supplémentaire à H.
Vectle; +a,e2+a,-..,ex +a}= Km
Con peut montrer que tout sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension finie admet au moins
deux supplémentaires.
11. Soita>0etu,= cos (5) -1, Vn21. La série Zu, converge si et seulement si
‏هلما‎ <1 Ba> ; Ta >2 0 <0
n
12. Le développement asymptotique d'ordre 1 de la suite u, = { 1+ 2 est donnée par :
‎ge + ol ).‏ تم لما
‎n n‏

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ENSA d'El Jadida Epreuve de Mathématiques:
2,a
Gi- ‏حب‎ + ec L :).
2
3 ‏ل‎ + 07 — Li.
© ‏ام‎
‎n n
+
13. Soit f une fonction positive, bornée, de classe C* sur R°, on pose F(x) = Î ftne"**dt, alors sur 10, +col, la
fonction F est de classe
اج زقا
-
‎[D] 0 ke! .‏
14, Soit f une fonction continue sur [0,1] à valeurs dans R. Quelle est la limite de ‏ما‎ = fr ‏جا‎ 7+1 ] dx
‎Ju)‏ لما
‎UR‏
‎Î fdx.‏ 0
‎dx , la‏ *
‎Î Tr Quelle fonction dominante nous permet d'utiliser le théorèmede‏ = ما ‎Pour n 2 2, on définit‏ .15
0
‎convergence dominée‏
.1 = جاع لما
‎Si 2‏ 1
‎Si x>2‏ ال م
8 +1
‎gtx) =‏
‎Sixsi‏ 1
‎Six>1‏ 0 { ته
‎16. Soit f une fonction continue sur R2, on pose 1 = ‏مل‎ f(x, ‏مرا(‎ où D est le disque fermé de centre (0,0) et de
rayon 1, l'intégrale 1 se ramène au calcul de
١
‏اله له‎ rf(Vr)dr
0
‏ل‎
‎0 Î ftr)dr
1
Î fVrdr
0
1
0 2 [ rf(r)dr
‎ee]
‎17. La fonction f(x, y) = x? +2xy + y? présente en (0,0)
‎Q un point selle
‎Q un maximum local
un minimum local.
un point non critique.

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18. Soit f une fonction continue, intégrable sur R, et F(x) = ‏مم ب‎ sa transformée de Laplace, La limite
lim F(x) vaut 0
+0
‎To 1 { ' )‏ ِل ! يا
‎n'existe pas.
+00.
‏+م)‎ 7
19. On considère la série entière complexe de terme générale u,(z) = 20.١ le domaine de convergence de cette
‎série est
‎(Le disque ouvert de centre 0 et de rayon 2.
‏لقا‎ Le disque fermé de centre -1 et de rayon 2.
Le disque fermé de centre -1 et de rayon 2
‎Le disque ouvert de centre -1 et de rayon V2.
‎20. Soit f une fonction à variable complexe, holomorphe sur le disque fermé de centre (0,0) et de rayon r > 0. on
note C, le cercle de centre (0,0) et de rayon r, alors l'intégrale | (f(2)+ de vaut
‏(0)'/ + (21)/)0 لها
00
‎2nif(0)
‎0 Î ‏ا‎
‎XX * * * * * + BONNECHANCE % % * % + % + + + *