Modèle de concours d'accès en 1re année de l'École Nationale Supérieure des Mines de Rabat — année 2018-2019 — épreuve d'analyse

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ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DES MINES DE RABAT
Concours d'accès en première année
Année 2018-2019
Épreuve d'analyse
Durée : 2h
Directives :
e Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la
précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené
à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera
sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons
des initiatives qu'il a été amené à prendre.
e Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
+ L'usage de la claculatrice et de tout matériel électronique est rigoureu-
sement interdit.
Exercice n°1
1-Q1) Vrai ou faux : la convergence des deux séries numériques
+00 +00
Ja et DE
n=l n=l
implique la convergence absolue de la série
+00
: ‏ا‎
‎n=l
© sin(t
0
1/2
Fr) = Î sin"(0)d8, n >2.
0
1-Q2) Étudier la convergence de
1-Q3) Calculer
1-Q4) Calculer
I(a) = [” log(1+ x?sin?(0))
sin?(8)
1-Q5) Étudier la limite
s—+1+
+00
lim (s-1)ÿ in.
n=l
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Exercice n°2
Pour tout n € N°, on définit la fonction f, sur R par f(x) = ‏قاع‎ — Je
2-Q1) Montrer que 32 f, converge simplement sur R° et déterminer sa somme f.
2-Q2) Montrer que pour tout n € N°, f, est intégrable sur |0,+o0{ et que / l'est
. également.
“9-Q3) Calculer
+00 +00
Î fn(tjdt et Î lfa(t)ldt.
2-Q4) Comparer
[” f(tjdt et S [” falt)dt.
اسهد
2-Q5) Que peut-on conclure ?
Exercice n°3
Dans cet exercice, P,, désigne l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré
inférieur ou égal à n.
Soit f : [a,b] —+ R une fonction continue. On se donne n + 1 points Zo,Z1,...,T«
dans [a, b], deux à deux distincts.
On appelle polynôme d'interpolation de f aux points ‏يع‎ un polynôme P € ‏وال‎
vérifiant P(xi) = f(x) pour tout i = 0,...,n.
3-Q1) Montrer l'existence et l'unicité du polynôme P.
3-92( Soit m € N°. Montrer que si h : [a,b] —+ R est une fonction m-fois dérivable
qui s’annule m + 1 fois, alors il existe un c €Ja, b| tel que ‏)لم‎ = 0.
3Q3) On suppose que f est de classe 0+1 sur [a, b] et on fixe x un réel dans {a, bi
Montrer qu'il existe c, €Ja, b| tel que
fes)
n+i)! [Te #)
f(x) - P(x) =