Modèle de concours d'accès à l'ENSMR (titulaires du DEUG ou équivalents) — session du 14 juillet 2018 — épreuve d'algèbre

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Concours d’accès à l'ENSMR, destiné aux titulaires du DEUG ou équivalents
-Epreuve d'ALGEBRE-
14 Juillet 2018
-EXERCICE-
Soit Avensembte des matrices carrées d’ordre n (n > 2) à coefficients réels, de la forme :
‎BP 0‏ ج
{ 0
‎B. «a Ÿs‏
؛ > : ‎ON,‏
‎M \ ٠‏ > اُ
‎M(a, B)= | : SOON NO 1 [35 (G@B)ERXxR.‏
‎ÈS be K i‏ :
‎٠‏ > 01 1
/ ب >
‎a‏ م8 ‎١‏ مده عع مم ‎BP‏
‎1) Montrer qu’il existe dans À deux matrices 1 et J ne dépendant ni de ‏م‎ ni de B
telles que l’on ait : M(«, P)=al+BJ; ((& BJERxR).
2) Déterminer les éléments inversibles de
‎-PROBLÈME-
‎Soit n un entier naturel non nul et E l’espace vectoriel des polynômes à une
indéterminée X, à coefficients réels, de degré strictement inférieur à n.
‎Soient x1, x2, ... xn des nombres réels distincts deux à deux ; on pose
H(X)=(X-x1) (X— 2x2). ) - x).
‎1) Calculer H° (x); )1 515 n) et les polynômes
‎an 1 HD, .
HO = ‏وموم‎ xp 055
‎2) Calculer Ej (x); )1 > j£n1<i£n);en déduire que les polynômes
Ei, E2, .… En sont linéairement indépendants et qu’ils forment une base de E.
3) a) Montrer que l'application @i )1 <i > n) de E dans R, définie en posant
pour chaque élément P de E, @: (P) = P(x) est une forme linéaire.
b) Montrer que ) ‏ردم يرم‎ 1 Pn) est la base du dual E* de E, duale de la base
(E1, E2, .…, En) de E.

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©) En déduire le résultat suivant : étant donnés n nombres réels ‏ينا‎ ÿ2, --… Yns il
existe un polynôme P de E et un seul, tel que P(xi) = yipour 1<i<n.
4) Soit f une fonction définie continue sur l'intervalle [a, b] de R, à valeurs
réelles. On considère Papplication g de E dans R, définie en posant pour
chaque élément P de E,
‎['f(DP(DdL.‏ حصا
‎Montrer que g est une forme linéaire; donner ses coordonnées sur la base‏
‎Pa, Pn) de E*, sous formes d’intégrales définies.‏ ,61 )
‎5) Soient bi, b2, …, bn+1 des nombres réels tels que b1 < b2 < ... > bn < bat.
Pour chaque entier i compris entre 1 et n on définit une application W, de E
dans R en posant pour chaque élément P de E,
‎b
‎Y:(P) =[ P(t)dt.
Montrer que Y, (1 <i< ‏به‎ est une forme linéaire. Démontrer qu’il existe n
polynômes F1, F2, ..., Fn de E tels que :
‎0 sii+)j
‏رطا‎ - 1: sii=j.
‎En déduire que (F1: P2, ‏(وكلا....‎ est une base de E".
6) Exprimer (sous forme d’intégrales définies et en fonction des Ei et des Fj
{<i<n,1<j<n))les coordonnées des formes ‏للا‎ (1 1 < n) sur la base
‎) ‏...ديم ,ررم‎ Pn) et les coordonnées des formes ‏يم‎ (1 <i< n) sur la base
‎(M D >. a ) .
‎7) Trouver la base duale de la base de E formée par les n polynômes:
‎1,X, X2,..., ‏تل‎