Modèle de concours d'accès — cycle ingénieur — Faculté des Sciences et Techniques de Settat — Université Hassan Ier — session session juillet 2015 — Épreuve : mathématiques

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première année da cycle ingénieur - Session Juillet 2015
Durée : 3 Heures
Le présenranon, la liste. 1 orthographe le assé ‏عا‎ L rédscsion. la clarté et la précision des
\ raisvnnements entreront pOur Ame DOTE PPOTIERSE É2rs l'opprécinon des copies.
Les candidats sont invisès à encadrer, ‏تحتف‎ L mesure ‏تددح مذ‎ les résuhats de leurs calculs.
\ Ps ne doivent faire ‏دو :تحر [ فصر تدص صمت ل بوه‎ d'une régie ‏عادو جع‎ est autorisée.
Concours d'accès en
Épreuve de : MATHEMATIQUES
\ L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Exercice 01 : (6 points)
Soit B= 8 , 7. E ‏ما‎ base canonique de l'espace vecsomel ‏نع‎ cesse : à =(1,0,0) ‏رن‎ =(0,1,0)
et E=(0,0.1} . et soit f l'endomomssne de R° ver le ‏ممح‎ relstivement à le base B est:
>
2 3 1
may f=A4= 0 -+ -2
4 12 S$
7
La Calculer P, (x) te polynôme ‏مدجحامصحت‎ de le Das 4
‏نط‎ Vénier que l'ensemble des valeurs peugres de ‏عا‎ ane 42s:/0:1:2}.
=
2 Considérons les vecteurs : u =(1.-2.4); & 2)1.-2.5( : ‏اذ‎ = {3.-4.12)
أ من ‎bee‏ عاك | بلا 4 ‎Montrer que B°= (a‏ نج
fo © 0 {
& Montrer que la mamnce de j' relativement ‏عا‎ Base Ses: D= 0 1 0 |
0 0 2)
١ x (r}= 2x0) #37 (0) +20 2
3: On considère le système | S]d'eguanons ‏لاعت ات‎ sanemt: 4 >'{r)= 4700 -2:(1) |
‏(520+(0ر12 + م4 د زر‎
a Écrire )3 ( sous une forme mamelle .
à Résoudre le système {S) . ;
(x(9}=-1 Ë
‏كك‎ Déterminer Ia solutionde )5( qu vente le condition mutiale | >(0j=1
——————————_————@ ‏سس سس سس‎
Page 14 ‏اح‎ Le

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Session Juillet 2015
Durée : 3 Heures
‎en première année du cycle ingénieur‏ مجو بي
‎Te MATHEMATIQUES‏
‎Exercice 02: ) 5 points)
‎Os ‏ادم‎ l'aquios différeselle (E): “ ‏:ب رو سوه‎ où y est une fonction de I
variable ‏علي‎ x. définie ee deux ‏دده‎ déiveble sa R.
‎L Résoudre l'équatice homogène (#7) : ‏رار‎ -67=0.
‎2 V'énfier que la Roctioa ‏ع‎ define ‏كه‎ R pe: g{x)= Le? est une solution particulière de (E).
‎À Déduire ‏ما‎ sofuton générale de 1 ‏جيه‎ éfrenielk(E).
‎4 Dérerciner La fonction y solution de (E) sur R vérifiant les conéitions : (0) = 1 et »(0)=-1
Soit 2 la fonction définie sur R par: f(x)=(x+ ie et soit (C,) sa courbe représentative.
‎Déterminer le développement Limité à l'orère 3de j am voisinage de 0 ٠‏ لد
‎En dure l'équation de ‏ما‎ rangente )1( à (C;) an point d'abscisse 0, et préciser la position
rianve de )6 | rerrappor à (7) au voismage de œ point
‎Exervice 03 : (9 points)
‎Notations et rappels
Soit June foncüea 7 - périodique ( T } 0 ( et continue par morceaux Sur R
‎٠» Les coefficients de Fourier de la fonction ‏رز‎ sont définis per :
‎Î f{r}cos(ænt)at
‎1
‎|
‎3 a 7
‎|
‎Î ‏وا‎ &  pourtmre N°: À
Ÿ | b, =
‎=}
‎l [ f{r}sin(@nr)dt
‎slt
‎nd
‎Où &= F est la pulsation de f
‎» La séne de Fourier de J' est la sènie mgonométrique : do + De. cos{nax) +b, sin(n@x)
‎« Si la série de Founer de / converge pour Tout x € R, et si sa somme est la fonction f ,alors on dit
que Fest développable en série de Founer
e On rappelle le théorème de DIRICHLET :
Soit f une foncnon T'-pénodique ( 7 } 0 ) ct définie sur R.
On suppose que la fonction f vérifie les conditions suivantes appelées conditions dé Dirichlet :
“Les disvontinuités de sont en nombre fini sur tout intervalle de longueur T
‎Page 2/4
‏ع

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- 2 On er LÉ ? ‏ا‎ 4
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Concours d’accès en première année du cycle ingénieur - Session Juillet 2018
‘preuve de : MATHEMATIQUES Durée : 3 Heures
7 (VxeR); f admet une limite à gauche en x (notée f(x jet une limite à droite en x
(notée /7)*((
à LÉ
PAS EE PTT ET ii) | 43
‎(VxeR) ; f admet une dérivée à gauche en x et une dérivée à droite en x‏ كا
‎Alors : la série de Fourier de f converge pour tout xe R ctona:‏
‎+
‎a+ D. cos(nax) + ‏ط‎ sin(nox) EE)
‏اعم
‎On rappelle la formule de PARSEVAL :‏ ؟
‎Soit f une fonction T- périodique ( 7 } 0 } , définie sur R et satisfaisant les conditions de
‎a
‎EF
‎è
‎t
‎+—
‎if’ 1 Dirichlet. Alors : 3 MO dt=a + D (a + bi)
° LAS
Partie 1 : Résultats préliminaires
Soit / une fonction 7 - périodique ( 7 } 0 ( et continue par morceaux sur R
‎r LA
/ 1/ Montrer que : | f{r}dt = [ ١ f{t)dr
‎ 2/ Montrer que si la fonction f est paire alors :
‎ef
‎2 (#
LE  4,= 7 [ HOT
‎: 4
ä.  PourtoutneN': ‏جيه‎ T | ‏4(«ه)1/))0005‎ ©»
9 .
‎Montrer que si la fonction f est impaire alors :‏ /3 ب
‎i  Pourtoutne N :‏
‎b,=0 |
a, =0
‎PourtoutreN':  b = 7 | S(t}sin (@nr)at‏ .لا
0
‎Partie 2
‎On considère le signal défini par la fonction périodique f de période 27 telle que pour er
‏رز‎ a
tel-x,x]: /)0( = |
‎Page 3/4 5‏
> (ههسباسسيا١|_و|و|||||||||‏ ا _ اه لآ سس سر

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-
7
1
جججوير
’ را 0( ‎courhe crdessous est la représentation graphique , dans un repère orthonommal‏ مدر
&e la fonction / sur [-7, x].
a: Justifier graphiquement que la fonction 7 est paire.
bi A partir de la représentation graphique de la fonction f sur [-7 ; 3 donner le tableau de
variation de la fonction / sur[-7,7].
‎Tracer la courbe représentative de la fonction f sur [-27, 2x].‏ ب
‎2/a/ Donner la valeur de ‏رط‎ pour tout ne N°.
‏ب «
‎b' Vérifier que: a = 1
7
‎En faisant une intégration par partie deux fois, vérifier que pour tout 7€ N°:‏ كن
‎ot (-1Y‏
‎e A 1)‏ =
+1 27
‎Vérifier que f satisfait aux conditions de Dirichlet sur R et écrire le développement en série‏ 3
‎de Fourier de la fonction f.
‎4la! Justifier la convergence des séries numériques de terme général : ner et os 7 1 1
n+ La
t {=Æ
‎En utilisant Le développement en série de Fourier de la fonction / pour 10 €‏ اط
‎4
‎calculer les sommes : ) SD et ‏كب‎ .
+1 "+
"0
‎Justifier la convergence de la série numérique de terme général : ei‏ لوالا
‎n°+1‏
‎En utilisant le théorème de Parseval calculer la somme : 25 |‏ اط
‎Fa +1‏
‎«0
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