Modèle de concours d'accès — cycle ingénieur — Faculté des Sciences et Techniques de Fès — Université Sidi Mohamed Ben Abdellah — session septembre 2011 — Épreuve : analyse

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FST-Fès Examen en Mathématiques
Durée : 1h 30
Analyse
Note :
e Toute réponse non justifiée aura une note nulle. .
e La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements interviendront
pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Exercice 1
Soit une fonction continue f, sur l'intervalle unité fermé [0,1] et qui s’annule aux
extrémités. On dira que c > 0 est une corde de [ s’il existe un nombre x tel que x et
2 + c soient tous deux dans [0, 1] et tel que : f(x) = f(x + c). Un nombre est appelé
corde universelle s’il est une corde pour toute fonction continue sur [0,1] et telle
que f(0) = f(1) = 0. Par exemple, c = 1 est une corde universelle. Montrer que si ‏م‎
: ٍ 1
est une cordre universelle, elle est forcément de la forme - avec n entier naturel positif.
0
Indication :
Considérer la somme télescopique
COUDE) ‏مر‎ =0
nm n 7
puis utiliser la fonction ‏(ه)و‎ = f(x + 2) — f(x), où f est la fonction vérifiant les ‏حيط‎
pothèses ci-dessus.
Exercice 2
2.1. Soient À une partie de l’ensemble des nombre réels R, (ta}nen une suite de Cauchy
d'éléments de À et f une fonction uniformément continue sur À à dans valeur dans R.
Montrer que (f(æn)}nen est une suite de Cauchy dans R. \ Le
SK
—
2.2. Soient a,be R et f une fonction réelle uniformément continue sur Ja, b|. 1 7
Montrer qu’on peut prolonger par continuité la fonction f sur {a,b]. |
Indication : Montrer que la limite de l'image, par f, d'une suite qui converge vers a ne
dépend pas du choix de cette suite. Conclure.
Exercice 3
i . : i r R.
Montrer que la fonction f(x) = sin(z) ; (0) = 1 est uniformément continue sur
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