Modèle de concours d'accès — cycle ingénieur — Faculté des Sciences et Techniques de Mohammedia — Université Hassan II — session 15 juillet 2011 — Épreuve : algèbre

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Université HASSAN 1
Faculté des Sciences et Techniques - MohammAlin
Département de Mathématiques
Ingénierie Mathématique et Informat ique Appliquée À l'Economie
15 Juillet 2011
Epreuve d'Algèbre
. ‘entrée en premià : ‏إن‎
‎Concours d'entrée en premiè 10 année INTAT
Pour une matrice À de l'espace vectoriel MAR}, on note C(A) - {M € ‏لفاء لاطا‎ AA} le commutant de
la matrice À.
1. Démontrer que pour À € MAR), CA) est un sous espace vectoriel de Ma).
1 4 -2
2. Soit À = 0 6 -3 } et u € L(R?) l'endom bise canonique ‏ابا سه‎ À À
-1 4 0
(a) Calculer le polynôme ‏عدف‎
stique de {et les sous espaces propres ‏ممعم‎ À À,
(b) Montrer que R3 = Ker(u - 3Ldgs) A Ner(u - Dim)?
(c) Montrer que Ker(u — 2Tdxs}? est stable par ui,
)0( Soit v l'endomorphisme de Ker(u - 2148)? induit par u sur Ker(u - 2e)? défint par :
©: Ker(u-2Tdps)? ‏ب‎ Ker(u - ‏ليم‎
‎2 + ufr)
Déterminer une base de Ker(u — 21dgs)? relativement à laquelle la matrice de ‏ب‎ est
(e) cn déduire que A est semblable à
0 ا 3 '
لا 0 |12
لا 0 0
Pour cela, on donnera une matrice inversible P de À LCR tollo que ‏طاح‎ » 7"
3. Déterminer le commutant C(T) de la matrice 7. Déterminer sn dimension,
4. Démontrer que l'application M ++ P-1A{P est un endomerphisme bioctif d'espaces vectoriels de M3(R).
Que peut-on déduire pour la dimension de C(4)?
5. (a) Existe-t-il un polynôme annulateur de A de degré intérieur on égal À 2?
‏(ط)‎ Démontrer alors que C(A) = vect{ls, À, A7},
(c) En déduire que C(A4) est l'ensemble des polynèmes en À,
Ce résultat reste-t-il vrai pour une matrice À « MalR)?
Pour un entier non nul n, on désigne par :
- Sn l'ensemble des matrices symétriques de M,(R),
- 8 l'ensemble des matrices symétriques positives de AR),
On admet que si 1,2, En sont n réels positifs, alors on a :
En > [rot
‏زا‎
مس"
1
On rappelle qu'une matrice S appartient à SF, si S appartient À SA et si, pour toute matrice X € Maa(R),
onatXSX >0
6. Démontrer qu'une matrice S de ‏وى‎ est un élément de SE ‏لع‎ et seulement sl toutes les valeurs propres de
5 sont positives.

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يسيس ممست سس + =
7. Soit S € St. Démontrer que
à | VHS) > Ltrace(s)
LE 8. Appllaction : Soit Af € M,(R), #
(a) Démoutrer que (MM € © ٠ | # Ps
* (b) Si M = (m;), en déduire l'inégalité sé
0 7 1 8" 17
+ ‏ا ال‎ (detM}< ‏ب(‎ my.
L fui ‏مار‎
‎0 ‏ل ل سد‎ nu