Modèle de concours d'accès au cycle de préparation à l'agrégation de sciences physiques (option physique) — CRMEF Casablanca-Settat 2014 — Épreuve : Physique II

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ROYAUME DU MAROC
Ministère de l'Education Nationale
et de la Formation Professionnelle
Concours d’Entrée en Première Année du Cycle de Préparation
À l’Agrégation de Sciences Physiques
Option : Physique
Session : Juillet- 2014
ÉPREUVE DE PHYSIQUE II
Durée : 4 heures
Cette épreuve comporte 13 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est autorisé
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Concours d'entrée en première année du cycle de préparation à l'agrégation de sciences physiques
(option : physique)
L’énoncé de cette épreuve comporte 13 pages. Il est constitué de deux problèmes totalement
indépendants.
L'usage de la calculatrice non programmable est autorisé.
On veillera à une présentation claire et soignée des copies. Il convient en particulier de rappeler avec
précision les des questions abordées.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il est invité à le
signaler sur sa copie et à poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à
prendre.
Premier problème
Electromagnétisme
Le problème d’électromagnétisme comprend trois parties.
Données :
e En coordonnées cylindriques (figure 1) :
ft -10[ ‏لي‎ à ‏حزن‎
‎gradf = 36 ‏و6 272 + و6 36 = و6‎
: 10(pA;) ‏و18‎ OA,
d 7 ‏شر عغعك__ ابلاط‎
à ‏م‎ Op Li ‏م‎ 00 F Oz
— 104, 04) 0A, ‏ود‎
‎DÉC,
‎- ( 00 72 ) 4 ( De 0 ) L
1 ‏(مقماة‎ "> 1 re
‏م‎ Op 00
‏جاجا جا ا 277 + > جه‎
e AA(BAC)=B(A.C)-C(A.B)
٠. div(£.À) = fdiv(À) + À graûf
٠ div(A A B)= BrotA - 8
٠. rot(f. À) = frot(AÀ) + gradf ‏دم‎
‎٠ ‏مداه‎ B)= Adiv(B)— Bdiv(A)+(B.grad)A — (A.grad)B
1** partie
Définitions
1.1. Loi de Biot et Savart
On considère une distribution filiforme de courant dans le vide représentée sur la Figure 2, où
nous avons porté le vecteur unitaire ‏ل‎ sur PM.
111. Exprimer le champ magnétique dé (M), créé en M par l'élément ai du courant d'intensité
1 pris autour de P.
112. En déduire le champ magnétique 7 (M) créé en M par le circuit filiforme (C).
Épreuve de Physique 11 1 713 Tournez la page S.V.P.
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x Coordonnées cylindriques : ‏,م‎ 0, z
Figure 1:
Figure 2:
1.2. Théorème d'Ampère
12.1. Énoncer et formuler le théorème d'Ampère sous sa forme intégrale.
12.2. Appliquer le théorème d'Ampère au cas des courants représentés sur la Figure 3.
I 1 1/4
Figure 3:
2°" partie
Champ magnétique et potentiel vecteur
Les coordonnées cylindriques (p,0,z) seront utilisées dans ce paragraphe.
Épreuve de Physique II 27/7 3 ‏ر7-‎
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2.1. Expressions du champ magnétique et du potentiel vecteur
‎2.11. Montrer que, dans le cas d’un champ magnétique uniforme 13 en tout point M de
l’espace tel que OM = T, le champ de vecteur défini par À ‏ح‎ ! 13 AT est un potentiel vecteur
‎pour B.
‎2.1.2. Calculer rot (B), puis rot (T°) et en déduire la valeur de div A.
2.2. Courant rectiligne
Un conducteur rectiligne cylindrique illimité, de rayon ‏بكا‎ d’axe de révolution 2 2, est parcouru
par un courant volumique 1 uniforme et dirigé de 2 vers 2. Un point M de l’espace est repéré par
ses coordonnées cylindriques (Figure 4).
' LA 2 ‏ل‎
‏ل‎ R L
Figure 4:
2.21. A l’aide des propriétés de symétrie examiner les éléments de symétrie et d’invariance
de ce conducteur cylindrique qui ont une conséquence sur les modules et directions du champ
‎magnétique 3 (M) et du potentiel vecteur A (M).
‎2.2.2. Déterminer, en appliquant le théorème d'Ampère, le champ magnétique B (M) en tout
point M intérieur et extérieur au conducteur. Nous poserons 3 = Bi pour ‏م‎ > Ret B = Bu
pour ‏م‎ > R. Tracer l'allure de la courbe de B(p), où B = || 7 |
2.23. En déduire le potentiel vecteur A en tout point M intérieur (A) et extérieur (A1) au
conducteur, à partir de la relation locale champ-potentiel sachant que A(R) = 0, condition posée
arbitrairement. Tracer l'allure de la courbe de A(p).
rue 0" 1 ; . ٍٍ ‏خسن للم‎
224. Le potentiel A (M) pouvait-il se calculer à partir de la relation précédente À = 28 7
Justifier votre réponse.
2.3. Courant circulaire
Épreuve de Physique II ST 3 Tournez la page S.V.P.
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2.3.1. Une spire plane circulaire de centre 0, d’axe z'Oz, de rayon a est parcourue par un
courant stationnaire d'intensité 1. En un point Mo de son axe, la spire est vue sous un angle de
2(7r — à) (Figure 5).
Pe N
‏يت | نا‎ N
3 M 2
Figure 5:
2.3.1.1. D'après les éléments de symétrie et d’invariance de la spire de courant, définir les
variables dont dépendent le champ magnétique B (Mo) et le potentiel vecteur A (Mo) ainsi que
leurs directions.
2.3.1.2. Calculer, à l’aide de la loi de Biot-Savart, le champ magnétique au point M et le
mettre sous la forme : B (Mo) = B(O)f(a) où B )0( représente le champ magnétique au centre de
la spire et f(a) une fonction trigonométrique de l'angle a.
2.3.1.3. Exprimer le potentiel vecteur d (Mo) pour tout point Mo de l'axe 202, dû à un
élément di de la spire, parcouru par un courant d'intensité I. En déduire A (Mo). Ce résultat est-
il compatible avec l'étude menée en (2.3.1.1.) pour A (Mo) ?
2.3.2. Un solénoïde de longueur finie L, d’axe 22 est constitué de spires coaxiales jointives, de
rayon R et parcourues dans le même sens par un courant stationnaire d'intensité 1. L'origine des
coordonnées cylindriques est prise au milieu du solénoïde, et l’on désigne par ‏ص‎ le nombre de spires
par unité de longueur (Figure 6).
111. AT
‏ع‎ dz : l 1
‎Figure 6:
2.3.2.1. Exprimer le champ magnétique dé(M) créé par l'élément de solénoïde d'épaisseur
2.322. En déduire le champ magnétique E(M) pour tout point M de l'axe du solénoïde,
sachant que les spires des extrémités du solénoïde sont vues du point M sous les angles 2a1 et
Épreuve de Physique II 4/13 —
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2)7 — ‏.دوه‎
‎2.3.3. Un solénoïde dont la longueur L est très grande devant le rayon R des spires est qualifié
de “ solénoïde infini ”.
2.331. Utiliser le résultat précédent pour exprimer le champ magnétique en tout point M de
l'axe du “solénoïde infini”.
2.3.3.2. Soit T un point quelconque à l’intérieur du solénoïde et situé à la distance ‏م‎ de l'axe
(p > R) (Figure 7). Par application du théorème d'Ampère au contour rectangulaire 011700 de
‎longueur OO’ = 1 sur l’axe, évaluer le champ magnétique Bi pour tout point 1 intérieur.
nr 7
I 0 | 0 I
Figure 7:
23.33. Soit U un point quelconque à l'extérieur du solénoïde, à la distance ‏م‎ de l'axe
(p > R) (Figure 7). Par un raisonnement ‏بي سنب‎ au précédent, appliqué au contour rectangulaire
OUU’0O"O, en déduire le champ magnétique 13 ‏ين‎ pour tout point U extérieur.
2.3.3.4. Calculer les potentiels vecteurs ‏يوذ‎ pour tout point 1 intérieur (p > R) et A. pour
tout point U extérieur (p > R).
2.3.3.5. Les potentiels ‏يبط‎ et A... pouvaient-ils se calculer à partir de la relation précédente
= : E À + ? Justifier votre réponse.
2.3.3.6. Tracer les graphes de B(p) et A(p) des normes du champ magnétique et du potentiel
vecteur respectivement.
3ème partie
Induction électromagnétique
3.1. Loi de Lenz, Loi de Faraday
Une spire plane circulaire de centre 0, de rayon a (a > R), est placée perpendiculairement au
champ magnétique à l’intérieur du “ solénoïde infini ”. Les spires jointives de rayon R du solénoïde
sont parcourues par le courant variable I(t) = ‏م1‎ sin(wt) (Figure 8).
3.11. Déterminer la force électromotrice (f.é.m) induite dans la spire en utilisant :
3.111. la loi de Faraday.
‏رحو‎
‎3.1.1.2... ‏ع1‎ champ local induit : ai = -iÀ.
Épreuve de Physique II 515 Tournez la page S.V.P.
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hoc ri ‏رج‎ CUT TR) ‏ب‎
‎TT ‏ا اج‎
_- ‏ل‎ 0 ' =
PA ٠ À r :! a -
--_- ‏ل د‎
Figure 8:
3.12. En déduire l'intensité i(t) du courant induit circulant dans la spire de résistance r. Préciser
le sens du courant dans la spire.
La spire, placée à l'intérieur du ” solénoïde infini ”, tourne maintenant autour d’un axe fixe de
son plan à une vitesse angulaire constante w.
3.13. Un courant stationnaire d'intensité I circule dans les spires jointives de rayon R du
‎solénoïde et crée un champ magnétique ‏.مط‎ (Figure 9). Calculer l'intensité i(t) du courant dans
la spire, de résistance r, lors de sa rotation.
PARENT - so] ns ‏وت لمسامة ا‎
* ‏ل‎ 1 L 1
0 Gi à à
Figure 9:
3.14. Déterminer le champ magnétique variable B;4 qui annule, à chaque instant, le courant
dans la spire dans les cas suivants :
3.1.4.1. Fu a la direction constante de l’axe 202 et un module variable.
‎3.142. B;x a un module constant et une direction variable. On négligera l’inductance propre
du circuit.
3.2. La roue de Barlow
Le circuit représenté en Figure 10 comprend, dans un montage en série : une roue de Barlow, un
résistor de résistance R, un condensateur de capacité C et un interrupteur K. Cette roue de Barlow,
disque conducteur homogène de centre 0, de rayon a, de moment d'inertie [ par rapport à son
axe de rotation, est soumise à un champ magnétique uniforme B parallèle à l’axe de la roue. Un
point P de sa périphérie est en contact avec un baïn de mercure pour assurer le passage du courant
tout en minimisant les actions mécaniques de frottement que l’on négligera. On suppose la roue
parfaitement conductrice.
La roue est lancée avec une vitesse angulaire initiale wo. A l'instant de fermeture de K, t = 0, le
condensateur porte la charge initiale ‏مو‎ sur la plaque reliée au résistor.
3.2.1. Parmi la répartition quelconque des lignes de courant entre O et P, nous représentons sur
la Figure 10, celle qui passe par un point M en transportant un courant d'intensité di.
3.2.1.1. Exprimer la force de Laplace d?f sur un élément di de cette ligne de courant.
Épreuve de Physique II 6/13 ‏يه‎
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Figure 10:
3.2.12. Déterminer le moment 1 en 0, des forces électromagnétiques agissant sur la roue
‎en fonction de a, iet B. Commenter le résultat obtenu.
3.2.13. Exprimer la force électromotrice induite en fonction de a, ‏ل‎ et 3 :
3.2.2. Établir les équations mécanique du mouvement de la roue et électrique du circuit. En
déduire les lois d'évolution dans le temps de :
3.2.2.1. l'intensité i(t) que l’on mettra sous la forme : i(t) ‏مح‎ exp (— +) . Déterminer à et 7 en
fonction de a, ‏ح 3 ,موه بكا ,ا‎ || 5١| ‏اه‎ 0.8
3.2.2.2. la charge q(t) du condensateur sachant que q(0) = 6.
3.2.2.3. la vitesse angulaire w(t) de la roue avec w(0) = wo.
3.2.3. Quand t devient très grand, q(t) et w(t) tendent respectivement vers ‏مو‎ etw. Expliciter
‎C, B et wo.‏ رفو ‎etws en fonction de a, J,‏ مم
‎de telle façon que &6.B > 0.‏ وس ‎On fixe la vitesse angulaire initiale à la valeur‏ .3.2.4
‎Montrer que la roue se comporte initialement comme un générateur pour toute valeur‏ .3.2.4.1
> مو ‎de‏
‎A partir de quel instant f,, celle-ci deviendra-t-elle un récepteur ?‏ .3.242
‎Deuxième problème‏
‎Optique‏
‎Le problème d'optique comprend deux parties totalement indépendantes.‏
.1 قم 3.108 = ‎La vitesse de la lumière dans le vide est notée c‏
‎partie‏ **1
‎Interférences‏
‎Les grandeurs harmoniques seront représentées en notation complexe.
‎Une source lumineuse ponctuelle située en 5 émet, de manière pulsée, des trains d'ondes
lumineuses supposées de même pulsation w. Dans le modèle scalaire de la lumière, la fonction
de l'onde monochromatique est caractérisée en un point M et à l'instant t par le signal lumineux
Épreuve de Physique II 77/73 Tournez la page S.V.P.
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(option : physique)
ou vibration lumineuse : s(M,t) = acos[wt — ‏,رز( بكل)م‎ où a est l'amplitude supposée constante de
l'onde et ÿ (M. t) son retard de phase en M et à l'instant t par rapport au point de référence 5 .
Par convention, la grandeur complexe associée à la grandeur réelle s(M, t) est le signal analy-
tique : s(M,t) = aexp[j(wt— (M, t))], où j est le nombre complexe pour lequel j? = —1. Le complexe
conjugué de s(M, t) est noté s*(M.t).
Le modèle des trains d'ondes suppose que la phase à la source ‏وم‎ reste constante pendant
des intervalles de temps de durée constante 70 entre lesquels elle change aléatoirement de valeur.
L’onde émise durant cet intervalle de temps appelé temps de cohérence est nommée “train d'onde”.
Le train d'onde est ainsi limité dans le temps et se propage dans le vide à la célérité c . Ce temps de
cohérence est la durée moyenne de passage des trains d’ondes en un point donné de l’espace. La
phase de l’onde ‏وم‎ à la source 5 prend une nouvelle valeur aléatoire à chaque nouveau train d'onde.
1.1. Rayon lumineux
La lumière se propage de 5 à M le long d’un rayon lumineux avec pour vitesse au point 1 :
v(P) = ‏رج‎ où n(P) est l'indice de réfraction du milieu en P ; par définition, le chemin optique (SM)
entre les points 5 et M du rayon lumineux est : (SM) = 4 n(P)dl(P). L'élément d'arc de la courbe
suivie par la lumière est noté dI(P) ; il est défini en P et est parcouru par la lumière à la vitesse de
propagation v(P) pendant la durée dt.
1.1.1. Chemin optique et phase du signal lumineux
L'onde se propage sans déformation, le signal s(M, t) reproduit le signal de la source avec un
retard r(M).
11.11. Définir la durée de propagation r(M) du signal depuis la source en utilisant une
intégrale. En déduire que 7r(M) s'écrit en fonction du chemin optique (SM) dont l'expression est
donnée précédemment.
111.2. Calculer la pulsation du signal lumineux pour une longueur d'onde moyenne dans
le vide pour la lumière visible égale à À = 600 nm.
1113. Établir l'expression du retard de phase ‏ربدم‎ = $(M,t) — $(P,t) lié à la propagation
entre Pet M, en faisant intervenir le temps de propagation de P à M et d’autre(s) grandeur(s)
caractéristique(s) de l’onde. En déduire ‏ربدم‎ en fonction du chemin optique (PM) et de la longueur
d'onde À, de l’onde étudiée dans le vide
1.12. Surface d'onde
112.1. Définir une surface d'onde en optique (la source est ponctuelle). En partant de la
définition de (SM) fournie plus haut, justifier le caractère d'onde sphérique associé au signal lorsque
celui- ci se propage dans un milieu d'indice n constant. Enoncer le théorème de Malus.
1122. Quel instrument d'optique permet d'obtenir une onde plane à partir d’une source
ponctuelle ? Illustrer votre réponse à l’aide d’un schéma faisant apparaître les surfaces d'onde.
L’éclairement (ou intensité lumineuse) £(M) est mesuré par un détecteur quadratique placé en
M sensible à la valeur moyenne temporelle de s?(M,t). Il est conventionnellement défini au point
M (à une constante multiplicative près) par :
£(M) = (M, ‏"ون‎ (M. t)) = (MDP)
Cette moyenne temporelle est effectuée sur un temps de réponse 7r du détecteur.
1.2. Interférences entre deux sources ponctuelles
L'éclairement £(M) résulte de la superposition en M de deux ondes issues de deux sources
ponctuelles S1 et S2 de longueurs d'ondes dans le vide différentes A1 et A2. Elles sont notées
Épreuve de Physique II 8) 3 —
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(option : physique)
respectivement :
s1(M,t) = ‏ره‎ cosfuwit — w1(M,t)] et s2(M,t) = a2 cos[wt — w1(M,t)]
12.1. Exprimer l’éclairement €(M) en fonction des intensités ‏ع‎ et £ de chacune des ondes,
de leurs pulsations respectives w et w2 et du déphasage @2/1(M,t) = @2(M,t) — 1(M,t) retard de
l'onde issue de ‏وق‎ par rapport à l’onde issue de S:. Identifier le terme d'interférences.
122. A quelle condition, relative au terme d'interférence, observe-t-on des interférences lu-
mineuses en M ? Les ondes sont alors dites cohérentes. Que vaut l'éclairement £(M) pour des ondes
incohérentes ? Que peut-on dire dans ce cas de l’éclairement observé sur un écran ?
123. Ilest impossible d'observer des interférences entre deux sources de pulsations différentes.
Justifier avec précision.
124. Dans le cas général 78 > 70 ( on suppose les temps de cohérence temporelle des sources
identiques ). On se place ici dans le cas très particulier ( l'expérience est difficilement réalisable ) de
deux sources monochromatiques de longueurs d'onde très proches et ayant un temps de cohérence
très important ( on supposera ici uniquement 7 > Tr). Quel phénomène pourra-t-on observer.
Justifier.
L’éclairement résulte maintenant de la superposition en M de deux ondes issues de deux
sources ponctuelles S1 et ‏رق‎ de même longueur d'onde ‏.و2‎ Elles sont notées respectivement :
s1(M,t) = à cos[wot — w1(M,t)] et s2(M,t) = a cos[wpt — ‏)وم‎ t)]
125. Déterminer le déphasage @2/1(M,t) = 42(M,t) — ÿ1(M,t) en fonction de la longueur
d'onde dans le vide ‏رم‎ de la différence de chemin optique notée 62/1(M) = (S2M) — (S1M) et des
phases ‏روم‎ et ‏يوم‎ des signaux émis aux points sources S1 et ‏.و5‎ Pourquoi le déphasage 6,1 (M, t)
dépend-il du temps ?
12.6. Deux ondes de même pulsation wo donnent-elles nécessairement des interférences ? Pour
répondre à cette question, on reviendra à l'étude du terme d’interférences. Pour des ondes lu-
mineuses parfaitement cohérentes, l’évolution de l'éclairement est défini en fonction du déphasage
‏وروم‎ (M; t) par :
12.7. Tracer £(M) en fonction de /,(M). Exprimer et préciser sur le graphe les éclairements
maximum Euax et minimum Eu en fonction de ‏كع‎ et €. Déterminer le contraste C en fonction de
‏ركع‎ et ‏.دك‎ Dans quelle situation le contraste est-il maximal ?
Dans la suite du problème, sauf précision contraire, les sources sont supposées parfaitement
cohérentes.
1.3. Figures d’interférences créées par deux sources ponctuelles monochroma-
tiques cohérentes
Deux sources lumineuses ponctuelles cohérentes S1 et ‏دق‎ émettent dans le vide deux ondes
monochromatiques de même longueur d'onde À, , de même amplitude à et en phase en leurs
origines respectives $S, et ‏.وق‎ Ces sources distantes de b sont symétriques par rapport à C (figure 1).
L'éclairement obtenu sur l'écran en occultant l’une des deux sources, est noté €.
Un écran (E) d'observation est parallèle à la droite des sources et situé à une distance D de celles-
ci. La droite normale à l'écran passant par C définit l’axe du système et cet axe coupe l'écran en B.
Les sources S; et ‏وق‎ sont dans le plan ) BXZ ) . Le point M, de coordonnées ( X,Y , 0) dans le repère
BXYZ , est un point de l'écran proche de 5 . Il est suffisamment éloigné des sources pour que D > ‏رذ‎
‎D>XetD > Y.
Épreuve de Physique II JF 15 Tournez la page S.V.P.
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(option : physique)
‏الك ا‎ 0
S2 hd
Figure 1:
13.1. Comment réalise-t-on de telles sources ? Donner l’éclairement 2)71( au point M fonction
de la différence de marche 6,,,(M) = (S2M) — (S1M), de 9 et 27
13.2. Démontrer l'expression approchée de la différence de marche 62/1 (M) = (S2M)—(S1M).
En déduire l’éclairement €£(M) au point M de l’écran en fonction de X,b,D, ‏مل‎ et ‏.وك‎ Quelle est la
forme des franges d’interférence observées ?
133. Définir l’ordre d’interférence p(M) au point M. Préciser, en justifiant, la valeur de p(M) :
e lorsque : la frange d’interférence en M est brillante,
e lorsque la frange d’interférence en M est sombre.
13.4. Définir et exprimer l’interfrange i en fonction de À0,b et D.
L'écran (E) est maintenant placé perpendiculairement à la droite S1S2 en B supposé centre de
l'écran ( figure 2 ). Il est situé à une distance D du point milieu € entre les deux sources. Un point M
du plan d'observation est défini par : ‏م‎ = BM, avec D > bet D > p.
1.3.5. Démontrer l'expression approchée de la différence de marche 6,,,(M) = (S2M)—(SiM)
en fonction de b et de l'angle 0 = ) 0 , CM)
13.6. Exprimer l’éclairement £(M) au point M de l'écran en fonction de 0 ,b, ‏مل‎ et €, puis en
fonction de p,D,b, À et €.
13.7. Justifier la forme des franges d’interférences obtenues. L'ordre d'interférence est-il crois-
sant ou décroissant à partir du centre 8 ? Justifier la réponse.
2°" partie
Diffraction à l'infini par une fente rectangulaire
L'espace est rapporté, en coordonnées cartésiennes, à un repère orthonormé direct (Ox, 7
Oz) de base (®,, ey . €). Tous les dispositifs étudiés sont envisagés dans le vide (indice absolue
no = 1).
Les lentilles sphériques minces, considérés dans ce problème et notées (L;), sont utilisées dans le
cadre de l’approximation de Gauss. Chaque lentille (L;) est caractérisée par son centre optique O;
et par sa distance focale image f?. Les foyers objet et image sont notés respectivement 1: et F:.
رج 13 / 10 ‎Épreuve de Physique II‏
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(option : physique)
‎1911
y ME
Figure 2:
Un écran plan et opaque (E), dans lequel est ménagée une ouverture (S), pupille parfaitement
transparente, est installé dans le plan xOy, entre deux lentilles minces convergentes (L:) et (L2),
de même axe optique 2/2. Une source ponctuelle monochromatique A, de longueur d'onde ‏رما‎ est
placée au foyer objet F1 de (LA).
Après passage à travers (L:), le faisceau lumineux émis par ‏مط‎ tombe sur le diaphragme (S) : la
lumière transmise traverse ensuite la seconde lentille (L2) pour être finalement interceptée par un
second écran plan opaque (E”), parallèle à (E), placé dans le plan focal image de (L2) et situé dans
le plan x’Oy’. Les origines O et O’ appartiennent à l'axe optique et les axes Ox et Ox’ sont parallèles
(figure 3).
x x (E?)
‎Ty _)0(
‎8,7 É
> a (à&,p,7
= 2 ‏سج ب‎ sé un dé den ms ‏ب‎ Ca = — ‏ا‎
‎7 ‏2ج‎ 7
(ط __ |
La) a)
Figure 3:
L'observation de la lumière diffractée s'effectue sur l'écran (E’). Compte-tenu du montage
Épreuve de Physique II 11/7 3 Tournez la page S.V.P.
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(option : physique)
proposé (figure 3), l'interprétation de la diffraction s'appuie sur les outils de calcul suivants :
e seuls les points de la pupille (S) diffractent la lumière ;
e la phase du rayon (d) diffracté en O, dans la direction définie par le vecteur unitaire # (a, 8, y),
est choisie pour origine des phases.
e la phase du rayon (c) diffracté en M, dans la direction définie par le vecteur unitaire 01 (a, 8,7),
est définie par :
p(M) = 2202 , 6(M)=-7%.0M
e l'amplitude complexe dy de 10006 diffractée, suivant le même vecteur ‏له‎ (a, 8,7), par la
surface élémentaire dS-dxdy centrée au point M, s'écrit :
dy = kexp(—jp(M))dxdy
avec k constante positive et j nombre complexe (j? ‏ح‎ —1).
2.1. Généralités
2.11. Citer le nom d’un physicien ayant été associé, historiquement, à l'interprétation du
phénomène de diffraction de la lumière.
2.12. Recopier, sommairement, la figure 3 en prolongeant le trajet des rayons lumineux (a) et
(b) jusqu'à l'écran (E), puis celui des rayons (c), (d) et (e) jusqu’à l'écran (E”).
2.13. Quelle est (sont) la (les) principale(s) propriété(s) de l’onde lumineuse monochromatique
reçue par l'ouverture plane (S) ?
2.14. Exprimer en fonction des variables a, 5, x, y et de la longueur d’onde ‏رم‎ la phase 4 (M).
2.2. Diffraction par une ouverture rectangulaire
2.21. La pupille (S) est une ouverture rectangulaire, de centre ©, de largeur £ parallèle à l'axe
Ox et de longueur L parallèle à l’axe Oy, avec / > L (figure 4).
RE 7
Figure 4:
Épreuve de Physique II 12 / 13 ‏جب‎
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Concours d'entrée en première année du cycle de préparation à l'agrégation de sciences physiques
(option : physique)
2.211. L'égalité exp(j0) = cos(#) + jsin(@) est rappelée. Montrer que l'amplitude complexe
Ÿ(a, 8,7) de l'onde diffractée par (S), dans la direction de vecteur 01 (a, 5,7), s'écrit sous la forme :
(a, 8,7%) = Yo A Ta) X B(3)
2.212. L'expression trouvée est-elle complexe ou réelle ?
2.2.1.3. Exprimer, en fonction des données de l'énoncé, la constante ‏وب‎ et les fonctions A(a)
et B(B).
2.2.2. Le rôle de la lentille (L2), de distance focale ‏,زا‎ est de ramener dans son plan focal image,
donc à distance finie, les phénomènes relevant de la diffraction à l'infini. Les rayons lumineux sont
faiblement inclinés sur l’axe optique.
2.2.2.1. En déduire une relation entre a, x’ et ‏زا‎ d’une part, puis entre 8 y’ et f; d'autre part.
2.222. Après avoir posé I — Ab etJ = ‏يلود‎ (grandeurs homogènes à des longueurs), réécrire
l'expression de l’amplitude résultante + (question 2.2.1.1.) en fonction des variables x’ et y”.
2.2.3. L'éclairement ‏,)اع‎ y) au point M'(x', y’) de l'écran d'observation (E”), est proportionnel
au carré de l'amplitude de l’onde diffractée vers M'(cette propriété n’est pas à redémontrer).
L’éclairement sur l'écran s'écrit donc sous la forme :
‎[sn(B()1‏ *[(“الغاقة] وم ب
الوب جات فك
‎et‏ (لر)اط ‎en faisant intervenir notamment les longueurs 1 et J, les fonctions‏ عسعانهنا00: ...2.2.3.1
‎B’(y”) 1‏
‎lim (#4) = 1.‏ ,0 ج ‎Rappel sit‏ .2.2.3.2
‎A l'aide d’un schéma, décrire la figure de diffraction dans le plan x'O'y’, en précisant, notam-
ment, la position relative des franges sombres (minima nuls à symboliser par des traits noirs) pour
lesquelles l’éclairement ‏ع‎ — 0.
‎2.2.3.3. Déterminer, en fonction de I et J (ou de Ào, ‏را‎ £ et L), les dimensions de la tache
centrale de diffraction.
‎2.24. Dessiner ou schématiser, sommairement, la nouvelle figure de diffraction, si la largeur /
de l’ouverture (S) devient très faible et la longueur L très importante (fente fine).
‎Épreuve de Physique II 13/7 3 FIN
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