Modèle de concours d'accès au cycle de préparation à l'agrégation de sciences physiques (option physique) — CRMEF Casablanca-Settat 2018 — Épreuve : Physique I

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À SOOHCA ‏:0م لياه‎ CoDO ‏العال م وإلبحث العلمي | ا ان‎ pas
Centre Régional des Métiers de 11201168110
et de Formation Casablanca-Settat
Concours d’Entrée en Première Année du Cycle de Préparation
À l’Agrégation de Sciences Physiques
Option : Physique
Session : Juillet-2018
ÉPREUVE DE PHYSIQUE I
Durée 4 heures
Cette épreuve comporte 12 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est autorisé
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Concours d'entrée en première année du cycle de préparation à l'agrégation de sciences physiques
(option : physique)
L’énoncé de cette épreuve comporte 12 pages.
L'usage de la calculatrice non programmable est autorisé.
On veillera à une présentation claire et soignée des copies. Il convient en particulier de rappeler avec
précision les des questions abordées.
Cette épreuve est constituée de quatre parties totalement indépendantes.
Dans le cas où un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale très lisiblement
dans sa copie, propose la correction et poursuit l'épreuve en conséquence.
1** partie
Mécanique
Données :
+ La Terre est assimilée à une boule homogène de centre O et de rayon À = 6,38.10* km.
+ Constante universelle de la gravitation : © = 6,67.107 11 u.S.I.
e Masse de la Terre : Mr = 5,98.10?1 kg
e Vitesse angulaire de rotation de la Terre autour de l'axe des pôles : w = 7, 29.105 rad.s”!
Le référentiel géocentrique (Z&) est supposé galiléen et on le munit du repère (OXYZ). Par rapport
à celui-ci, le référentiel terrestre (%r) est en rotation uniforme autour de l’axe des pôles SN, fixe
dans (ZG), avec une vitesse angulaire w. (%r) est muni d’un repère (Axyz) où A est un point de la
surface terrestre situé à la latitude À (Figure ci-dessous). Ax est tangent au parallèle et dirigé vers
l'Est, Ay est tangent au méridien et dirigé vers le Nord et Az est vertical et dirigé vers le haut. On
désigne par ( Ua , y 1 0: ( les trois vecteurs unitaires associés aux trois axes Ax, Ay et Az.
plan de 3 SAN
l’équateur | ZX
‘a 7 méridien terrestre
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(option : physique)
Le vecteur rotation de (%r) par rapport à (Zc) est à = ww z et il sera supposé constant dans
tout le problème.
Dans tout le problème, on étudie le mouvement d’un point matériel M de masse m dans
le référentiel terrestre (%Zr). Ce point est repéré par ses trois coordonnées cartésiennes (x, y, 2(
relativement au repère (Axyz). Le projeté de M sur l’axe de rotation SN sera noté 11
Le point M reste suffisamment proche de la surface terrestre pour que le champ de gravitation
terrestre puisse s’écrire en première approximation (OM ‏ب‎
‎que l’on notera — go ..
1.1. Champ de pesanteur terrestre
1.1.1. Lois de composition des vitesses et des accélérations
1111. Montrer à l’aide des lois de composition des vitesses et des accélérations que :
V(A/Rc) - AOÀ; et d(A/Æa) = ‏له‎ A(d AOÀ)
1112. À partir de la relation générale donnant l'accélération d'entraînement #, en un point
mobile M , montrer que celle ci peut aussi se mettre sous la forme :
2.=DA(DAOM)
1113. Montrer alors que Te peut aussi s’écrire :
où H est le projeté de M sur l'axe de rotation OZ.
112. Montrer que lorsque le point M est uniquement soumis à la force de gravitation, le
principe fondamental de la dynamique s'écrit dans (%r) :
où ÿ est un vecteur que l’on explicitera en fonction de go #., w et HN.
Dans la suite, on ne considérera que des points très proches de la surface terrestre, de sorte à
pouvoir confondre les vecteurs HM et HÀ. La grandeur ÿ représente l’accélération de la pesanteur
mesurée dans le référentiel terrestre, au voisinage du point A.
1.13. Étude du champ de pesanteur
113.1. Expliciter les composantes de 7 dans la base (W. dy ‏"ع‎ ) en fonction de go, ‏رن‎ À et
R(figure ci-dessous).
113.2. Soita l'angle entre AO et 7. Déterminer tan ‏ه‎ en fonction de g,w, X etR. Application
numérique : calculer ‏ه‎ à la latitude À = 45° nord.
114. Donner l'expression de Ag = pôle — Jéquateur, différence des normes de l'accélération
de la pesanteur au pôle et à l'équateur. Calculer la valeur numérique de Ag. En réalité, on mesure
Ag = 52.103 m.s ? ; proposer une raison pour expliquer l'écart trouvé.
Compte tenu des valeurs numériques calculées, on admettra par la suite que les composantes
de ÿ dans la base > ; Tee % ) sont (0,0, —g) avec g = 9,8 m.s”?.
هب 12 24 1 ‎Épreuve de Physique‏
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(option : physique)
1.2. Pendule de Foucault
B(0,0,L)
M(x,:2)
Le pendule de Foucault est un pendule simple constitué d’un fil inextensible de longueur L
suspendu à un point B de sorte que AB = LA. À l’autre bout du fil, on attache un petit objet M de
masse m (Figure ci-dessus).
1.2.1. Déterminer la tension T exercée par le fil sur M en fonction de sa norme 1 , du vecteur
MÉ et de L.
12.2:
1.2.2.1. Établir les trois équations différentielles auxquelles obéissent les trois coordonnées
cartésiennes (x, y, z) du point M dans le référentiel terrestre (%r).
Dans la suite du problème, on étudie les petites oscillations au voisinage de A, ce qui suppose
que 2 ‏نه‎ 0,2#0et2# 0. On supposera en outre que |22 cos À| > g.
12.22. Montrer que les équations différentielles vérifiées par x et y s’écrivent de façon
approchée :
2 — 2wy sin(À) + Lx = 0
ÿ + 22 sin(À) + Al =
Dans la suite, on posera wi = g/Let{ = wsin À.
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12.23. Calculer les valeurs numériques de wo et Q pour un pendule situé à la latitude À = 45°
et avec L= 15 m.
12.3. Afin de résoudre ce système d'équations couplées, on définit la fonction complexe
u = x + iy (avec à? — —1). Déterminer l'équation différentielle du second ordre à laquelle obéit
u. En déduire sa solution générale (on introduira deux constantes d'intégration sans chercher à les
calculer pour le moment).
12.4. On désire obtenir les équations du mouvement dans le repère tournant (Ax'y'z'), d'axe
Az’ confondu avec Az et tournant autour de Az dans le sens des aiguilles d’une montre à la vitesse
angulaire constante ( = w sin À. On suppose qu'à l'instant t = 0 les deux repères sont confondus, de
sorte que l'angle (W+, d!,) = (Figure ci-dessous )
12.41. (x, y) étant les coordonnées du point M dans (Axyz) et (x, y’) les coordonnées de ce
même point dans le repère (Ax'y'z2'), on pose ‏كن‎ = x’ + iy’. Montrer que :
u(t) = u/(t)exp(—iNt)
12.42. On suppose que la masse oscillante M est abandonnée sans vitesse initiale dans la
position M, de coordonnées (0 > 0, yo = 0). Montrer que :
z'(t) = acos(uwit); et y'(t) = bsin(uit)
en déterminant les constantes a, b ‏رسا‎
‎12.43. Quelle est la nature de la trajectoire dans le plan (Ax'y') ? Calculer numériquement
le rapport b/a ainsi que l'écart relatif ‏رم|‎ — wo|/wo à la latitude À = 45° nord, avec L = 15 m. Que
peut-on en conclure ?
125. Les équations précédentes peuvent s’interpréter comme décrivant un pendule oscillant
avec une période 75 dans un plan (P ) qui tourne autour de l’axe Az avec une période Tr. Déterminer
To ainsi que la durée ‏و7‎ d’une rotation complète de ce plan d’oscillations. Application numérique :
calculer Tr en un lieu de latitude À = 45° nord avec L= 15m.
هب 4/12 1 ‎Épreuve de Physique‏
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(option : physique)
1.3. Déviation vers l’Est
On étudie maintenant le mouvement du point M lorsqu'il tombe en chute libre, sans vitesse
initiale, à partir du point B(0,0, L).
13.1. Déterminer en fonction de ‏رع‎ w et À les trois équations différentielles auxquelles obéissent
les trois coordonnées cartésiennes (x, y, z) de M dans le repère (Axyz).
Comme w est petite, il est possible d'étudier le phénomène “à l'ordre 1 en w”, c'est à dire en
négligeant dans les équations tous les termes proportionnels à w?ou à des puissances supérieures à
13.2. Résoudre dans cette approximation les équations différentielles obtenues à la question
précédente en montrant que :
Du, ‏طح 20 مدان‎ EL
où a et b sont deux constantes à expliciter en fonction de g, w et À.
133. En déduire que dans l'hémisphère Nord la particule tombe sur le sol en étant déviée
d'une quantité x, vers l'Est. Calculer sa valeur numérique lorsque L = 200 m et À = 45°.
2°" partie
Thermodynamique
2.1. Fonctions d’état d’un système fermé
2.11. On rappelle les expressions des différentielles dU et dH des fonctions d'état énergie
interne U(T, V) et enthalpie H(T,p) d'un système fermé :
DU = ‏للم‎ + (£—p)dV; dH =C,dT + (k + ‏ما‎
‎2111. Définir les capacités thermiques à volume constant C, et à pression constante ‏م‎ à
partir des fonctions U(T,V) et H(T,p).
2.112. fablir les valeurs des coefficients calorimétriques / et k pour un système dont l'énergie
interne et l’enthalpie ne sont fonctions que de la température.
2.12. On définit les fonctions d'état énergie libre F(T,V) et enthalpie libre G(T,p) d'un
système par les relations F =U -TSetG=H-TS.
2.12.1. Exprimer les différentielles dF et dG d’un système fermé.
212.2. On désigne ‏تدم‎ 5 l’entropie du système. En utilisant les propriétés des différentielles
dS , dF et dG établir les expressions suivantes des coefficients calorimétriques £ et k :
80 OV
L=T| =) ;, k=T|—
2.2. Détente de Joule et Gay Lussac d’un gaz réel
Dans un certain domaine de température et de pression, l'équation d ? état d’une mole de gaz
réel s'écrit :
(p+a/TV?)(V —b) =RT
dans laquelle a, b et R sont des constantes (R = constante des gaz parfaits).
Épreuve de Physique 1 DJ 12 Tournez la page 5.7.1
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22.1. Établir la relation :
18 Cr ‏مرج‎
‎2.2.2. Établir l'expression de la capacité thermique à volume constant ‏(1)ن0‎ V) du gaz sachant
qu'elle tend vers une valeur Co, indépendante de T, lorsque V tend vers l'infini.
22.3. Établir l'expression de l'énergie interne U de ce gaz en fonction de T, de V et de
constantes.
2.24. On fait subir à ce gaz une détente de Joule et Gay-Lussac qui fait passer son volume de
2.241. Préciser les conditions expérimentales qui permettent de réaliser cette détente. En
déduire la variation d'énergie interne AU du fluide.
2.242. On note 11 la température initiale du gaz et AT la variation de température qu'il
subit au cours de cette détente.
Sachant que l’on peut considérer AT > Ti, exprimer AT en fonction de 7°, V et de constantes.
2.243. Que peut-on dire, a priori, de la variation d’entropie du gaz ? Justifier votre réponse.
2.2.4.4. Application numérique :
= 100 ST, 51 Jmol KE re SDK ‏كو‎ 0, 1 Pmol LE SV =10
2.1 Calculer AT.
2.2.44..2 Quelle valeur de AT aurait-on obtenu avec un gaz parfait ? Justifier votre réponse.
2.3. Détente de Joule Thomson (Joule Kelvin) d’un gaz réel
Aux faibles pressions, l'équation d'état du gaz réel défini ci-dessus peut se mettre sous la forme
suivante :
‏لام‎ =RT+B(T}p, B(T) =b-a/RT?
2.3.1. Compte-tenu d’une approximation que l’on peut faire aux basses pressions, montrer que
l’enthalpie H du gaz peut s’écrire, en fonction des variables T et p :
H = (Co + R)T + (b — 3/17 ‏م(‎
‎2.32. Le gaz subit une détente de Joule Thomson au cours de laquelle il passe d’une zone où il
se trouve à la température T\ sous la pression ‏رم‎ dans une zone où la pression est p2 = p1/2.
2.321. Préciser la caractéristique énergétique de la détente de ‏علو[‎ Thomson.
2.3.22. Exprimer la variation de température AT du gaz dans le cadre des hypothèses ci-
dessus en fonction de 7, ‏رم‎ et de constantes. On considérera encore AT > T1.
2.3.2.3. Application numérique :
a —= 100 SI; R = 8,31 Jmol-!.K-1; T - 300 K; Co = 29,1 ‏]0م70‎ 1.1 1: b —
22, 8.107 m°.mol”! ; ‏رم‎ = 2 bar. Calculer AT.
Épreuve de Physique I 6./ 2 ‏رج‎
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(option : physique)
3°me partie
Électronique
3.1. Fonction de transfert d’un filtre
On établit à l'entrée du filtre de la figure ci-dessous une tension sinusoïdale v1(t) de pulsation
w. On adopte la notation complexe. On note : ‏انارت‎ = 1 et R = QLus où Q est le facteur de qualité
du circuit.
V1 Vo
3.11. Par une étude qualitative, prévoir la nature du filtre proposé.
3.12. Déterminer la fonction de transfert complexe de ce montage : H — ni en fonction de Q
etr =—.
3.13. Que vaut le gain G - |H|? Quelle inégalité doit vérifier Q pour que la courbe
représentative de G en fonction de x présente un extremum ?
3.14. Quelle est alors la pulsation w, de l’extremum et la valeur de Gyux ”
3.15. Représenter les deux allures possibles de la courbe représentative de G en fonction de x
en faisant clairement apparaître les points particuliers.
3.2. Excitation du filtre
On applique au filtre le signal rectangulaire périodique vi(t) de hauteur 16 , de périodeT,
représenté à la figure ci-dessous . On appelle à = ‏ليد‎ le rapport cyclique variable ) 0 > a > 1) dela
tension ‏رن‎ (t) . On pose w = #.
vi(t)
3.21. Quelle est la valeur moyenne Vi me, de vi(t) (en fonction de ‏د ما‎ ).
Épreuve de Physique 1 7/2 Tournez la page 5.7.1
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3.2.2. On décompose v(t) en série de Fourier et l’on obtient :
V ‏كا‎ sin(27na) + sin?(rna) .
٠ )4( ‏جح‎ Vs + LL ços (mul) +2 D ‏و‎ t
vi (t) 1,ymoy + 5 D = cos(nwt) > 7 sin(nwt)
32.21. la pulsation w;,,4 du fondamental (harmonique 1) en fonction de w.
3.2.2.2. En utilisant la formule donnée à la fin de l'exercice, montrer que l'amplitude V,,,4 =
Ci du fondamental de wi (t) s'exprime par :
Vfond = ‏الل‎ sin(ra)
3.2.2.3. la pulsation w,,,, de l’harmonique suivant (harmonique 2) (on suppose ‏جه‎ 1/2)
3.2.2.4. l'amplitude V,,,,, de l'harmonique 2. On admet que le signal rectangulaire v.(t) est
correctement représenté par la superposition de sa composante continue V1,,,, , de son terme
fondamental d'amplitude ‏وآ‎ et de l’'harmonique suivant d'amplitude ‏ضما‎
3.2.3. Calculer la valeur moyenne V2 m0, du signal v2(t) à la sortie du filtre.
3.24. Application numérique : Le signal rectangulaire a une fréquence f de 5 kHz , une
amplitude VW, = 15 V , un rapport cyclique a = 1/3. On a ‏ح‎ 100 Q, C = 10,0 ‏لير‎ , L=200
mH . Calculer fo (fréquence correspondant à la pulsation wo ), Q , Va moy:
3.2.5. Montrer que:
72 نه (57112 - 4)1-©
3.2.6. En déduire les amplitudes des deux harmoniques considérés, en sortie de filtre V fond et
Viharm-. Application numérique.
3.27. Pour obtenir un ordre de grandeur convenable de l'amplitude V2 ‏ينو‎ de la composante
alternative de w(t) en sortie du filtre, on décide de ne considérer que le fondamental.
3.2.7.1. Comparer les amplitudes des deux harmoniques en sortie et commenter.
3.2.7.2. Donner la valeur de V2 ox
3.2.7.3. On désigne par AV2 l'amplitude crête à crête de l’ondulation résiduelle en sortie.
Déterminer littéralement en fonction ‏رمع‎ fo, f le taux d’ondulation : ee . Application numérique.
Donnée : |
La décomposition d’une fonction périodique v (t) (période T avecw = 27/T ) en série de Fourier
peut s'écrire aussi :
U(E) = Vinoy + D. Ca cos(nwt — on)
n=1l
où ‏ول‎ est l'amplitude de l'harmonique n.
4e partie
Mécanique quantique
L'effet Casimir se manifeste sous la forme d’une force attractive très faible entre deux plaques
métalliques extrêmement proches situées dans une cavité vide résonnante (boîte métallique
hermétiquement fermée) en absence de champ électromagnétique.
رج 2 87/7 ‎Épreuve de Physique I‏
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(option : physique)
L'effet Casimir montre qu'avec du vide, il est possible de générer du mouvement. En cela il
constitue une violation majeure du principe classique de conservation de l'énergie et permet de
mesurer combien la physique quantique peut être déroutante !
Cette partie tente de comprendre l’origine physique de cet effet.
4.1. Particule dans un puits de potentiel infini
On considère deux plaques métalliques parallèles infinies distantes de L, placées aux abscisses
x = 0 et x = L d’un axe OXx, perpendiculaire aux plaques. Une particule non relativiste de masse
m est piégée entre ces deux plaques. La particule est dans un état stationnaire d'énergie E, ce qui
permet d'exprimer la fonction d'onde Y(x,t) sous la forme VY(x,t) = p(x)f(t) où y(x) et f(t) sont
des fonction a priori complexes. Le problème est donc à une seule dimension spatiale.
On rappelle l'expression générale de l'équation de Schrôüdinger :
Ra =. AY +V(M,t)Y(M,t)
VTOt 2m ‏م‎ '
V = ‏مه‎ V = 00
4.11. Justifier que le potentiel V(M,t) ne peut prendre que deux valeurs, dont l’une est nulle.
4.1.2.
412.1. Établir que la partie temporelle de la fonction d'onde s'écrit f(t) = exp(—iEt/h) à
condition de lui imposer d’être de module unité.
4.1.2.2. Cette condition affecte-elle la condition de normalisation de la fonction Y(M,t)
4.123. La forme de la fonction f(t) est-elle cohérente avec l'équation de Planck Einstein ?
4.1.3.
413.1. Établir l'équation vérifiée par la partie spatiale (x) de la fonction d'onde.
413.2. Résoudre cette équation et montrer que la présence des plaques entraîne une quan-
tification de l'énergie. On introduira un entier non nul n pour exprimer les énergies E, possibles de
la particule.
4.14. Retrouver l’ordre de grandeur de l'énergie minimale à partir de l'inégalité d'Heisenberg
spatiale.
4.15. Expliciter la partie spatiale (x) de la fonction d'onde pour l’état fondamental.
Épreuve de Physique 1 2/712 Tournez la page 5.7.1
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(option : physique)
4.2. Mise en évidence d’une force exercée par la particule
42.1. La plaque en x = 0 reste fixe, tandis que la plaque en x = L peut se déplacer. La particule
exerce sur cette dernière une force F = FR. Représenter sur un même schéma la fonction y(x)
avant et après le déplacement de la plaque d’une valeur dL , avec dL > L.
42.2. En effectuant un bilan énergétique à la particule lorsque la plaque mobile se déplace de
l’abscisse x = L à l’abscisse x = L + dL , exprimer F en fonction de h, m et L. La présence de la
particule entraîne-elle une attraction ou une répulsion mutuelle des plaques ”
42.3. On veut retrouver l'expression de F en ordre de grandeur à l’aide d’une description
corpusculaire de la particule et de l'inégalité d'Heisenberg spatiale, en considérant que la particule
effectue des allers retours entre les deux plaques.
4.2.3.1. Exprimer les quantités de mouvement de la particule ‏أ‎ et 7 /{, et de la plaque Pi,
respectivement avant et après le choc de la particule sur la plaque située en x = L.
4.2.3.2. En utilisera la conservation de la quantité de mouvement du système isolé plaque-
particule au cours du choc, déterminer la variation de quantité de mouvement de la plaque
AP = Pl,- Pi,
42.33. En déduire que l'expression de la force moyenne subie par la plaque au cours du
temps est:
F — ra
42.34. En utilisant l'inégalité d'Heisenberg spatiale, montrer qu'à un préfacteur de l’ordre
de 1/40, on retrouve l'expression précédente.
4.2.4. Les plaques ont une surface 5 et on compte n, particules identiques par unité de surface
présentes entre elles. À température suffisamment faible, les particules sont toutes dans leur état
fondamental.
42.41. Exprimer la pression 11 subie par les plaques de la part du gaz de particules.
42.42. Comparer la dépendance de IT par rapport à L au cas d’un gaz parfait classique à la
température T.
4.3. Champ électromagnétique entre les plaques
On considère maintenant qu'il n’y a plus de particules massiques entre les plaques, mais qu'il
peut y régner un champ électromagnétique. On se place d’abord en électromagnétisme classique.
4.3.1. En admettant la continuité du champ électrique à l'interface métal / vide, en déduire la
valeur du champ électrique sur les plaques en métal parfait.
4.3.2. On considère une onde électromagnétique plane harmonique se propageant entre les
deux plaques perpendiculairement à elles. Montrer que seuls certains modes notés w, peuvent
exister. On explicitera ‏.من‎
4.3.3. Une quantification des modes possibles existe-elle à l'extérieur des plaques ” Pourquoi
peut-on dire que le nombre de modes accessibles en dehors des plaques est supérieur à celui entre
les deux plaques ?
هب 10/2 1 ‎Épreuve de Physique‏
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44. L’oscillateur harmonique quantique
On considère un oscillateur harmonique unidimensionnel de masse m, de pulsation propre wo,
soumis à une énergie potentielle V(x). Les oscillations s'effectuent autour du point x = 0
4.41. Établir l'expression du potentiel V(x) , et justifier rapidement que la position moyenne
(x) et la quantité de mouvement moyenne (p,) sont nulles.
4.4.2. Établir que la valeur moyenne de l'énergie de cet oscillateur est bornée inférieurement :
h? muè :
E) < ‏ا‎ 2
(E) 2 8m(Azx)? 2 (Az)
où dx est l’indétermination quantique sur la position x de l’oscillateur.
4.4.3. Déterminer la valeur minimale que peut prendre (E) en fonction de 7 et wo.
4.5. Électrodynamique quantique
Par analogie avec un système oscillant mécanique, on va admettre que les niveaux d'énergie
d'un mode n sont quantifiés par la formule ‏ميا‎ = (m + 1/2)hw,, où m est le nombre de photons,
chacun d'énergie ‏رمسا‎ présent dans le mode considéré, avec w, la pulsation calculé précédemment.
4.5.1. Cette relation est-elle cohérente avec l'étude mécanique précédente ” Pourquoi peut-on
parler d'énergie du vide ” On donnera l'expression de cette énergie du vide en fonction de n, h, c et
4.5.2.
4.5.2.1. En reprenant la même démarche que dans la première partie, établir que pour chaque
mode n la plaque située en x = L est soumise à la force :
1\ nhrc
Fun = 6 + :) DIT Ce
4.5.2.2... Montrer que la contribution d’un photon sur l'expression de la force peut être
déterminée par un raisonnement corpusculaire.
4.6. Force de Casimir
4.6.1. Déduire de ce qui précède qu’en l'absence de photon; la plaque en x = L est quand
même soumise à une force dont on donnera l'expression. Quelle action cette force exerce-elle sur la
plaque ?
Un calcul complexe auquel vous échapperez permet d'obtenir la résultante des forces subies par
la plaque en x = L compte tenu de l'ensemble des ondes électromagnétiques, se propageant dans
une direction quelconque (et pas seulement perpendiculairement aux plaques) ainsi que les ondes
existantes à l'extérieur des plaques (pour x > 0 et x > L). En l'absence de photon, la force subie par
la plaque en x = L est appelée force de Casimir, et notée Pas = - ‏علا‎ Se; avec £ = 2 ;
4.6.2. En raisonnant sur les modes accessibles entre les plaques et à l'extérieur des plaques,
justifier qualitativement le sens de la force de Casimir.
4.6.3. Montrer que la pression de Casimir ‏يوم‎ peut se retrouver, à un coefficient multiplicatif
près, par analyse dimensionnelle, en fonction de L, c et h.
4.6.4.
Épreuve de Physique 1 IL © Tournez la page 5.7.1
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4.641. Pour quelle distance L de séparation entre les plaques cette pression est-elle du même
ordre de grandeur que la pression atmosphérique ?
4.6.4.2. La majorité des vidéoprojecteurs numériques utilisent des composants à mi-
cromiroirs (digital micromirror device) constitués de plaques carrées de 10 ‏صر‎ de coté séparées
de 1/1011. Comparer la force de Casimir au poids des plaques dans le cas où elles sont en silicium,
(de masse volumique de 2,3 g.cm *) et d'épaisseur de 0, 2 071
4.6.5. En réalité, aucun métal n’est parfaitement réfléchissant à toutes les longueurs d ? onde.
Comment cela corrige-t-il la force de Casimir ?
4.6.6. A l'échelle microscopique, toutes les surfaces présente des irrégularités. On les
représente par un profil Az(x,t) à deux dimensions avec f Az(x,t)drdy = 0 et + [ Az?(x,t)drdy =
A?, À étant appelée la rugosité de la surface, que l’on suppose identique pour les deux plaques.
4.6.6.1. Traduire concrètement ces deux expressions
4.6.6.2. En sommant les forces de Casimir sur des surfaces élémentaires, montrer que l’on
obtient une correction de la force au second ordre en A/L.
4.6.6.3. Quelle rugosité maximale peut-on tolérer pour un miroir optique utilisé en labora-
toire ?
4.6.6.4. On veut mesurer la force de Casimir avec une précision de 1%, pour des distances L
de l’ordre du micron. Quelle est alors la rugosité maximale admissible ?
Épreuve de Physique 1 15/12 FIN
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