Modèle de concours d'accès au cycle de préparation à l'agrégation de sciences physiques (option physique) — CRMEF Marrakech-Safi 2014 — Épreuve : Physique II (électromagnétisme et optique)

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| Royaume du Maroc
Ministère de l'Education
Nationale et de la formation
professionnelle
Centre Régional des métiers
de l’éducation et de formation
Marrakech
Concours d'entrée au cycle de préparation à l’agrégation
Option Physique
Epreuve de Physique II |
Durée : 4 heures
Cette épreuve comporte 6 pages au format A4, en plus de cette page de garde
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CRMEF - Marrakech Année universitaire
Département de Physique 2013/2014
CPA / AGP
Physique 2
Concours d’entrée au CPA 14 fevrier 2014 - Durée 4 heures
Si, au cours de votre composition, vous apercevez ce qui vous semble être une erreur d’énoncé, vous le signalez
sur votre copie 61 vous continuez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous êtes amenés
à prendre.
1° partie
Aspects électromagnétiques divers
Soit un référentiel À dans lequel les charges et les courants considérés ont respectivement la densités vo-
lumiques p(M,t) et j (Mt). Ils sont situés dans le vide ou, éventuellement, dans des milieux tels que les
conducteurs non ferromagnétiques que l’on pourra traiter comme du vide.
1.1. Écrire, dans le référentiel R, en supposant qu’elles y sont valables, les équations de MAXWELL relatives
au champ électromagnétique ) 22, B).
1.2. Préciser sans aucune démonstration le contenu physique de chacune de ces équations.
1.3. Montrer que les équations de MAXWELL impliquent la conservation de la charge électrique. +
1.4. Préciser dans quels référentiels les équations de MAXWELL sont-elles valables.
1.5. Écrire les équations de MAXWELL dans le cadre de l’approximation des régimes quasi-stationnaires.
7 4 — ‏ب‎ . . *.
1.6. Dans le cas général, montrer que les champs Æ et B peuvent se déduire des potentiels V (potentiel
‎scalaire) et À (potentiel vecteur). Ces potentiels sont-ils uniques ? justifier votre réponse.
‎1.7. Montrer qu’un champ magnétostatique uniforme B = B &, dérive des potentiels vecteurs suivants :
‏ف يب ب/ 1 هب‎
4:-5)8/7( ; ‏8.(0-حو4‎
‎où À désigne l’opérateur produit vectoriel.
Préciser l’allure des lignes de champ des potentiels À; et ‏.و‎ Compte tenu de leurs symétrie respectives, à quelles
distributions de courants pourrait-on les associer ?
1.8. Compte tenu des symétries de la question précédente et en appliquant le théorème d’AMPÈRE, déterminer
l'expression du champ B pour un solénoïde infini d’axe &, ayant n spires par unité de longueur et parcouru par
‎un courant constant à. En déduire l’expression du potentiel vecteur À correspondant.
1.9. Soit le montage de la figure (1), la barre (M N), de masse m, peut glisser sans frottement sur deux rails
‎parallèles, horizontaux et conducteurs. L'ensemble est le siège d’un champ magnétique B uniforme et permanent.
À t = 0, la barre est immobile et le condensateur porte la charge Q (Q > 0); on ferme alors l’interrupteur.
Déterminer:
19.1. La loi g(t) d'évolution de la charge du condensateur au cours du temps.
19.2. La loi i(t) d'établissement du courant au cours du temps.
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Concours d’entrée au CPA 14 fevrier 2014
‏لت‎ ————_—— "°° TE 204
19.3. La vitesse limite de la tige (M N) et le déplacement )6( de la tige.
‎) 7 © ١ h
Figure 1: Tige en mouvement dans un champ magnétique uniforme.
2°" partie
Propagation dans un milieu ionisé
Une onde plane monochromatique de pulsation w et de module de vecteur d’onde ‏م‎ se propage parallèlement
à Oz dans une atmosphère neutre raréfiée et ionisée. Cette atmosphère contient 17 ions et 727 électrons (masse m et
charge —e) par unité de volume . On négligera le champ magnétique terrestre.
2.1. On suppose le champ électrique polarisé rectilignement selon Ox et d’amplitude ٠
2.1.1. Rappeler ce que c’est qu’une lumière polarisée.
2.12. Quel est l’état le plus général d’une lumière polarisée.
2.1.3. Définir ce que c’est qu’un état de polarisation circulaire et un état de polarisation rectiligne.
2.1.4. Décrire brièvement comment on peut obtenir de la lumière polarisée rectilignement à partir d’une
lumière non polarisée.
2.1.5. Écrire l'équation différentielle de mouvement d’un électron en présence de l’onde ci-dessus. Justifier
‎le fait que tous se passe comme si l’électron n’est soumis qu’à l’action du champ électrique Æ de l’onde précédente.‏
2.1.6. Exprimer la vitesse 7 d’un électron en fonction de DE. En déduire l’existence d’une densité volu-
mique de courant 7 dans cette atmosphère ionisée, due au passage de l’onde.
2.1.7. Justifier le fait qu’on puisse négliger la composante de la densité volumique de courant due aux ions,
pour ne considérer que la composante due aux électrons. Montrer alors que ce courant volumique peut se mettre
sous la forme : | Æ
j ‏أب‎ N S
7 ot À
Exprimer ‏نه‎ (æ > 0). —— TT
2.2. On considère que le milieu ionisé est globalement neutre.
2.2.1. Justifier l'hypothèse ci-dessus.
2.2.2. En reportant la densité volumique de courant précédente dans les équations de MAXWELL, écrire
‏صمتتفنو1”6‎ de propagation ‏عل‎ Æ dans le milieu neutre ionisé . En déduire la relation de dispersion reliant / et w.
2.2.3. Calculer la vitesse de phase ‏ين‎ de l’onde dans ce milieu ionisé. On mettra v, sous la forme :
‎EE ‏اا- تت ات‎
CPA-AGP 2/6 ‏يبت‎
‎8 = AMIE NAS SA ‏م‎ 0 0 | = \ .
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١ Concours d’entrée au CPA 14 fevrier 2014
‏راش سرت‎ 44141812014
Où c désigne la célérité des ondes électromagnétiques dans le vide et ‏صنب‎ nombre que l’on exprimera en fonction
du paramètre ‏عر‎ défini par :
_ Ne
PS Ar?eomc?
Ào désignant la longueur d’onde de l’onde électromagnétique dans le vide.
2.2.4. Tracer le graphe v,, = f(e) . Que remarque-t-on en ce qui concerne les valeurs possibles de v,, ? Ce
résultat contredit-il le fait que c est une vitesse limite ? Exprimer la vitesse de groupe ‏وا‎ de l’onde, en fonction de
e et de c, puis en fonction de vs et de c. Conclure.
2.3. L’amplitude du champ électrique est Ep = 10-1 V/m. On a A0, = 75m ; N = 1.8 10° cm : e =
1.6 10-19 C;m = 9.1 10731 kg ; po = 4x 1077 SI ; c = 3 105 m/s. Calculer numériquement ‏اع ره‎ vo. Calculer
l’amplitude du champ magnétique’ de l’onde (on l’exprimera en fonction de ‏موه‎ c et €) ainsi que le déplacement ‏ب‎
‎des électrons.
2.4. Le plan z = 0 sépare le milieu ionisé (défini par z > 0) du vide. Une onde plane monochromatique
‏هِب‎
‎incidente 2: — Eo cos (k;z — wt) ë, se propage selon Oz positif, du vide vers le plasma. Cette onde arrive en
incidence normale sur le plan z = 0. Il y a d’une part transmission normale de l’onde et d’autre part réflexion
‏يا يب‎ —+
normale de l’onde sur cette interface. Soient E'; ; E, et E, les champs électriques respectifs des ondes incidente,
‏ب ها يجب‎
transmise et réfléchie. De même B; ; B, et B, les champs magnétiques respectifs des ondes incidente, transmise
et réfléchie.
En utilisant les résultats précédents, donner les expressions instantanées des champs électriques, en faisant ap-
paraître, quand cela s’impose, c ou ‏لين‎ On pourra supposer que les trois champs électriques restent synchrones
et polarisés rectilignement selon Ox. Les amplitudes des trois champs électriques seront respectivement notées
‏وك ,وها‎ et ‏.وهل‎ On ne cherchera pas, dans cette question, à relier ces trois grandeurs. De même, établir les
expressions des champs magnétiques en faisant apparaître, quand cela s’impose, c ou ‏رين‎ Eio, ‏مرك‎ où 7٠
2.5. Le plasma ne possédant aucune densité surfacique de charges ni aucune densité surfacique de courants.
2.5.1. Rappeler les conditions de passage pour le champ électromagnétique.
2.5.2. Que peut on dire de la continuité des champs électrique et magnétique à l’interface vide-ionosphère?
2.5.3. On définit les coefficients de réflexion r et de transmission 2 en amplitude respectivement par :
‏0ه‎ =r:E;ÿ)y et Eto =t-Ei
D'après ce qui précède, montrer d’une part que : 1 + r = t, et exprimer d’autre part r et { en fonction de c.
2.6. On définit respectivement les rapports RÀ du flux énergétique réfléchi au flux énergétique incident et T' du
flux énergétique transmis au flux énergétique incident. On suppose qu’il n° y a pas d’absorption dans le plasma.
Déterminer l’expression de R en fonction de €. Quelle relation simple existe-t-il entre R et T ? En déduire
l'expression de T..
2.7. Calculer la valeur de R pour ‏ول‎ = 75 m. Que se passe-t-il pour 4 — 1? Donner alors la valeur
correspondante de ‏.و2‎ Quel type de communications utilise cette propriété ?
3°me partie
Diffraction
Dans ce problème on s’intéresse à la diffraction par un système de fentes. Pour cela on considère un système
d’axes (O,x,y,z), Oz est l’axe horizontal qui en même temps la direction de propagation de la lumière. Soit un plan
P(O, x, y) le plan perpendiculaire à Oz en 0, dans ce plan on place successivement différents objets diffractants
Ro ‏ذال ببستت حت‎
CPA-AGP 3/6 ‏هب‎
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Concours d’entrée au CPA 14 fevrier 2014
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éclairés par une onde plane monochromatique se propageant suivant l’axe optique Oz et de longueur d’onde À.
La lentille Z (Fig. 2) est une lentille convergente de distance focale 1. On observe sur un écran (Ec) situé dans le
plan focal image de la lentille Z.
PAx EcA X
Onde plane
incidente >
Figure 2: Montage diffraction
3.1. L'objet diffractant est une fente F rectangulaire de centre 0 et de largeur b suivant Ox, et de grande
dimension suivant l’axe perpendiculaire Oy.
3.1.1. Énoncer le principe de de HUYGHENS-FRESNEL. =
3.12. Que signifie "grande dimension" suivant Oy ?
3.1.3. On considère un point M de l’écran (Ec) de coordonnées (X,0) dans le plan O’XY. Exprimer à une
constante multiplicative près, l’amplitude Ao(X) de l’onde issue de la fente et reçue en M.
3.1.4. En déduire l’expression de l’éclairement correspondant E(X) en notant E, l’éclairement maximum.
3.1.5. Représenter l’allure de la courbe E(X) en dégageant ses caractéristiques essentielles.
3.1.6. Représenter la figure observée sur l’écran (Ec) (plan O’XY).
On considérera par la suite la lumière qui passerait par O comme origine des phases.
3.2. On considère à présent que la fente F est centrée en x = 0.
3.2.1. Déterminer simplement la nouvelle expression de l’amplitude A(X) au point M(X,0) de l’écran en
fonction de Ao(X), de ‏و‎ et des données du problème.
3.2.2. Quels changements observe-t-on sur l'écran ?
3.3. On considère à présent que l’objet diffractant est constitué de deux fentes identiques aux précédentes et
centrées respectivement en x = 0 et x = 2b.
3.3.1. Quelle est alors l’amplitude A1(X) au point M(X.0) de l’écran ?
3.3.2. En déduire l’éclairement E1(X) et donner l’allure de la courbe associée.
3.3.3. Interpreter simplement le résultat obtenu : on fera apparaître E1 comme le produit de la fonction E
par une fonction que l’on reconnaîtra et dont on donnera l’interprétation physique.
3.4. On considère à présent que l’objet diffractant est un réseau infini de fentes identiques aux précédentes et
centrées aux points d’abscisse 2pb où p est entier positif ou négatif. Le réseau est donc de période 2b.
CPA-AGP 4/6 ‏ب‎
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Concours d’entrée au CPA 14 fevrier 2014
‏_سسسس‎ | 44112014
3.4.1. Avec des fentes infiniment fines, en quels points de l’écran observerait-on un éclairement non nul ?
3.4.2. Enutilisant le résultat de la question 3.3., en déduire l’allure de la figure obtenue sur l’écran en tenant
compte de la largeur b de chaque fente.
3.4.3. Montrer que si l’on ne conserve que les franges infiniment fines les plus brillantes, il ne reste que
trois franges dont on précisera les positions et les éclairements relatifs.
3.5. 00 considère à présent que le réseau est translaté dans la direction Ox d’une quantité v t ( chaque fente
de largeur b est alors centrée en 2 p b+ 0٠
En utilisant les résultats de l’ensemble des questions précédentes, montrer qu’on observe trois franges en X = (;
eten X = +) f’/2 b), d’éclairement relatifs 1, 4/72 et 4/7 et dont les amplitudes respectives sont déphasées
de 0, et +y(t), avec g(t) = x v t/b.
459“ partie
Interférence lumineuses
On se propose dans cette partie de mesurer l'indice de réfraction d’un fluide par méthode interférométrique.
Pour ce faire, on suppose que le champ électrique de l’onde lumineuse peut être décrit en représentation complexe
par:
re à + T7
E = 1/0 expj(k-T-wt)
4.1. La situation d’interférence la plus simple est obtenue entre deux sources ponctuelles cohérentes et syn-
chrones. Pour cela on réalise le dispositif des trous d’YOUNG représenté sur la figure (3).
On étudie la figure d’interférence obtenue sur un écran (E) placé à la distance D du plan des sources secondaires
S1 et ‏.وق‎ La distance entre ces deux sources est S1S2 = a.
(L) est une lentille mince convergente centrée sur l’axe de symétrie SO, sa distance focale est noté f/. De plus
on suppose que l’écran (E) est confondu avec le plan focal image de (L), autrement dit la distance entre la lentille
et l’écran est égale à f’. On suppose que (L) est utilisée dans les conditions de GAUSS: les angles ‏نه‎ qui peuvent
intervenir dans la propagation des rayons lumineux sont tels que sin a = tan @ = ‏مور‎
‎E 4x
S1 | M
‏و0‎ 0
‏ا — له‎ +
5 2 ‏ب‎
‎Figure 3: Montage Interférences
4.1.1. Rappeler ce que signifie l’approximation de l’optique géométrique.
4.1.2. Que signifie l’approximation de GAUSS
4.1.3. Pour la lentille convergente (L) rappeler sa formule de conjugaison au centre, ainsi que l’expression
de sa distance focale f” en fonction de l’indice de refraction du verre dont elle est fabriquée et des rayons de
CPA-AGP 5/6 ‏يح‎
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Concours d’entrée au CPA 14 fevrier 2014
‏ع 44141872014 اااي‎
courbures des dioptres la constituant.
4.14. Que signifie "sources synchrones" ?
4.1.5. Que signifie "sources cohérentes"?
4.1.6. Construire la marche des rayons lumineux issus de la source ponctuelle 5 qui viennent interférer au
point M.
4.1.7. Par un choix convenable de l’origine des temps, on écrit les deux ondes en ‏ر8‎ et So :
121 = Es = Eoexp-jwt
‏و كل‎ est dirigé perpendiculairement au plan de la figure.
Ecrire l’onde résultante en M. Exprimer la différence de phase ‏رم — وم‎ entre les deux ondes en fonction de
a, z = OM, f', et À.
4.1.8. L’intensité de l’onde est proportionnelle à Æ ٠ E*, si E* est la quantité complexe conjuguée de E.
Quelle est l’intensité résultante en M ? On appellera 10 l’intensité transportée par chaque onde.
4.2. Quelles sont les positions zx des franges où l’interférence est constructive ? Montrer que ces franges
brillantes sont équidistantes et séparées par l’interfrange :
4.3. On veut mesurer l'indice de réfraction n d’un liquide. Pour cela on place respectivement devant les deux
trous S1 et S2 un dispositif équivalent à deux cuves identiques de longueur 1 suivant le montage indiqué par la
figure (4)
E 4x
S1 | M
| | ‏ا ا ه‎ +
Cuve f
Figure 4: Montage Interférences
4.3.1. On remplit la cuve placée devant 81 par le liquide d’indice inconnu n: et la cuve placée devant ‏و5‎
‎par un liquide d’indice connu n2. On constate, sur l’écran (E), que le système de franges se déplace dans le sens
des x croissants. Dans quel sens est l’inégalité entre n1 et no ?
4.3.2. Quand les deux cuves sont entièrement remplies, une frange brillante apparaît encore en Oetilya
m franges brillantes qui sont passées par 0 pendant le remplissage. Donner la relation entre n1, n2, ‏,ا‎ Xet m.
Calculer numériquement n1 sachant que ‏مه‎ = 1.3333 ; 1 = 10 cm; À = 0.53 gum ; m = 150. On donnera pour 1
la même précision que celle donnée pour n2.
——_—_—"—"] ———ç————————————————(—(———(—(ç——————ç—ç—ç—ç————ç(ç(———çççç(çç(ç(ç(ç(ç(ç—çç(çç(çîÎ(ç(çÎ(çî(.Îç(ççç— €!
CPA-AGP 6/6 FIN
2 = ATEN . ‏م‎ È ‏م‎ | æ ‏نما‎
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