Modèle de concours d'accès au cycle de préparation à l'agrégation de sciences physiques (option physique) — CRMEF Casablanca-Settat 2016 — Épreuve : Physique I (formation des étoiles, atome d'hydrogène)

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HA | ‏الممتلحكة المقربية :&‘ وتكوبامتها‎
‏للك‎ | 1034 ACIO ‏ونادة التربية الوئجمنية إل الم‎
: À 302 ‏سلاواس‎ ZE 14 ‏و التحكوين الممنر__.‎
Centre Régional des Métiers de l'Éducation
et de Formation-Grand Casablanca
Concours d’Entrée Au Cycle de Préparation
À l’Agrégation de Physique
ÉPREUVE DE PHYSIQUE I
Durée 4 heures
Cette épreuve comporte 13 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est autorisé
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e On veillera à une présentation claire et soignée des copies. Il convient en particulier de rappeler avec
précision les des questions abordées.
1 e Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur
sa copie et poursuit sa composition en indiquant clairement les raisons des initiatives qu'il est amené à
prendre.
٠ Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées.
+ Si un résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être admis pour les questions
suivantes. Ainsi, les diverses parties du problème sont relativement indépendantes entre elles.
À PROPOS DE LA FORMATION DES ÉTOILES
Il y a plusieurs centaines de milliards
de galaxies dans l'univers, et il y'a autant d'étoiles
dans une galaxie qu'il y'a de galaxies dans l'univers...
La figure (1) ci-contre est une photo de la .
nébuleuse de l’Aigle, elle est considérée comme :
un site de formation d'étoile. Sur la photo on voit ;
un grand nuage de gaz composé en grande par- 5 :
tie d'hydrogène mais aussi de traces de molécules 7 6
organiques complexes. Suite à un événement ” Ÿ ,
extérieur et proche; onde de choc résultante Né sea
d’une explosion d'autre étoile ou onde de den- a %
sité d’un bras spirale de la galaxie, des fragments | 3
de ce nuage vont s'effondrer et se concentrer et
leurs températures augmentent pour former des
systèmes appelés proto-étoiles. Au début de leur ‏الا‎
vie, les étoiles se forment par groupes dans un : |
intervalle de temps court par rapport à l’échelle 1 |
cosmique et finiront par s'éloigner les unes des “. |
autres. Star-Birth Clouds - M16 HST - WFPC2
Nous aborderons dans ce problème quelques ‏السلا الف الا‎
aspects élémentaires relatifs à la formation
tie 3 . ne 6001616 58296058 Figure 1: 1116, la nébuleuse de l’Aigjle,
Re ‏يت حر‎ dans la constellation du Serpent
Le sujet comporte trois parties totalement indépendantes à l’intérieur desquelles de nombreuses
questions peuvent être traitées indépendamment les unes des autres. La première partie traite
d'une manière historique quelques modèles étudiant le comportement de la stabilité d’un atome
d'hydrogène. La deuxième partie traite un modèle théorique simple illustrant le critère de formation
d’une étoile à partir d'un nuage de gaz d'hydrogène. La troisième partie s'intéresse à la simulation
d’un élément de radiotélescope.
Une grande attention sera portée à la rédaction et aux applications numériques. Les résultats
exprimés en unités SJ ne seront évidemment pas pénalisés pour autant.
Épreuve de Physique I 1713 Tournez la page 2
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Données numériques
٠ Vitesse de la lumière : c = 3,0.108 m.s7! ;
1 + Constante de gravitation : G = 6,7.107 11 m$kg"!s"? ;
٠ Constante de Planck : h = 6.6.10-% J.s et ‏حم‎ À: represente la constante réduite de Planck ;
٠ Constante de Boltzmann : Kg = 1.4.107% J.K-!;
٠ Constante de Stefan : o = 5,7.1078 W.m ?.K-{;
٠ Masse du Soleil : Ms = 2,0.10% kg;
+ Rayon du Soleil : Rs = 7, 0.103 m ;
٠ Luminosité solaire : Ls = 3.8.1026 W ;
٠ Masse de Jupiter : My = 2,0. 1027 kg; ,
e 4760 = TU Em;
e Charge élémentaire : e = 1,6.107 9 C';
٠ Masse de l’électron : m = 9,1.107%! kg;
٠ Masse de proton : mp = 1,6.10- 2 kg;
٠ Masse d’un atome de nombre de masse À : M ‏ح‎ A.1,67. 10 #0;
+ Nombre de masse de l'Or : À = 197;
+ Numéro atomique de l'Or : = 19;
« Electron-volt : 1eV = 1.6.107 1° J.
Rappels concernant les ellipses
+ En coordonnées polaires avec origine au foyer, l'équation d'une ellipse peut se mettre sous la
forme : Tr = en où p est le paramètre de l'ellipse et e son excentricité.
e a =b?+c?
ee=<etp= =
٠ L'aire de l’ellipse est: S — tab
Rappels de cinématique
» Pour un mouvement à accélération centrale, on peut établir une formule de Binet donnant
l'accélération en coordonnées polaires : & = — ‏وى‎ LÉ (2) + Für, où C désigne la constante des
aires.
Définitions et Formules mathématiques
٠ Une fonction à plusieurs variables f (x1,T2,.….,æn) est dite homogène de degré p si pour tout
réel a on a :
f(ari,axo,…,azn) = of (x1,20,.…, TN)
PR ‏ل‎ Bet ee MUR ET ‏سس سي يب ا سبي‎
Épreuve de Physique I 2713 ‏هب‎
‏ب 2 ا‎
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e Théorème d’Euler : une fonction f (xz1,x2,.…, xx) est homogène de degré ‏م‎ vérifie :
'" X pf (1 » T2, +, TK ) = 5 27 ‏ل‎
‏1ج‎ 22
e On définit la moyenne temporelle > f(t) > d’une fonction f(t) par:
CE — Jim 7 / f(x)dz
e On note ‏ع‎ la grandeur complexe associée à la grandeur réelle x et j le nombre complexe tel
que j? = —1. ,
1. Atome d'hydrogène
Dans cette partie, on se propose de traiter d’une manière historique quelques modèles clas-
siques étudiant le comportement de la stabilité d'un atome.
1.1. Modèle de Thomson
Le physicien S.J.J. Thomson (1904) modélise l'atome d'hydrogène par une sphère de
rayon a uniformément chargée et de charge totale +e. À l'intérieur de la sphère, se
trouve une charge ponctuelle négative —e de masse m, représentant l’électron, qui se
déplace librement. La position de l'électron est repérée par 7 = OM, avec 0 est l’origine
du repère R(O,x,y,z) supposé galiléen. Dans toute la suite, on néglige l'interaction
gravitationnelle.
1.1.1. Montrer que l'électron est soumis à la force électrique F — —kr, avec k — sir :
Quel est le nom classique donné à ce modèle ?
1.1.2. Trouver l'équation vectorielle du mouvement de l’électron. On suppose que r{t =
0s) = roër et ü(t = Os) = voë,, trouver la nature de la trajectoire. On pose ‏ون‎ = £.
1.1.3. Exprimer, en fonction des données, la longueur d'onde ‏مد‎ associée au mouvement
de l’électron. Calculer la valeur numérique de ‏.مد‎ Dans quel domaine du spectre
électromagnétique se situe-alle ? on donne a = 0.1 nm.
e On soumet l’atome d’Hydrogène à une onde électromagnétique plane progressive
harmonique (OPPH) dont la fonction d'onde associée est E( M, t) = Epcos 06 — kF) 2
Avec w la pulsation de l'onde et £ le vecteur d'onde associé. On s'intéresse par la suite
au mouvement de l’électron suivant l'axe (Oz) et on suppose que la longueur d'onde
de l'OPPH vérifie À >> a.
1.1.4. Montrer que, dans ces hypothèses, on peut considérer que le champs électrique est
uniforme à l’intérieur de l'atome.
AS. Établir l'équation différentielle vérifiée par l’électron.
V4 LA. Donner la solution z({) en régime établi.
VIA7. On suppose que l'onde incidente est dans le domaine visible. Montrer que la solution
2)2( = 1 cos wt
1.1.8. L’atome d'hydrogène peut être considéré comme un dipôle rayonnant. Exprimer son
moment dipolaire p{t).
Épreuve de Physique I 37:13 Tournez la page 5.7.1
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11 2: [A partir des équations de Maxwel] on montre que la puissance moyenne temporelle
rayonnée dans tout l’espace par un dipôle, de moment dipolaire p(t) ‏جح‎ po cos(wt),
dans la zone de rayonnement est donnée par :
- 3470 à vs _ 1
Montrer que P — 3 avec À une constante positive qu'on exprimera en fonctions des ‏ا‎ 4
données. Th
1.1.10. Montrer que le modèle de Thomson permet d'expliquer la couleur bleue du ciel. Pour è
faire, on suppose que les atomes de l'ionosphère, sous l’action des rayons solaires, se Le
comportent comme ceux de l'hydrogène. A tas) &
ARS NS SŸ
1.2. Modèle de Rutherford : y c
Pour vérifier la validité du modèle de Thomson, le physicien anglais Ernest Rutherford
réalisa en 1908 l'expérience décrite sur la figure (2). En bombardant une mince feuille Ab
d'Or par des noyaux d'Helium He (particules ‏(ه‎ émis par un élément radioactif, il ‏م‎
‎constate que la la majorité des particules ont traversé la feuille en subissant des déviations 2-١ "+,
et quelques rares particules ont rebondi, c’est à dire elles ont subit une déviation d'un sc À
angle supérieur à 90°, ont dit qu’elles sont rétrodiffusées.
Pour modéliser cette expérience, on suppose qu'une particule « est une charge ponctuelle
de charge +26 et de masse m, se déplaçant dans le champs électrostatique créé par un
noyau atomique d'Or de masse M et de charge +Ze et supposé immobile au point O
origine du référentiel (o, TR 7( du laboratoire supposé galiléen. On suppose que la
particule ‏ه‎ vient de l'infini avec une vitesse ÿ sous un paramètre d'impact b, voir figure
(3). On suppose que lors de la diffusion le noyau d'Or reste immobile.
07. 75143 NT NME D Du ‏م‎ NÉS CES
eZ rt Pt Écran fluorescent
1 ‏م‎ / Rayons ©
À { el
ur pe
| ‏عونب‎ ET 5 L ‏حوب‎ ER
: de piomb 7 ‏ل م‎
| 8 ٍ 4
| Feuille d'or >. *
Figure 2: Dispositif de l'experience de Rutherford
1.2.1. Insuffisance du modèle de Thomson
1.2.1.1. En utilisant le modèle de Thomson, montrer que la particule a subit une force
maximale Fax ‏عناوم‎ r = a. Évaluer numériquement Fmax Sachant que a ‏د‎
‎0,1 nm représente le rayon du noyau d'Or.
1.2.1.2. On donne vo = 1,6.10$ 71.871, la vitesse initiale de la particule a et on suppose
que la particule ‏ه‎ est soumise à la force ‏.م7‎ dans la zone ‏عد‎ où se trouve le
noyau d'Or. Calculer, en dégré, ‏وب‎ la valeur de l'angle de déviation maximale.
1.2.1.3. La feuille d'Or utilisée comporte 400 plans atomiques juxtaposés. Évaluer la
déviation finale de la particule &. Que peut-on conclure sur la confrontation du
modèle de Thomson avec les résultats expérimentaux ?
Épreuve de Physique I 4 / 13 ‏جب‎
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particule
res ‏دمج يي‎
noyau
Figure 3: Diffusion de Rutherford
Pour interpréter les résultats expérimentaux, Rutherford proposa le modèle
suivant : la charge positif se trouve dans un noyau supposé quasi-ponctuel
autour duquel gravitent les électrons sous l’action de la force électrostatique.
1.2.1.4. Pourquoi nomme-t-on le modèle de Rutherford “modèle planétaire ” ?
1.2.1.5. Montrer que le moment cinétique, noté Lo, de la particule ‏نه‎ se conserve. Déduire
le plan de la trajectoire. On munit ce plan d’un repère (O, x, y) et on fait l'étude
avec les coordonnées polaires (r:, 4).
1.2.1.6. On définit le vecteur de Laplace par À = © À L + Bë, où B est une constante
positive. Montrer que. À se conserve pour une valeur de 8 que l’on déterminera
en fonction des données.
1.2.1.7. Exprimer E, (r) l'énergie potentielle de l'interaction électrostatique en supposant
qu'elle est nulle quand la particule ‏ه‎ est à l'infini.
1.2.1.8. Déterminer Æ(0) l'expression de l'énergie mécanique du système à & = 0 8,
l'instant où l’on suppose la particule à l'infini. Déduire la nature de la trajectoire.
1.2.1.9. Montrer que l'énergie mécanique s'écrit :
D ED ae NT he
= 7 Naf + ‏ا‎ + 5
1.2.1.10. Montrer que le mouvement est possible tant que r est supérieure à une valeur rh»
que l’on déterminera.
1.2.1.11. On note ©; le vecteur vitesse de la particule ‏ه‎ quand elle est de nouveau à l'infini
après diffusion. Exprimer, dans la base du repère du laboratoire, le vecteur ‏.م‎
‎1.2.1.12. En utilisant la conservation du vecteur de Laplace, montrer que l'angle de
déviation de la particule ‏ه‎ est relié au paramètre d'impact b par la relation
suivante :
tan (3)
Caire
Avec K = Rs 8
1.2.2. Insuffisance du modèle de Rutherford
En réalité l'expérience est faite avec un faisceau homocinétique de particules à dont
la densité surfacique J, nombre de particule à par unité de surface perpendiculaire à
l’axe (Oz), est uniforme. On place un détecteur de particules a selon la direction de
l’angle solide 452 = 27 sin ()d#, sous lequel est vu le détecteur à partir de la cible.
Le détecteur compte le nombre de particules se trouvant entre # et + dy.
Épreuve de Physique I SAIS Tournez la page S.V.P.
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1.2.2.1. Exprimer le nombre dn des particules ‏نه‎ deviées, ayant un paramètre d'impact
compris entre b et b + db, en fonction de J, b et db.
1.2.2.2. Le détecteur permet de calculer la section efficace différentielle de diffusion
. 5" ‏ا‎ Exprimer ‏ه‎ en fonction de K et #. À 7
1.2.2.3. Une étude expérimentale faite par Geiger et Marsden montre que la section
efficace différentielle varie en F® seulement pour des angles ‏ب‎ > 1509.
Commenter la validité du modèle de Rutherford.
1.3. Modèle de Bohr
Dans le modèle de Rutherford, on suppose que le proton est fixe à l'origine d’un |
référentiel galiléen atour duquel l’électron effectue un mouvement circulaire de rayon |
r = OM.
1.3.1. Déterminer la relation entre la vitesse v et le rayon r de l'orbite circulaire.
1.3.2. Exprimer l'énergie totale en fonction de r, e et ep. On note ‏وا‎ la valeur de cette énergie
pour r = a = 0,53.1071 m. Calculer, en électron-Volt, la valeur de 70
1.3.3. Exprimer, en fonction de r, le module du moment cinétique de l’électron Lo par
rapport à l’origine © dans le référentiel d'étude.
1.3.4. La puissance rayonnée dans le vide par une charge ‏,و‎ d'accélération a, est approxi-
mativement donnée par :
6 60-6 3
Rappeler le théorème qui décrit ce type de rayonnement.
1.3.5. Déterminer l'équation différentielle que doit vérifier l'énergie totale E(+t). Discuter
alors la validité de ce modèle.
1.3.6. Exprimer la période T de l'orbite circulaire en fonction de r. Sachant que l'expérience
montre que le spectre d'émission de l'Hydrogène contient des raies discrètes, mon-
trer une autre insuffisance du modèle de Rutherford.
1.3.7. Rappeler les hypothèses de Bohr. Montrer que l'énergie de l'atome est quantifiée et
qu'elle s'écrit sous la forme E, = — 5 . Exprimer ‏.كر‎
‎1.3.8. Évaluer le rayon orbital ri et l'énergie E\ correspondant à l’état fondamental.
1.3.9. Les radiations émises par l'atome d’Hydrogène dans le domaine visible ont été
découvertes expérimentalement par Balmer. Ces radiations sont définies par la série :
1 1 1
2127 0 0 5)
avec n = 3.,4,5,... et Rx - 109677 cm°! la constante de Balmer. Déterminer les
longueurs d'onde ‏مذ‎ À3, À, et À5 correspondant à n = 3,4,5, 6.
1.3.10. Quelle est la valeur limite À, de la longueur d'onde qui correspond à cette série ?
1.3.11. En utilisant le modèle de Bohr, retrouver la série de Balmer. Calculer Ry et la
comparer à la valeur expérimentale. Conclure.
1.3.12. Montrer que si le proton est mobile on retrouve la même série de Balmer à condition
de remplacer la constante de Balmer par la constante de Rydberg R qui est donnée
par :
Calculer ‏لحم‎ . Commenter.
Épreuve de Physique I 6 / 13 ‏هِب‎
‏بغ‎ 0
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1.4. Modèle de Wilson-Sommerfeld
Le modèle de Bohr se base sur la quantification des orbites circulaires à force centrale
coulombienne. La partie précédente montre qu'à partir de ce modèle on retrouve la loi
. empirique de Balmer. Des études expérimentales de spectroscopie montrent qu'on ob-
tient des raies de la série de Balmer plus éclatées, elles sont constituées de plusieurs
raies très fines et très resserrées par rapport à celles prévues par la série de Balmer, ces
raies sont appelées multiplet et on parle de structure fine de l'atome d'Hydrogène. Som-
merfeld et Wilson proposèrent le modèle des orbites elliptiques à force centrale qui sont
décrites avec les deux degrés de liberté r et 4. Le modèle proposé par Wilson-Sommerfeld
permet l'introduction de deux nombres quantiques ‏مد‎ radial et n9 azimutal. En réalité
Sommerfeld et Wilson ont proposé, indépendamment, une méthode de quantification de
l'action en physique classique. Cette quantification n’est valable que si la cordonnée ‏و‎
‎et son moment conjugué p sont périodiques dans le temps, dans ce cas la condition de
quantification s'écrit :
à 1 pdq = 7
cycle
n un entier et h la constante de Planck.
1.4.1. Oscillateur harmonique
On considère un oscillateur harmonique horizontal, constitué d’une masse m at-
tachée à l'extrémité d’un ressort de raideur k. La masse oscille sans frottement suiv-
ant l’axe (O, x). On pose w? = £.
1.4.1.1. En appliquant le PFD à la masse, trouver l'équation différentielle du mouvement.
1.4.1.2. Exprimer z(t) et p,;(t) sachant que xz(0) = 0, (0) = vo. On pose ‏و20‎ l'amplitude
de l'oscillation qu'on exprimera en fonction de ‏ون‎ et w.
1.4.1.3. Montrer que l'énergie mécanique est constante. Donner sa valeur en fonction de
2:0 et des autres données.
1.4.1.4. Appliquer la condition de quantification de Wilson-Sommerfeld puis trouver xà
en fonction de n.
1.4.1.5. Déduire alors que l'énergie de l’oscillateur est quantifiée. Exprimer ‏رطع‎ en fonc-
tion de n,, w et h.
1.4.2. Atome d'hydrogène
On suppose que le proton de masse M et de charge +e est fixe à l’origine 0 du repère
supposé galiléen. L'électron, de masse m et de charge —e, tourne autour du proton
sous l’action de la force coulombienne seulement F = — ‏.4ك‎ k est une constante
positive.
1.4.2.1. Montrer que la trajectoire est plane. On travaille par la suite avec les cordonnées
polaires (r, 4).
1.4.2.2. Montrer que l'équation, en cordonnées polaires, est sous la forme :
7)9( 1 + 6 05)0 — 60(
avec p = ‏كيم‎ ete — mA . © = +36 représente la constante des aires et À une
constante positive.
1.4.2.3. Quelle est la nature de la trajectoire ?
1.4.2.4. Retrouver la troisième loi de Kepler.
1.4.2.5. On s'intéresse par la suite à l'orbite elliptique de demi-grand axe a et demi-petit
axe b sachant que le grand axe est confondu avec l’axe polaire. Montrer que
l'énergie mécanique du système est constante et qu'elle s'écrit sous la forme :
CHE
Épreuve de Physique 1 A3 Tournez la page S.V.P.
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1.4.2.6. Écrire la condition de quantification de Wilson-Sommerfeld. Montrer que la
quantification de l’action donne deux quantifications, une radiale et l'autre az-
imutale.
: 1.4.2.7. Montrer que la quantification azimutale donne mC = noh.
1.4.2.8. Montrer que la quantification radiale se traduit par :
r2 1 202
2 1 \/ — a? + 28- — dr =frh
ri Tr 7
avec 71 et r2 sont les racines ‏ممتطمتوةاعةه‎ —a? + 28 — me = 0. Exprimer a et
8 en fonction de l'énergie E et les autres données du problème.
1.4.2.9. On admet que :
r2 1 202 8
/ ‏و2 + 2و‎ TE ‏م ح حا‎ (£ Æ mc)
\ ri : 7 0
Montrer que 1 ‏عتعتعدة‎ de l'atome est quantifiée et qu'elle s'écrit sous la forme :
(nr + na)
1.4.2.10. Discuter la structure fine de l'atome d'hydrogène.
1.5. Puits de potentiel
Dans de nombreuses situations quäntiques, des particules chargées se trouvent piégées
dans des liaisons (électron dans une liaison chimique covalente conjuguée, diode laser...)
sont confinées dans un potentiel sous forme d’une cuvette. On modélise cette situation
par un puits de potentiel infini. On considère une particule quantique, de masse m, se
déplaçant librement à une dimension à l’intérieur d’un puits de potentiel infini comme il
est schématisé sur la figure (4).
1.5.1. On suppose que L est la largeur caractéristique d’un puits de potentiel à une
dimension. Montrer qu’une particule quantique, de masse m, confinée dans ce puits
ne peut jamais être au repos.
1.5.2. Montrer que l'énergie minimale de la particule quantique est d'autant plus grande
que L est petite.
1.5.3. Écrire l'équation de Schrôdinger stationnaire de la particule quantique à l’intérieur
du puits. On note #(x) la fonction d'onde de matière associée à la particule quan-
tique.
1.5.4. Montrer que si l'énergie 70 de la particule est inférieure ou égale à zéro la particule
quantique ne peut exister. Par la suite on suppose que E > 0.
1.5.5. Montrer que la partie spatiale de la fonction d'onde est quantifiée et que le mode de
rang n est donné par :
he 2 8 ‏ع‎
‎= AS Le
8 ‏رحا‎
‎72 un entier naturel non nul.
1.5.6. Donner l'expression de la fonction d'onde totale (x). Justifier la réponse.
1.5.7. Montrer que l'énergie de la particule quantique est quantifiée et qu'elle est donnée
par :
Eh — Ein?
Exprimer F1.
Épreuve de Physique I 8 / 13 —
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t VX
‏جر تيا ل وح رحج ورت به‎ 0 x
Figure 4: Puits de potentiel infini
1.5.8. Vérifier l'accord du résultat précèdent avec ceux des questions 1.5.1 et 1.5.2.
1.5.9. Tracer la densité de probabilité pour n = 1 et n = 2. Interpréter puis commenter.
2. Formation d'étoile
On considère un gaz d'Hydrogène à symétrie sphérique, de rayon À et de masse totale M,
considéré comme un gaz parfait monoatomique. On suppose que le gaz est en équilibre
thermique à la température cinétique T et on note U son énergie interne.
2.1. Théorème de Viriel
On considère un système (S) borné spatialement et isolé, constitué de N particules
numérotées par l'indice n. Dans un référentiel (R) supposé galiléen, on note 7, le vecteur
position de la particule n, de masse m,, et par ®, son vecteur vitesse. On suppose que les
interactions entre particules sont conservatives dérivant d'une énergie potentielle totale
‏وكا‎ )7 T2, FN). Soit ‏وك‎ l'énergie cinétique totale du système dans le référentiel (R).
2.1.1. Montrer que l'énergie cinétique totale du système )5( se met sous la forme :
dÉ 1. >
‏من[‎ = Te à Tr-En
où Y une fonction qui dépend explicitement des vecteurs positions et vitesses
instantanés et F, la force exercée sur la particule n par toutes les autres particules.
Donner l'expression de Y.
2.1.2. Montrer que la moyenne temporelle > SE > est nulle.
2.1.3. Exprimer la moyenne temporelle > E. > de l'énergie cinétique totale en fonction
d’une sommation de la grandeur ‏ون‎ = Tn.Fn.
2.1.4. On suppose que l'énergie potentielle totale du système est une fonction homogène
de degré ‏م‎ par rapport aux 3N variables (x,,yn, z). Montrer le théorème de Viriel
reliant les moyennes temporelles de ‏وكا‎ et de E, par :
2<E>=p<E, >
2.1.5. Calculer la valeur de ‏م‎ pour une interaction élastique. Que devient l'écriture du
théorème de Viriel ? Commenter.
2.1.6. Calculer la valeur de p pour l'interaction gravitationnelle. Déduire que pour qu'un
gaz borné soit gravitationnellement lié il faut que son énergie totale soit négative.
2.2. Interaction gravitationnelle
On suppose que la seule interaction entre particules est de type gravitationnelle.
Épreuve de Physique I 97/73 Tournez la page 2
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2.2.1. Par une analyse dimensionnelle, construire l'expression de T5 grandeur homogène à
un temps en fonction de G, R et M.
re 2.2.2. On définit l'énergie potentielle gravitationnelle du nuage sphérique de rayon R et
. de masse M comme le travail total que doit effectuer un opérateur pour ramener les
particules du système, d’une manière quasi-statique, de l'infini à la situation finale.
2.2.2.1. Exprimer ÔW le travail élémentaire que doit effectuer l'opérateur pour ramener
une une masse dm de l'infini jusqu” à la surface de la sphère de rayon r et de
masse m(r).
2.2.2.2. On suppose que la masse volumique ‏م‎ est uniforme. Montrer que l'énergie
potentielle gravitationnelle du gaz est donnée par :
3GM°?
2.2.2.3. Commenter le signe de ‏.مك‎
2.2.3. Donner l'expression de l'énergie interne U du gaz en fonction de KB, my, M etT.
Avec my est la masse d'un atome d'Hydrogène.
2.2.4. Exprimer sous forme d'une inégalité entre ‏و‎ et U la condition pour que le gaz soit
gravitationnellement lié.
2.2.5. Montrer que pour une température T et masse volumique p données, si le gaz
possède un rayon inférieur à un rayon limite Ry, appelé rayon de Jeans, le gaz se
fragmente. Donner l'expression de Ry en fonction de KB, mn,G,petT.
2.2.6. Calculer numériquement le rayon de Jeans et la masse correspondante pour un
nuage sphérique porté à une ‘température T - 10K et comportant un atome
d'Hydrogène par cm. Comparer ces valeurs à celles du Soleil puis conclure.
2.2.7. Pour estimer la durée de l'effondrement ‏قري‎ partir de la gravitation seule on adopte
le modèle suivant : on découpe le nuage en des couches sphériques concentriques
qu'on numérote par (k). La couche numéro k, de masse volumique p4(t), est com-
prise à l'instant + entre les rayons r;(t) et r£(t) + dr et elle est supposée fermée.
2.2.7.1. En partant de la conservation de l'énergie totale d’une couche k et en supposant
que la vitesse initiale d’effondrement de cette couche est nulle, montrer que :
dry 2 1 1
‏اح ل ل 6 ب اع‎
‏م«(‎ GG - ‏سج‎
‎m représente la masse contenue dans la sphère de rayon r4(t).
2.2.7.2. On pose rz4(t) = rx(0) cos?(z4(t)) et on suppose que l'effondrement se fait jusqu'à
un rayon nul. Montrer que le temps d’effondrement {FF est donné par :
t 17 2770)2
ÉTAT A ‏مود‎
‎2.2.7.3. Calculer numériquement {; pour un nuage comportant un atome d'Hydrogène
par cm et de rayon R = 10°R..
2.3. Effet thermique
On considère de nouveau le nuage à symétrie sphérique mais dans cette partie s'ajoute
aux forces gravitationnelles les forces de pression cinétique.
2.3.1. On pose m(r) la masse contenue dans la sphère de rayon r et P(r) la pression à la
distance r. En étudiant l'équilibre hydrostatique de la masse dm contenue dans la
couche sphérique comprise entre r et r + dr, montrer que :
d (arr Eh ( sr ) dm
Épreuve de Physique I 10 / 13 ‏جب‎
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2.3.2. Apres intégration, montrer que la pression à la surface est donnée par :
3MKBT 3GM°?
: PR)= ‏تيرج‎ 207R4
ré Pour obtenir ce résultat, on montre tout d’abord que d (4rr*P) = 2dU + dE,.
2 2.3.3. Tracer qualitativement le graphe de P(R) pour M et T données. Exprimer le rayon
Rymax Correspondant au maximum de P en fonction du rayon de Jeans Ry. En déduire
que l’amorçage de l‘effondrement d’un nuage sur lui même est dû à une explosion
proche d’une super-novae.
2.3.4. À cause de la mort d’une étoile proche, l'effondrement du nuage d'hydrogène
continue jusqu’à atteindre un rayon final R/ où les atomes d'hydrogène sont en
contact. On note a le rayon atomique et on néglige la pression à la surface. Montrer
que la température finale du nuage est :
7+ = GM2/3m3°
5aKp
2.3.5. Montrer que le gaz d'hydrogène s’ionise une fois que la température finale T;
dépasse largement la température 10° X.
2.3.6. On suppose que T; >> 10° K. Les atomes d'hydrogène sont totalement ionisés
et l'effondrement continue jusque’à ce que la distance entre deux particules est de
l'ordre de la longueur d’onde de Broglie des électrons ‏يذ‎ = EC où v. est la
vitesse moyenne d’agitation thermique des électrons. Exprimer ‏يد‎ en fonction de
la température finale 7...
2.3.7. Montrer que la température finale du plasma ainsi formé est donnée par :
T, = 3CM/3memy
i 100/3
2.3.8. Montrer que si M > 0.1M,, alors le corps final ainsi formé est une étoile. On rappelle
que la source d'énergie d’une étoile est d’origine nucléaire et les réaction nucléaires
ne peuvent avoir lieu qu’à partir de 107 K. Déduire que la planète Jupiter est une
étoile ratée.
2.3.9. On note par L, la luminosité du Soleil qui n’est autre que la puissance lumineuse
totale émise. Calculer la puissance surfacique ÆE reçue par la Terre.
On donne D = 1.5 10!! m la distance Soleil-Terre.
2.3.10. On suppose que le Soleil est, en bonne approximation, un corps noir porté à la
température ‏.5و7‎ Rappeler la loi de Stephane-Boltzmann, en déduire la température
effective du Soleil.
2.3.11. On définit le temps de Kelvin-Helmholtz, noté Txy, la durée nécessaire pour qu'une
étoile rayonne toute son énergie gravitationnelle en supposant que sa luminosité
reste constante. Calculer Txy# pour le Soleil en supposant que sa masse volumique
n'a pas changé. Commenter.
2.3.12. On définit le temps nucléaire, noté T,, la durée nécessaire pour que l'étoile rayonne
une fraction x de son énergie de masse sans que sa luminosité varie. Calculer
Th(xæ = 107%) pour le Soleil puis le comparer à Txky. Conclure sur l'origine du
rayonnement d'une étoile.
3. Simulation d’un élément de radiotélescope
Inauguré en 1965, le radiotélescope de Nançay a été créé pour étudier le décalage Doppler
de la raie 21cm de l’atome d'hydrogène due au couplage spin nucléaire- spin électronique.
Épreuve de Physique I 118/713 Tournez la page 2
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C’est un moyen privilégié d'étude de la cinématique de l'hydrogène interstellaire, et donc des
mouvements dans l'univers. De 1956 à 1967, de nombreux chercheurs ont travaillé à la très
délicate mise au point de la chaîne de réception suivante.
amplificateur
‏سي‎ : ١ refroidi à 20K mélangeur chaîne amplificatrice
50 1420 MHz signal décalé
1450 MHz local
Figure 5: Simulation d'un élément de radiotélescope
On se propose de reproduire simplement le principe d’un mélangeur en TP en se plaçant 6
décades plus bas en fréquence.
3.1. Dédoublement de fréquence
a(t) = Acos(2r fit) et eo(t) = ‏وا‎ cos(2r fot + do) sont deux tensions mises aux entrées
d'un multiplieur. Leurs fréquences résepctives sont f, — 1420772 et fo — 145077.
On obtient en sortie du multiplieur une tension : m(t) = ka(t).eo(t).
Le coefficient de proportionalié k vaut : k = 0,1V-1.
3.1.1. Linéariser le signal à la sortie du multiplieur et justifier que le spectre en fréquence de
m(t) est composé de deux fréquences f et f” > f. On donnera les valeurs numériques
des fréquences f et f! > f.
3.1.2. Représenter l'allure du spectre en amplitude du signal m(t).
3.2. Filtrage
On souhaite filtrer la tension m(t).
3.2.1. Le diagramme de Bode du filtre étudié est donné par les figures (6) et (7).
Diagramme de Bode
0 TIT ‏الك‎ RE ‏ا اا‎
‏تا از لكت‎ 21 02 0111 PE CE EE
Figure 6: Diagramme de Bode en gain
3.2.1.1. Indiquer, en le justifiant, la nature et l’ordre du filtre.
3.2.1.2. Déterminer graphiquement et en justifiant la démarche suivie, la fréquence de
coupure f. du filtre à —-3dB.
Épreuve de Physique I 12 / 13 ‏هب‎
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Diagramme de Bode
SES CORRECTE [TT | ||] ] ‏م‎
‏الملل لله‎ LS Les ON LES NS ‏اد ال ل الا ا لب و‎ LEE]
£ ARE | N TITI AMOR
5 ‏ا ارتل‎ RES A | | 8 ‏ل‎ EE Où HAN
‏ااانا الاير الللام‎ 0 ٠ ‏لفحب زرا‎
‏اليل الها‎ el mel EM ‏أن‎
‎Figure 7: Diagramme de Bode en phase
Pour filtrer la tension m(t), on utilise alors le filtre
de la figure (8).
3.2.2. Proposer un câblage pour caractériser le filtre
étudié à l’aide d’un oscilloscope et d’un GBF.
Proposer une méthode permettant rapidement de ‏نع‎ Ce R| ‏)مدا‎
‎déterminer la fréquence de coupure du filtre à
l'aide d'un oscilloscope. -
3.2.3. Montrer que la fonction de transfert H(jw) = ee
du filtre se met sous la forme : ; Figure 8: Filtre
HGw) = rx
Exprimer ‏و77‎ et wo en fonction de R et C.
3.2.4. En dessinant un schéma équivalent en BF (Basse Fréquence), puis un autre en
HF (Haute Fréquence), déterminer sans calcul le type de ce filtre. Déterminer les
droites asymptotiques dans le diagramme de Bode en gain et en phase.Vérifier votre
affirmation faite dans la question 3.2.1.1.
3.2.5. Déterminer la pulsation de coupure w. du filtre en fonction de R et C.
3.2.6. À l’aide du diagramme de Bode ci-dessus, donner la valeur numérique du produit
RC et celle de 170.
3.2.7. En haute fréquence, pourquoi parle-t-on d’une intégration ? Comment vérifie-t-on
cette propriété sur le diagramme de Bode en gain ? Vers quelle valeur tend alors le
déphasage de v;(t) par rapport à w.(t) ?
3.3. Le mélangeur
On place à l'entrée de ce filtre le signal m(t). La sortie est alors :
vs(t) = ‏وآ‎ cos(2r ft + D) + ‏با‎ cos(2r f't + d!.).
3.3.1. Déterminer la valeur numérique de # à partir du diagramme de Bode.
3.3.2. Sachant que l’atténuation de la véritable chaîne de réception est bien supérieure, en
déduire la valeur de la fréquence du signal décalé de la chaîne originale.
Épreuve de Physique I 13 / 13 FIN
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