Modèle de concours : CNC 2025 — Informatique (filière MP) — Concours National Commun d'accès aux écoles d'ingénieurs

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Royaume du Maroc
Ministère de l'Enseignement Supérieur,
de la Recherche Scientifique et de l'Innovation
FI | | > 2
CONCOURS NATIONAL COMMUN
D’Admission dans les Etablissements de Formation d’Ingénieurs et
Etablissements Assimilés
Session 2025
LA 0 .
Epreuve d’Informatique
Filières : MP
Durée : 2 heures
Cette épreuve comporte 12 pages au format A4, en plus de cette page de garde.
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Page de garde
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Épreuve d'Informatique - Session 2025 - Filière MP
Les candidats sont informés que la précision des raisonnements algorithmiques ainsi que le soin apporté à la
rédaction et à la présentation des copies seront des éléments pris en compte dans la notation. Il convient en
particulier de rappeler avec précision les références des questions abordées. Si, au cours de l'épreuve, un
candidat repère ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa
composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Remarques générales :
“ Cette épreuve est composée d'un exercice et de deux parties tous indépendants ;
“Toutes les instructions et les fonctions demandées seront écrites en Python ;
“ Les questions non traitées peuvent être admises pour aborder les questions ultérieures :
“ Toute fonction peut être décomposée, si nécessaire, en plusieurs fonctions.
Important : Le candidat doit impérativement commencer par traiter toutes les questions de l'exercice
ci-dessous, et écrire les réponses dans les premières pages du cahier de réponses.
Exercice : (4 points)
Q.1- Écrire la fonction fact (k) qui reçoit en paramètre un entier positif k -et qui retourne la valeur de ‏!)ا‎
‎NB: -7*2*3*..."١* et O0f=1
Q.2- Déterminer la complexité de la fonction fact (k), avec justification.
Q.3- Écrire la fonction som_ fact (n) qui reçoit en paramètre un entier positif n, et qui retourne la valeur de la
somme suivante : O0! + 1! + 2!+ ... + n!
Q.4- Écrire la fonction liste_fact (L) qui reçoit en paramètre une liste L de nombres entiers, et qui retourne
une nouvelle liste F contenant les valeurs des factorielles des éléments de L.
Exemple : fiste_fact ([10, 5, 12, 9]) retourne la liste [ 101 5! 121, 9!]
Q.5- Écrire la fonction existe (x, L) qui reçoit en paramètres une liste L de nombres entiers positifs, et un
entier positif x. La fonction retourne True si x! existe dans L, sinon la fonction retourne False.
Exemple : existe (5, [350, 100, 120, 719]) retourne True, car 5! = 120
Q.6- Écrire la fonction compte (L, p) qui reçoit en paramètres une liste L de nombres entiers positifs, et un
entier positif ‏.م‎ La fonction retourne le compte des éléments de L qui sont supérieurs strictement à ‏!م‎
‎Exemple : compte ([350, 100, 130, 719], 5) retourne 3, car 350 > 51, 130>5!1 et 719 < 1
Q.7- Écrire la fonction superieure (L, k) qui reçoit en paramètres une liste L de nombres entiers positifs, et
un entier positif ‏ا‎ La fonction retourne True si tous les éléments de L sont supérieurs strictement à KI, sinon,
la fonction retourne False.
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Épreuve d'Informatique - Session 2025 - Filière MP
Partie I :
Apprentissage automatique supervisé
Reconnaissance optique de chiffres
L'OCR (Reconnaissance Optique de Caractères) désigne les procédés informatiques pour la traduction
d'images de textes imprimés en fichiers texte. L'idée est de partir d'une image représentant un chiffre ou une
lettre et d'en extraire le contenu. Pour y parvenir, l'une des méthodes est l'algorithme KNN (K Nearest
Neighbors, K plus proches voisins).
On dispose de plusieurs images de chiffres manuscrits 0, 1, 2, .... 9. Chaque image correspond à un chiffre
manuscrit. Plusieurs images peuvent représenter le même chiffre (voir figure ci-dessous).
5] ‏اها اها كا لق 4 © (3 لنا له لكا قا لا‎ À
‏ب ان أ 2 أ‎
© ‏ها له )2( (2ا‎ (9) Gi ©) (z] © ‏زا اما 21( لوا‎
‏ا )9 1 21 اها لج الا لها ا اا اا اما ما‎
7 ‏را ب"‎ AN
2] ©] ‏لقا ما لقا © 1 ]4 اها © 1 © انا‎ ©
‏اه‎ 4 e 2
‏نا 2 اث لها © ]1[ اها ها 4 اها ]6( ىا‎ (8) 5]
(2 (1 1 1 ‏اها‎ QE 7 ‏ا اا‎ 0
A- Base de données et langage SOL
Les informations sur les images des chiffres manuscrits sont rangées dans une base de données composée
d'une seule table : ‘images.
La table ‘images’ est composée de deux champs :
+ Le champ nom (type texte) contient le nom de l'image d'un chiffre manuscrit. ;
+ Le champ chiffre (type entier) contient le chiffre représenté par l'image.
Exemples :
nom |
image 100
image273 | 41
image1425 Sn |
image8610
Cimage77 | 2
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Épreuve d'Informatique - Session 2025 - Filière MP
Q.8- Écrire, en algèbre relationnelle, une requête qui donne pour résultat les noms des images qui
correspondent au chiffre 5.
Q.9- Écrire une requête SQL qui donne pour résultat les noms des images qui correspondent au chiffre 5, et
les noms des images qui correspondent au chiffre 8, triés dans l'ordre alphabétique.
Q.10- Écrire une requête SQL qui donne pour résultat les noms des images, tels que le nom est composé
d'au moins 6 caractères.
Q.11- Écrire une requête SQL, qui donne pour résultat le compte des images.
Q.12 - Écrire une requête SQL, qui donne pour résultat les chiffres et le compte des images correspondantes
à chaque chiffre. Le résultat doit être trié dans l'ordre décroissant des comptes des images.
Q.13- Écrire une requête SQL, qui donne les chiffres tels que le compte des images correspondantes à chaque
chiffre est supérieur à 10% du compte de toutes les images.
B- Algorithme KNN
Dans cette partie, on suppose que le module numpy est importé :
import numpy as np
Dans la suite de cette partie, l'image de chaque chiffre manuscrit est représentée par une matrice carrée de 8
lignes et 8 colonnes.
Exemple :
L'image suivante correspond au chiffre 4. Elle est représentée par la matrice M suivante :
]] 0 0 0 214 2 6 0]
ous. [0 ‏ه‎ 014 8 0 © 0]
2 ‏ا‎ [0 010 9 8 4 4 0(
; [0 414 1 115 8 0]
: ] 0 416 5 11 16 2 0]
. [ 0 6 16 16 16 11 0 90]
[0 © 4 012 6 © 0]
4 ] 8 0:0 113 1 8 8[[
9 1 2 3 4 ‏د‎ 6 7
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Épreuve d'Informatique - Session 2025 - Filière MP
L'algorithme KNN est un algorithme de Machine Learning qui appartient à la classe des algorithmes
d'apprentissage supervisé, et qui peut être utilisé pour résoudre les problèmes de classification ou de
régression.
L'algorithme KNN reçoit un ensemble de données qui est étiqueté avec des valeurs de sorties
correspondantes sur lequel il va pouvoir s'entraïner et définir un modèle de prédiction. Cet algorithme pourra
par la suite être utilisé sur de nouvelles données afin de prédire leurs valeurs de sorties correspondantes.
Phase d'entrainement
Dans cette phase, on utilise deux variables globales ‏ع‎ et F, telles que :
+ La variable globale E est initialisée par une liste qui contient plusieurs images de chiffres manuscrits :
chaque élément Eï est une matrice carrée 8 lignes 8 colonnes qui représente un chiffre manuscrit.
Exemples :
> La matrice Eoreprésente une image manuscrite du chiffre 4 ;
> La matrice Er représente une image manuscrite du chiffre 3 ;
> La matrice E2représente une image manuscrite du chiffre 9 :
+ La variable globale F est initialisée par une liste de même taille que E. Chaque élément Fi est un entier
compris entre 0 et 9, qui correspondant à l'image représentée par la matrice carrée ‏اط‎
‎Exemple :
F=[4,3,9, 7, 1, 7,6, 7, 6, 3, 6, 2, 1, 5, 4, 9, 4, 3,9, 9, 2, 7, 7, 0, 4, 7, 4, 1, 2, 8, 3, 1, ...[
> La matrice 50 606658016 une image manuscrite du chiffre Fo= 4 ;
> La matrice E1 représente une image manuscrite du chiffre F1 = 3 ;
> La matrice E2représente une image manuscrite du chiffre ‏دع‎ 9 ;
On suppose que X est une liste qui représente l'image un chiffre manuscrit quelconque. Pour prédire le chiffre
correspondant à l'image X, le principe de l'algorithme KNN est le suivant :
> Pour la mesure de similarité, on définit une fonction qui calcule la distance entre deux images :
> 00 trie les éléments de E dans l'ordre croissant de la distance entre X et chaque élément de E :
> On choisit un entier strictement positif ‏»ا‎ ;
> Parmiles kimages de Eles plus proches à X, on retient le chiffre correspondant au plus grand nombre
d'images.
Q.14- On considère deux matrices carrées À et 8 qui représentent deux images de deux chiffres manuscrits.
Pour la mesure de similarité entre À et 8, on propose d'utiliser la distance de Manhattan définie par la formule
suivante :
i=0 j=0
Écrire la fonction distance (A, B) qui retourne la distance de Manhattan entre À et B.
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Épreuve d'Informatique - Session 2025 - Filière MP
Q.15- Écrire la fonction indices ( ) qui retourne la liste D des indices des éléments de E.
Exemple :
indices ( ) retourne la liste D = [ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ...[
Q.16- Écrire la fonction tri_indices (D, X) qui reçoit en paramètres la liste D des indices des éléments de E,
et une matrice X qui représente l'image d'un chiffre manuscrit quelconque. La fonction trie les éléments Di de
D dans l'ordre croissant de la distance de Manhattan entre X et chaque élément dans E d'indice Di. (Ne pas
utiliser la fonction 507800 et la méthode sort() )
Exemples :
X est une matrice carrée qui représente un chiffre manuscrit.
Après l'appel de la fonction tri_ indices (D, X), on obtient la liste des indices suivante :
(38, 15, 27, 24, 7, 67, 160, 51, 87, 10, 19, 8, 93, 13, 11, 44, 12, 9, ...[
À partir de cette liste triée, on déduit que :
> L'image E3s est la première plus proche image à l'image X :
> L'image 515 est la deuxième plus proche image à l'image X';
> L'image 527 est la troisième plus proche image à l'image X ;
Q.17- Écrire la fonction de plus_proches (X, k) qui reçoit en paramètres une matrice X qui représente l'image
d'un chiffre manuscrit quelconque, et ‏ا‎ un entier strictement positif. La fonction retourne la liste des k chiffres
de F correspondants aux k images de E les plus proches à X.
Exemple :
X est une matrice carrée qui représente un chiffre manuscrit.
plus_proches (X, 15) retourne la liste des chiffres : [8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 1, 8, 3, 2, 8, 8, 8, 2]
Q.18- Écrire la fonction de knn (X, k) qui reçoit en paramètres une matrice X qui représente l'image d'un
chiffre manuscrit quelconque, et ‏»ا‎ un entier strictement positif. En utilisant le principe de l'algorithme KNN, la
fonction retourne le chiffre de F correspondant au plus grand nombre d'images, parmi les k images de E les
plus proches à X.
Exemple :
X est une matrice carrée qui représente un chiffre manuscrit.
knn (X, 15) retourne le chiffre 8
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Épreuve d'Informatique - Session 2025 - Filière MP
Phase du test
Dans cette phase, on utilise deux variables globales T et P, telles que :
+ La variable globale T est initialisée par une liste qui contient plusieurs images de chiffres manuscrits :
chaque élément 71 est une matrice carrée 8 lignes 8 colonnes.
+ ‏قا‎ variable globale Pestinitialisée par une liste de même taille que 7. Chaque élément Prest un entier
compris entre 0 et 9, qui correspondant à l'image représentée par la matrice Ti.
Pour mesurer la précision du modèle, on calcule le pourcentage des images de T, telles que le chiffre
représenté par chaque image est le même que le chiffre prédit par le modèle KNN.
Q.19- Écrire la fonction de precision (k) qui reçoit en paramètre un entier ‏ا‎ strictement positif et qui retourne
la précision du modèle.
Exemples :
> precision(5) retourne 98 %
> precision(10) retourne 99 %
Q.20- On suppose que le module matplotlib.pyplot est importé :
import matplotlib.pyplot as pilt
Écrire le programme python qui permet de tracer la représentation suivante, qui correspond à la précision du
modèle pour chaque valeur de k = 3, 4, 5, .... 15.
100.00 + —
99.75 5 ٍِ ِ
99.50 + ‏ل‎
‎99.25 ‏ا - مس‎ ٍ ٍ —+ --
99.00
98.75
98.50 1 5-5
98.25 +- ‏اد سه‎ —— ٍ —|
4 6 8 10 12 14
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Épreuve d'Informatique - Session 2025 - Filière MP
C- Reconnaissance automatique du code postal
La reconnaissance automatique de l'écriture est un domaine de recherche qui a trouvé une application à
grande échelle dans le tri du courrier. Les enveloppes passent devant une caméra, et chaque image est traitée
automatiquement par une machine qui localise le code postal et le reconnait.
On considère une matrice M qui représente l'image d'un code postal, telle que :
> Le nombre de lignes de Mest 8;
> Le nombre de colonnes de Mest un multiple de 8;
> Chaque chiffre est représenté par une sous-matrice de Mde 8 lignes et 8 colonnes.
Exemple :
FE ’ 10 1 10 » Eu y»
L'image ci-dessus est représentée par la matrice de 8 lignes et 40 colonnes :
EE #8 0, D 11 16 16 5 8 8 80 #5 8 11 14 14 © ns [
LOS 23 15 11 10 16, 4 8 D 1 16 16 13 12 7 9 .
]# 0 4 8 19 ‏4ذ‎ 8 8 6 6 18 7 1 8 80 8 .. [
] 0 8 7 15 16 16 12 8 6 4 16 16 15 1 € 0 +
LOS 0 '* 1565 14 44 1 808 8 1 5 5 13 9 6 © ss |
[9 08 1 14 7 0 8 8 6 8 5 0 12 9 0 8 . |
!#" © | 15 4 80 98 8 808 8 12 10 18 4 980 © = ]
[0 0 8# 16 96 0 80 9 60 9 19 14 8 9 9 8 = [ [
Q.21- Écrire la fonction de code postal (M, k) qui reçoit en paramètres la matrice M qui représente un code
postal, et un entier ‏ا‎ strictement positif, En utilisant l'algorithme knn, la fonction retourne la valeur du nombre
qui correspond au code postal.
Exemple :
code _postal (M, 4) retourne le nombre 75032
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Épreuve d'Informatique - Session 2025 - Filière MP
Partie II :
Réduction d'image
Algorithme ‘Seam Carving'
Dans cette partie, on manipule des matrices de nombres entiers positifs.
Exemple :
M > ] ]238, 83, 20, 120, 25, 240, 46, 5, 48, 153],
(238, 152, 110, 251, 148, 20, 246, 144, 251, 203],
[ 96, 197, 169, 12, 47, 166, 37, 229, 115, 57],
(216, 9, 49, 12, 152, 206, 195, 164, 34, 108],
[ 85, 44, 4, 94, 153, 225, 195, 198, 18, 121],
[ 14, 159, 96, 152, 30, 204, 182, 146, 244, 238],
[ 40, 92, 67, 167, 9, 125, 127, 154 18 72],
[ 32, 137, 191, 143, 33, 113, 72, 187, 173, 36[[
Pour plus de clarté, dans la suite de cette partie, on utilisera cette matrice dans les exemples des fonctions de
la section (A) ci-dessous.
A- Chemin vertical dans une matrice
Dans une matrice M, un chemin vertical est un chemin du haut vers le bas, qui part d'une case dans la première
ligne de M jusqu'à une case dans la dernière ligne de M.
Depuis une case Mi (qui ne se trouve pas sur la dernière ligne), les seuls déplacements autorisés sont :
> Si Mijest sur la première colonne, on peut se déplacer vers Mis1,j ou bien vers Mis1,je1.
> Sinon si Mi est sur la dernière colonne, on peut se déplacer vers Mi,1,j-1 ou bien vers ‏جز‎
‎> Sinon, on peut se déplacer vers Mis1,j-1 ou bien vers Mis1,j ou bien vers Mis1,je1.
Pour représenter un chemin vertical, on utilise une liste C telle que :
> La taille de C est égale au nombre de lignes de M;
> Les éléments de C sont des indices de colonnes dans M.
Par exemple, on considère le chemin vertical qui part de la case Mo.z, et qui passe par les cases suivantes :
{ (238, 83, MZ | 25, 240, 46, 5, 46, 153],
(238, 152, 110, M 148, 20, 246, 144, 251, 203],
[ 96, 197, 169, ME A7, 166, 37 229, 115, 57],
(216, 9, MM 12, 152, 206, 195, 164, 34, 108]
]85 | ‏ةا‎ 4, 94, 153, 225, 195, 198, 18. 121],
[ 14, 159, MB 152, 30, 204, 182, 146, 244, 238],
] 40, 92, 67, ‏ةا‎ 9, 125, 127, 154, 152, 72],
] 32, 137, 191, 143, SM 113, 72, 187, 173, 36([[
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Épreuve d'Informatique - ion 2025 - Filière MP
Le chemin Mo,2 (=20) > 01,3 (=251) > M23(=12) > ‏ددا‎ (=49) > 144,1 > M5,2 > M6,3 > M7,4 (=33)
est représenté par la liste C = [ 2, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 4]
La somme des valeurs des cases par les quelles passe un chemin est appelée : coût du chemin.
Par exemple, le coût du chemin ci-dessus est : 20 + 251 + 12 + 49 + 44 + 96 + 167 + 33 = 672
Q.22- Écrire la fonction cout _ chemin (M, C) qui reçoit en paramètres une matrice M de nombres entiers, et
une liste C qui représente un chemin vertical dans M. La fonction le coût du chemin C.
Exemple :
cout _chemin (M, [ 2, 3, 3, 2, 1, 2, 3, 4 ]) retourne 672 = Mo,2 +M1,3 + M2,3 + M3,2 + Ma,1+ M5,2 + M6,3 +4
ls existent plusieurs chemins verticaux qui partent d'une cases Mo,j. Dans le but de trouver le chemin vertical
de coût minimal, la méthode ‘glouton' consiste à se déplacer, à chaque embranchement, vers la case de plus
petite valeur.
Q.23- Écrire la fonction glouton (M, j) qui reçoit en paramètres une matrice Mde nombres entiers, et un entier
j qui représente l'indice d'une colonne dans M. En utilisant la méthode ‘glouton’, la fonction retourne une liste
qui représente le chemin vertical de plus petit coût dans M, et qui part de la case Mo,j.
Exemple : glouton (M, 2) retourne le chemin [ 2, 2, 3, 3, 2, 2, 2, 1] (son coût est 458)
Q.24- Est-ce que la méthode ‘glouton' permet de trouver le chemin vertical de plus petit coût ?
Justifier votre réponse.
Pour trouver le coût minimal de tous les chemins verticaux, qui partent d'une case Mo, on peut utiliser la
méthode ‘Top-Down'(la mémoisation) de la programmation dynamique.
Q.25- Écrire la fonction cout_min (M, i, j) qui reçoit en paramètres une matrice M de nombres entiers, et deux
entiers 7 et j qui représentent respectivement l'indice d'une ligne et l'indice colonne dans M. En utilisant le
principe de /a mémoisation, la fonction retourne le minimum des coûts de tous les chemins verticaux, qui
partent d'une case ‏ا‎
‎Exemple :
cout_min (M, 0, 2) retourne 320
Dans toute la matrice M, la recherche du chemin vertical de coût minimal est un problème qu'on peut résoudre
en utilisant la méthode ‘Bottom-Up'de la programmation dynamique, dont le principe est le suivant ٠
On commence par créer une matrice 8 de même dimension que M : Chaque élément Rijreprésente le coût
du chemin vertical minimal qui part de la case Mi. Les éléments de 8 sont calculés du bas vers le haut, à
l'aide de l'algorithme suivant :
> Si l'élément Ri; se trouve sur la dernière ligne de R, alors Ai < Mi
> Sinon si l'élément A7 se trouve sur la première colonne de R, alors Rij € Mi, + min (Ris 1j, Ris1,j41)
> Si l'élément R;; se trouve sur la dernière colonne de R, alors Rij > Mi + min (Ris1,j1, Ris 1j)
> Si l'élément 81 ne se trouve ni sur la première colonne, ni sur la dernière colonne de R, alors
Rij > Mi + min (Ris1,j1, Ris1,j, Ristjat)
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Épreuve d'Informatique - Session 2025 - Filière MP
Q.26- Écrire la fonction couts (M) qui reçoit en paramètre une matrice M de nombres entiers. En utilisant
l'algorithme ci-dessus, la fonction retourne la matrice R.
Exemple :
couts (M) retourne la matrice R suivante :
(1625, 383, 320, 420, 270, 485, 291, 617, 658, 799],
(473, 387, 300, 441, 338, 245, 714, 612, 694, 646],
(235, 336, 308, 190, 225, 484, 468, 615, 501, 443],
(346, 139, 179, 178, 318, 431, 492, 516, 386, 460],
(171, 1930, 198, 166, 225, 297, 441, 532, 352, 467],
[ 86, 231, 220, 194, 72 246, 340, 334, 352, 346],
[ 72, 124, 204, 200, 42, 158, 199, 226, 188, 108],
] 32, 197, 191, 143, 33, 113, 72, 187, 173, 36] ]
Q.27- Écrire la fonction chemin_min (M) qui reçoit en paramètre une matrice M de nombres entiers. La
fonction retourne la liste qui représente le chemin vertical de coût minimal dans la matrice M
Exemple :
(1625, 383, 320, 420, 270, 485, 291, 617, 658, 799],
(473, 387, 300, 441, 338, 245, 714, 612, 694, 646],
(235, 336, 308, 190, 225, 484, 468, 615, 501, 443],
(346, 139, 179, #78. 318, 431, 492, 516, 366, 460],
[171, 130, 198, 166, 225, 297, 441, 532, 352, 467],
[ 86, 231, 220, 194, 22, 246, 340, 334, 352, 346],
[ 72, 124, 204, 200, 42, 158, 199, 226, 188, 108],
CLS, 7, 191, 143, 83, 113, 72, 187, 173, 36]]
chemin_min (M) retourne le vecteur [ 4, 5, 4, 3, 3, 4, 4,4]
) son coût est : Mo,a + ١01,5 + M2,4 + M3,3 + Ma,3 + M5,4 + M6,4 + M7,4 = 25+20+47+12+94+30+9+33 = 270)
Q.28- Écrire la fonction supprime _chermin (M, C) qui reçoit en paramètre une matrice M de nombres entiers,
et C un vecteur qui représente un chemin vertical dans M. La fonction supprime dans la matrice M, les
éléments correspondants au chemin ©
Exemple :
Après l'appel de la fonction supprime _chemin (M, [4, 5, 4, 3, 3, 4, 4, 4]), la matrice M devient ainsi :
[(238, 83, 20, 120, 240, 46, 5, 46, 153],
(238, 152, 110, 251, 148, 246, 144, 251, 203],
[ 96, 197, 169, 12, 166, 37, 229, 115, 57],
(216, 9, 49, 152 206, 195, 164, 34, 108],
[ 85, 44, 4, 153, 225, 195, 198, 18, ‏ا‎
‎] 14, 159, 96, 152, 204, 182, 146, 244, 238],
[ 40, 92, 67, 167, 125, 127, 154, 1 72],
[ 32, 137, 191, 143, 113, 72, 187, 1, 36] ]
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B- Réduction d'une image par la méthode ‘Seam Carving”
Une image numérique en niveaux de gris est représentée par une matrice à deux dimensions. Chaque
élément de la matrice est appelé pixel. La valeur de chaque pixel est un entier compris entre 0 et 255, ainsi
l'image est codée sur 256 niveaux de gris :
> Le nombre 0 correspond au noir, et le nombre 255 correspond au blanc ;
> Etchacundes autres nombres 1, 2, 3,.... 253, 254 correspond à un niveau de gris entre le noir et le blanc.
0 : ‏ب‎ —. 4. “SES pi 4 AL 7 ١ ‏الا ا‎ | &
200 FX Ÿ 0 1 ‏اب‎
‎RES. UE
‎300
‎00 4
500
0 100 200 300 400 500 600 | 0
L'image en niveaux de gris ci-dessus, est représentée par la matrice M suivante (533 lignes, 800 colonnes) :
(1129, 139, 77, 100, 127, 78, 86,105, 98, 103, 121, 106, 100, 131, 142, 61, 71, 105, 125, 140, ... ],
] 78, 78, 98, 106, 127, 105, 44, 60, 93, 84,103, 93, 126, 158, 174, 106, 55, 72, 123, 100, … ],
] 60, 66, 125, 129, 142, 136, 57, 51, 58, 74, 70, 96, 91, 150, 152, 145, 80, 91,122, 67, … ],
[ 84, 110, 129, 141, 141, 132, 112, 77,111, 122,127, 81, 66, 78, 129, 173, 182, 137, 135, 90, … ],
] 64, 100, 100, 124, 130, 136, 165, 129, 60, 117, 134, 145, 83, 100, 76, 121, 163, 202, 154, 93, … ],
Pour plus de clarté, dans la suite de cette partie, on utilisera cette image dans les exemples des fonctions.
Le redimensionnement est une transformation applicable à une image numérique qui consiste à en modifier
la taille, que ce soit pour l'agrandir ou pour la rétrécir, comme le ferait un zoom.
Le seam carving, ou recadrage intelligent, est un algorithme de réduction d'image développé par Shai Avidan
et Ariel Shamir en 2007. Cet algorithme réduit une image par la suppression de chemins de pixels dits de
moindre énergie, ce qui permet de moins la déformer.
L'énergie d'un pixel est en général mesurée par son contraste comparé à ses plus proches voisins, mais
d'autres techniques, comme la détection de forme, peuvent être utilisées.
Calcul du gradient de l’image sur chaque pixel :
On définit une matrice G de même dimension que M. Chaque élément G:ï,j correspond à l'intensité du gradient
de l'image sur le pixel Mr, : plus il est grand, plus il y a de forte variation de couleur au niveau de ce pixel.
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Pour calculer les éléments de la matrice des gradients G, on utilise la formule (à droite) correspondante à
chaque élément de G (à gauche) :
RENTREE) NS ‏دوا‎ ١
2. Gi = | Mi, - Mis1,jl + | Mi, - Mia |
‏ناا نه ات اه‎ 2 qu ‏الم سات‎ Mi ‏الا‎
‎10817006 + sara a me
G = 5. Gi, = | Mi - ‏تكلا‎ | + | Mi,jst - Mit |
‏اااتمطا‎ 3 6. Gi, = | ‏ودناة - يتلا‎ | + | Mi,jet - Mij ‏ا‎
‎00000 7 ou: ‏لديا لس د‎
9101158171] 7 ‏سا ا‎
9. Gij = | Mist - Mi! + | Mijst - ‏تا‎ ١
Le numéro de chaque élément Gi,j (à gauche) correspond au numéro de la formule (à droite) permettant de
calculer la valeur de cet élément 6
Q.29- Écrire la fonction gradients (M) qui reçoit en paramètre une matrice M qui représente une image en
niveaux de gris. La fonction retourne la matrice des gradients G correspondante à M.
Pour réduire une image en niveau de gris M, la méthode ‘Seam Carving' consiste à :
a. Construire la matrice des gradients G correspondante à M;
b. Trouver le chemin vertical C de plus petit coût dans la matrice G ;
c. Supprimer le chemin C dans l'image M.
Q.30- Écrire la fonction reduction (M, n) qui reçoit en paramètre une matrice M qui représente une image en
niveaux de gris, et n un entier strictement positif, En utilisant l'algorithme Seam Carving, la fonction supprime
dans l'image M les pixels de n chemins verticaux de plus petits coûts dans la matrice des gradients
correspondante à M.
Exemple :
L'image suivante est obtenue après la suppression de 100 chemins verticaux.
, 7 : 7 à
200 ho ea ‘ 1 =
LA ‏سب‎ 1
400 TC
500
0 100 200 300 400 500 600
ÉTETII 11111111 FIN PATILI 1111111.
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