Modèle de concours d'accès à la filière de qualification des professeurs de l'enseignement secondaire collégial (CRMEF) 2012 — Épreuve : Mathématiques

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التربية والتكوين — دورة يوليوز 2012
المركز الوطني للتقويم والامتحانات
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‎Il est interdit d’utiliser la calculatrice, le téléphone portable, tout matériel‏ | |
‎LE: électronique et toute documentation. ١‏
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‎Exercice 1 : (dpoints)‏
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‎CARS 1. Calculer / 67 .‏
‎Montrer que: (VrEN) 05 I, <——4 s‏ .2 78
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‎OAÙ$| 3. En déduire que (7,).., est convergente et calculer lim 7 :‏
‎CRE 4. Montrer que: (VneN) 1,,+1,= SA‏ |
‎a) Montrer par récurrence que : |‏ | 681 |
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‏ج المباريات من موقع وظيفة إنفو ‎wadifa-info.com‏

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pa ‏الموضوع‎ :
‏المجال : مادة التخصص المدرسة — الرياضيات‎
‏ذ‎ | Exercice 2 : (6 points)
| Soit f la fonction définie sur R par : . | |
| | f(0)=let f(x)=—— sixz0 5
| | ef | a) Montrer que f'est continue sur R | ١
(3.21 1
5 ÿ b) Montrer que f est dérivable en 0 etque f ( 0) ‏جد‎ 7
| 2. Soit g la fonction définie par | : . | ‏م‎
‎g(x) = 2 - xe” -1 /
8 | a) Montrer que pour tout x non nul, g(x) <0 :
| u 5 b) Déterminer le sens de variation de f sur R
8 1 c) Etudier les branches infinies de f. |
| 7 | d) Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormé. : |
| 2 a) Vérifier que f définit une bijection de R sur un intervalle que l’on précisera. | À
| Onnote f7! sa réciproque. | j
1-1 2 | À
| 21 | b) Construire la courbe représentative de f7 ‏أ‎ dans le même repère que celle de f ï
| 9, 1 . ©) Préciser f (1) et construire la tangente au point d’abscisse 1 de la courbe
| | représentative de f”. |
| 4. Pourtout ‏ير‎ >11" , notons (E, ) l'équation : f(x)=n
‎8 1 | a) Montrer que l’équation (E, ) a une unique solution 4, . |
‏ض كفنا‎ b) Trouver la valeur de 4%. |
| ‏ض‎ 1 | c) Déterminer le sens ‏عل‎ variation de 0 Ji et calculer sa limite. ‏ص‎ | à
| | 4 | d) Justifier que : u,—-n en +0. 7 | :
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المجال _ : مادة التخصص المدرسة — الرياضيات | |
ا بببلمسبللللللتسيسسب. 7 و و مجر ل ادم لمم و |
| | |) ‏وي‎ 3: (Spoints) Î
| | On considère les éléments suivants de
| | 1 0 0 0 1]. 0 0 0 1
| | M,(R) :1- 0 1 0: J=l0 0 1l: k=l0 ‏ون‎ 0
| | j (O0 0 1 ) 0 0 0 0 0 0 1
On note E le sous espace vectoriel de M, (R) engendré par 7.7 et K.
Pour toute matrice M de 2 , on note M° = 7 ,etsi M est inversibié ,on note,
| | Pour tout entier naturel ‏م‎ , M*= (M 7 1 , ‏أ‎ on rappelle qu’alors AM est inversible et que
ICO |
| 1 1. Déterminer ja dimension de E .
| 4 | 2. Calculer J2JK,KJ et K2.
| 41 | “3. Soit la matrice L=]+J.
| | a) Montrer que pour tout entier naturel : |
| L'=1+n]+ ‏بلحقاك‎ D x ; |
1 ‏نا‎
‎| L | -. b) Vérifier que Z est inversible et montrer ,pour tout entier relatif ñ : |
| Pense D Le “te
| 1 | «C) Exprimer , pour tout entier relatif ‏م‎ ; L' à l’aide de /,L,1? et n.
| | Exercice 4: (S points)
| | Le plan complexe P est rapporte au repère orthonormé direct 2 1 y) 8 |
‏8ت‎ | a) Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes © l’équation : |
| | 22-42+8 <0 ٍ
| 0 1 b) Ecrire les solutions z, er Z, de cette équation sous forme exponentielle
| . | (z, est la solution dont la partie imaginaire est positive)
Fe: ho eo |
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| © 1 ‏زو‎ Placer dans 5 points 4 et B d’affixes respectives 2 ‏ان‎ z, : "1h
| | 2. On considère l’application f , qui à tout point M ,d’affixe 2 , associe le point M' |
| | d’affixe z' telleque: z'= 1 où z désigne le conjugué de z. |
2 1 | a) Calculer les affixes des points 4' et B'images de AetB par: à ||
| pl b) Placer dans P les points 4' et B'. |
[0 1 | ©) Montrer que pour tout point M distinct deO, les points 0,14 et M'sont alignés et que |
1 | Aa
| | OM.OM'=1. |
| + | a) Montrer que :|2 - 2| - 2 ‏جه‎ ; 2 | =|z . |
| | Soit 0 le cercle de centre J, d’affixe 2 , et de rayon 2. |
| | Soit M un point de C distinct de ©. |
| | 5 | b) Montrer que M' est situé sur une droite 4 que l’on caractérisera . |
| | oùf| c) Placer dansP, Cet d. sas ‏د‎
‎| | Soit 14 un point quelconque du cercle 6 distinct de 0 , AetB. |
| | 2 1 d) Construire M", l’image de M par f. |
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