Modèle de concours d'accès à la filière de qualification des professeurs de l'enseignement secondaire qualifiant (CRMEF) 2012 — Épreuve : Mathématiques

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11 est interdit d’utiliser la calculatrice, le téléphone portable, tout matériel électronique et
toute documentation.
Exercice 1 : (5 points) ‏ل‎
‎00 : ‏ل‎ 8 (0) = 0 ١
1. On considère la fonction @ définie sur R* par :
0.5 PA) =x(1+hnx);x > 0 : |
Montrer que ‏م‎ est continue sur R*.
2. pour tout réel x positif et pour tout entier naturel #7 non nul ,on pose :
Pa = [o,Odt | à.
0.5 a)montrer que pour tout entier naturel ‏م‎ non nul, la fonction p, est définie et continue
sur R°.Donner la valeur de p, (0) . ‏ا‎ :
1 ‏(ط‎ montrer qu'il existe deux suites (a, ‏يلط تل‎ telles que : 0"
(vn e N° ) (Vx eR; ) »9,@x)=x"(a,+b,inx) et que:
‏“العم‎ ha ee RG, LE
7+1 (n+1) 77+41
0.5 3. calculer b, en fonction de ».
: ‏ا الا‎
4. pour tout entier naturel 7 non nul , On pose :u, = SE :
+ 0+1 dt 1 :
025 a) Montrer que : (vr EN k 1 ane |
0.5 b) En déduire que : (vn ‏ع‎ N') u, <l+inn. :
5. Pour tout entier naturel 7 non nul, on pose : =n!a,.
05 a)Montrer que :c, =2-u, :
0.75 b) En déduire que pour tout entier naturel n 22: 2 >14 10277 . ٍْ
025 c)Conclure que : lim a, =0
0.5 d) Montrer que la série de terme général a, est absolument convergente.
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> ‏الموضوع‎
‏المجال : مادة التخصص المدرسة - الرياضيات‎
Exercice 2 : ) 5 points)
Pour tout entier 72 non nul, on note f, la fonction définie par :
VxeR,", f,(x)=x-ninx.
| los | 1. a) Etudier cette fonction et drésser son tabieau de variation.
0 b) En déduire, lorsque n est supérieur ou égale à 3, l'existence de deux réels u » €t ë
V, Solution de l’équation f. (x) = 0 et vérifiant 0 <u SE ‏اا‎ À
0.5 a) Montrer que Vn>3, 1<u ce, , ٍْ
0.5 b) Montrer que j, (4,,,)=In(#,,,), puis en conclure que (u » ) est décroissante. i
0.5 c) En déduire que 0 ‏وو‎ converge et que limu, =1 ‏ا‎
‎0.5 d) Montrer que lim ‏فا‎ - 1 ; en déduire que ‏رين‎ -1- 1
0.25 | 3. j
a) Calculer lim v, î
0.5 b) Calculer f, (#in(r)) puis montrer que Vn>3, ‏حلم‎ (n)<»,. À
Soit g la fonction définie par VxeR', g(x) = ‏.ممما‎ :
0.5 c) Etudier g et donner son signe. En déduire que Vne N', n>2ln(n). 0
0.5 d) En déduire le signe de f,(2nin(n), puis établir que : #1in(n) <v, <2n.in(n)
© Montrer que : In(v,) — In(n)
0.25 #7 neo 5
Exercice 3 : (5 points) | : |
Soit B= 8 €), €; ) la base canonique de l’espace vectoriel R°.
3 1 0 1 0 ٠ 0 0 0 0
On considère les matrices : 4=| 1 6 1| 1-0 1 0:00 © 0
—3 -8 0 0 0 1 0 0 0 | :
| On note 7 l’endomorphisme ‏عل‎ 183 dont la matrice relativement à la base Best À ٠ | :
id l’endomorphisme de 183 dont la matrice relativement à la base B est ‏ل‎ .
h l’endomorphisme défini par :h= f—3id . : 8
N la matrice de 1 endomorphisme 7 relativement à la base B . 0١
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0 0 -1 0
‏ل‎ 1. Vérifierque: N=| 1 3 1| En deduire 77 ‏ل‎ 0:77 - 0 .
: -3 -8 -3
١-١ 0:25-1 b) Montrer que ‏ذو‎ 4 .est valeur propre de N , alors 1-0.
0.25 c) Etablir que 0 est la seule valeur propre de 7 .
0.25 d) En déduire que f admet 3 pour unique valeur propre.
| 0.25 | e) Déterminer une base et la dimension du sous espace propre de f associe à la valeur propre 3.
| 0.5 f) L’endomorphisme est-il diagonalisable ? est-il bijectif ?
| 2. On considère les vecteurs de IR? :
| 4 =(L-11) ; ‏ونه‎ =h(u) : u, = h(u,) .
0257 ١ à Cie 1 et 4 Vérifier que AG4)=(0,0,0) .
0.25| b) Montrer que la famille (4,4, ‏و‎ ) est une base de R° qu’on notera B'.
0.25| C©)Déterminer la matrice N' de relativement à la base B'.
025 d) Montrer que la matrice ‏عل‎ 7 relativement à la base B'est :3/7 +77 |
117:1 |
3) On considère a matrice P=|-1 -1 0 |. | |
1 2 -[ 'ّ |
a) Montrer que ? est inversible et que :
0.25 A=P(3I+N')P*. |
b) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à deux.
0.5 î) Montrer que : 4" =P(31+N')" Pt.
ii) Justifier que (N 1 =, |
0.5 3 "7 ! ' |
En déduire trois réels ‏مه‎ ,b, ‏كء‎ telsque: (37+N ) =a,l+b,N'+c, (N ÿ |
: ii) Montrer que : 4"=a,1+8,N+c N°.
Exercice 4 : (3.5 points) ns
| Le plan complexe est rapporte au repère orthonormé 2 U, v) ’ #
| Soit A le point d’affixe z, = à : 7
F est l‘application qui à tout point A d’affixe z , distinct de À associe le point M' d’affixe
| ‏ا‎ telle que: 222127)2+27 . | | | # j
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‏)أ إلمجال : مادة التخصص المدرسة - الرياضيات اه‎
On appelle 7 et J les points d’affixes respectives :z, =1 et z,=i.
Soit À le milieu du segment [41] à
0.25 | 1. a) Déterminer l’affixe SOLE :
| los b) Déterminer les affixes des images des points Z,J et K par l’application 77
| 0.25 ©) En déduire que F ne conserve pas les milieux .
| ‘ [05 2) Déterminer les points invariants par ‏ل‎
‎1 , 7 i 1 !
3) Montrer que : M'= FM) «| ‏احج‎ 2 z— ‏و ا‎ 2
0.75 4) En déduire l’image par 7 du cercle (C) de centre 4 et de rayon 1.
Exercice 5 : (1.5 points)
0.5 1. Montrer que pourtoutentiee nEeN°,n+1lef 2n+1 sont premiers entre eux.
1 2. En déduire que 7241 divise C?,
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