Modèle de concours d'accès au Master Mathématiques et Applications — FST Settat — Université Hassan Ier 2017 — Épreuve : Mathématiques

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Eh Ve UNIVERSITE HASSAN 1er ‏ل‎
‏م‎ NT Faculté des Sciences et Techniques Settat fi :
18/07/2017 Master Mathématiques et Applications Durée :3h
Concours d'entrée en 1° année du Master Mathématiques et Applications
EPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Les quatres parties doivent être rédigées sur des feuilles séparées.
| Les calculatrices et les téléphones portables ne sont pas autorisés.
‏لور 1 م م م م ل و و ا‎
Exercice 1. (2pis=1pt+1pt}
1. Pour quelles valeurs du nombre réel À définit-on une norme sur R? par NA (x, y) = ‏عدي‎ +21xy + ‏كبر‎
‎2. Comparer les normes N; et Na.
Exercice2. (25pts=1.5pts+1pt) ١
Soit R? muni de la norme f(x, y)il1 = Ixl + ‏«ائر|‎
‎On définit l'application f :R? vers R? par
fn = È sin(x+ y), 1+ È arctan(x— )]
‏وال(‎ 1 y}, 3 pl.
(a) Démontrer qu'il existe une constante k e)0, 1] telle que, quelque soient (x, y} et (x', y’) dans R2,on a:
1fGnD-fG',y)lh sk x») - ‏دلي ع)‎
(b) En déduire que le système
‏يدح ور + )اصع‎
1+ Sarctan(x- y) ‏برح‎
‎admet une unique solution dans ‏رك‎
‎2. Aurait-on pu appliquer la même méthode en utilisant la norme ||... au lieu ‏عة‎ ?
avec {(x, lle = Sup(lxl,1yl)
5 ‏ا تت‎ PART tn A
Exercice3. (2.5 pis =0.5 pt+1 pt+1pt) 8
On considère la fonction
giR—R\{I}
1. Donner le degré et l'expression du polynôme de Lagrange qui interpole la fonction g(x) aux points 0, }
et3. :
2. Trouver les coefficients co, cj et ‏يه‎ tels que pour tout polynôme ‏م‎ de degré inférieur ou égal à 2, on ait
[ p(fdt = cop(0) + c p{1) + c2p(2)
a 3. En utilisant un changement de variable, déduire de la formule précédente les coefficients do, di et do
tels que pour tout polynôme q de degré inférieur ou égal à 2, on ait
| ‏ويه +طافة +طاومة حنهما1‎
PT RS en
Exercice4. (1.5 pts=1 pt+0.5pt)
1. Ecrire un algorithme qui comporte une fonction qui calcule le produit de deux matrices non carrées.
2. Utiliser cette fonction pour calculer D(M,M)=A(M,N)“B(N,P)“C(PM)
GA MA 1/2 ESTS
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: ‏ري‎ UNIVERSITE HASSAN 1er Phi
À f FRS 1
‏ا‎ Faculté des Sciences et Techniques Settat fe |
‏ا د‎ ——_—_—
18/07/2017 Master Mathématiques et Applications Durée : 3h
Exercice5. (25pts)
Ecrire un algorithme qui lit les coordonnées de trois points A, B et C du plan et qui permet de dire si ces trois
points forment un triangle rectangle, isocèle, équilatéral ou autre.
7 ‏م و سمس مسا مم دا‎ PARTIE ‏ا ا‎ 4
Exercice6. (2pis=1 pt+1pt)
Soit £ un entier supérieur ou égal à 2. On défini la suite (w,), pour ne ‏*لذ‎ par:
Un = 1 + 1 +... 4+ 1
RL RES En
1. Montrer que (4) est croissante.
2. Montrer que (4,) est convergente.
Exercice 7. (1.5pts)
SoitaeRet f : {a, +co[— R une fonction dérivable telle que Jim f(x) = 6 61. Montrer que
lim ‏لتك‎ 1:
Exercices. (2.5 pts = 1pt+1.5pt) :
1. Montrer que la relation x* + y? -2x2y- 1 = 0 définit y comme fonction de x au voisinage du point (0, 1).
Calculer alors la dérivée de cette fonction en 0.
2. Former un développement limité à l’ordre 3 au voisinage de 0 de la fonction qui à x associe y.
Exercice 9, (3 pis = 0.5 pt + 1.5 pis +1 pt)
Soit E = {P e C[X] | d°P < n}, l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n (n > N) à cœffi-
cients dans €. Soit É ?
| Î : E—E
[ ‏ب‎ f{P)=(X -a){P'{X) + P'(a)] -2[P(X) - P(a)],
où a € C est fixé.
1. Montrer que f est linéaire. :
2. Déterminer Im f et Ker f. (On pourra utiliser la base B = {er} de E définie par ex = (X — a)#).
3. Trouver les valeurs propres et vecteurs propres de f.
MA 22 ESTS =
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