Modèle de concours d'accès au Master Mathématiques et Applications — FST Settat — Université Hassan Ier 2013 — Épreuve : Mathématiques

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UNIVERSITÉ HASSAN PREMIER -— Le 6 septembre 2013
FACULTÉ DES SCIENCES ET TECHNIQUES
DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES ET INFORMATIQUE - SETTAT
Concours d’entrée en première année du Master
Mathématiques et Applications
Epreuve de Mathématiques
Durée : 3 heures
PATIO ERA RENNT TD EPST PACE TEE AK TETE BEN LAON |
Les deux parties doivent être rédigées sur des feuilles séparées.
Les calculatrices et téléphones portables ne sont pas autorisés.
Exercice 1 { 3.5 pis = 0.5 pt+1.5 pts + 1.5 pts ) Soit E = {P € C[X] | d°P > n}, l’espace
vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n (n € N) à cœæfficients dans €. Soit
f: EE
: Rs : P+-f{P)={X —a)[P'(X) + P'(a)} - 2[P(X) + P(a)},
où a € € est fixé.
1. Montrer que f est linéaire.
2. Déterminer Im f et Ker f. (On pourra utiliser la base B = {e;} de E définie par
ex = (X — ‏.لله‎
3. Trouver les valeurs propres et vecteurs propres de f.
Exercice 2 ( 3 pts = 2 pts+1 pt )
1. Soit f et ‏و‎ deux fonctions numériques définies sur R. On suppose que f et ‏و‎ sont n fois
dérivables en un point ‏و‎ € R. Montrer que la dérivée d'ordre n de la fonction produit
fa, en to est donnée par
: ‏زج = (و) ل"ا(و])‎ CFP (x0)gl" (50),
‏وحن‎
‎où f@){xo) désigne la dérivée d'ordre ‏م‎ de f en ro, et
* ‏ازمر )!م‎
2. Soit & un nombre réel. Calculer la dérivée d'ordre n de la fonction réelle définie par :
; h(x) = ‏كتانق‎ cos(x sin a).
Exercice 3 { 2 pts = 1 pt+1 pt ) Soit A une matrice carrée d'ordre n € N° à cœfficients réels,
b € R*et f la fonction définie sur R° par
f(x) = 52 TAx ‏ان ل‎
Démontrer que f est différentiable et calculer son gradient en tout point ‏ع‎ € R”.
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Exercice 4 ) 3 pis = 0.5 pt+0.5 pt+0.5 170.5 pt+1pt )
1. Quels sont les ensembles ouverts d'une topologie associée À une distance d.
2. Donner un exemple d’un espace topologique dont la topologie ne provient pas d’une
distance non triviale.
3. Donner un exemple d’un espace vectoriel métrisable dont la distance ne provient pas d’une
norme.
4. Donner un exemple d’un ensemble connexe par arc qui n'est par convexe et un autre
ensemble connexe qui n’est pas connexe par arc.
5. Soit (E, |] ||} un espace vectoriel normé. Montrer que tout ensemble compact est fermé et
borné. La réciproque est-elle vraie ?
Exercice 5 { 2.5 pts = 1.5 pts+1 pt } On définit #6 = 0, ti = 1 et to = 3 : f(to) = 1, ft) — 0
1. Utiliser les différences divisées pour déterminer le polynôme d’interpolation de Newton
p(t) de degré inférieur ou égal à 2 tel que : p(4;) = f(t;), à = 0, 1, 2.
2. Donner l’expression de p(t) dans la base de Lagrange. Comparer.
Exercice 6 { 2.5 pts = 1 pt+1 pt+0.5 pt ) Soit une fonction f d’une variable réelle x. On se
propose de calculer numériquement l'intégrale suivante
1. Décrire la méthode des rectangles pour calculer À.
2. Ecrire un algorithme qui permet de calculer À par la méthode des rectangles.
3. Combien d'opérations arithmétiques cela demande t-il ?
Exercice 7 { 3.5 pts = 1.5 pts+1 pt +0.5 pt + 0.5 pt } On note £ l’ensemble des fonctions
lipschitziennes de [0, 1} à valeurs dans R, c’est à dire telles qu'il existe & € R, tel que, pour tout
æ,y € [0,1], [f(x) - fu) > klx — y. On note ‏ل©‎ l'ensemble des fonctions de (0, 1} à valeurs
dans R de classe C!, c'est à dire dérivables À dérivée continue.
1. Montrer que ‏ع‎ est un sous espace vectoriel de l’espace vectoriel des fonctions de [0,1] à
valeurs dans R, que £ contient © et est de dimension infinie.
2. On pose, pour tout f € ‏:ع‎
‎Lf(x) - f(y)l
5 M) = |/)0(| + sup ‏و ا‎
‏إل — 2 بطجع, 0,1[2] > (لا,<)‎
. æ) — f(0)
‏زروي = رود‎ + sup ‏اانا‎ SON
#€]0,1] ‏ها‎
‎= = ‏ب . = . :‘ م‎ | r ٠
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Iflle = sup |f(x)l
2€0,1]
‏الا‎ f(x) - ‏إ()/‎
‏اله هقانا مم +ممطرد مد‎
Gwebes ‏إن - ا‎
(a) Montrer que M, M, || ‏م||‎ et À sont des normes sur £.
(b) En considérant la suite f(x) = sin(27nx), montrer que ‏ولا‎ n'est pas équivalente à
‎(c) Montrer que N, n’est équivalente ni à || ‏يم||‎ ni à AM.
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