Modèle de concours d'accès au Master MOCASIM (modélisation et calcul scientifique) — FST Marrakech — Université Cadi Ayyad 2016-2017 — Épreuve : Mathématiques

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Université Cadi Ayyad
Faculté des Sciences et Techniques
Département de Mathématiques
Epreuve de Mathématiques
Master MOCASIM
Année Universitaire 2016-2017
Durée 2H
Exercice 1 : Topologie
1) Donner les definitions suivantes : Espace topologique séparé , espace topologique
compact, espace de Banach.
2) Ennoncer le théoreme de Bolzano- Weïerstrass.
3) Soit (X,d) un espace metrique et sait F un compact de X.
i) Donner la caractérisation de la compacité de F en terme de suite.
+ ü) Montrer que F est fermé borné.
٠ 15) On suppose que X est compact. Soient (Fier une famille de fermé de X
tels que ‏برعي‎ = Ÿ. Montrer qu'il existe un sous ensemble fini J € I tel que
Der = 0.
4) Soit K un compact d'un espace metrige X et x € X. Montrer qu'il existe y € K
terque-d(r, K)= d(x, y)
5) Soient K et L deux compacts de X, montrer que Æ + L est compact.
6) Soit (X, d) un espace metrique compact. Montrer que X est complet.
7) Soient (X, d) et (Ÿ, D) deux espaces métriques avec X compact. Soit f : X — Y
: une application continue. Montrer que FX) est compact.
Exercice 2 A
1} Ennoncer ‏ما‎ théoreme de la convergence dominée de Lebesgue.
2} Ennoncer le lemme de Fatou.
3} Soit la suite de fonctions (f,), dédinie sur R par f,(t) = (1 + ‏ل و‎
i} Etudier la convergence simple des ‏ل‎
‎8 2 7 8
© ‏زلا‎ On pose (x) = —xIn(1 + r) pour æ > 0. Montrer que $ est croissante et
que lim ÿ (x) = 0 et endéduire que est décroissante.
Dh + ‏من‎
‎ii) Calculer lim 1 fa(Ë) dt
m4 ‏مو_ أل‎
Exercice 3
1(( Soit E un espace vectoriel sur R. On muni E d’un produit scalaire (.,.) et de la
norme associée ||. Montrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz
(tu) < ‏إإساا‎ lvl ; Vu, ‏لك به‎
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IT) Soit Æ l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. Montrer que la forme
bilinéaire symétrique suivante
‏دا‎ : EXE ‏جا‎
‎(PQ) ‏ب‎ <PQ>=/J, P()-Q() dt
définie un produit scalaire sur E.
IT) On suppose pour la suite que E = R | X] l’espace des polynômes de degré inférieur
ou égal à 1 à coefficients réels muni de la base canonique B, = {1,f}.
1) Donner la matrice qui représente la forme bilinéaire symétrique donnée ci-
dessus relativement à La base B..
2) Soit q la forme quadratique associée à la forme bilinéaire symétrique donnée
ci-dessus, Un polynôme P € E s'écrit dans le base B par
Pft}=æ-i+y:t où &,yeR
i) Donner l’expression de g(P) dans la base ‏.ل‎
+ ii) Opérer la réduction de Gauss sur q.
* it) Donner une base orthonormale {Q:,Q2} par rapport à q.
* 3) On muni E de la structure euclidienne associée au produit scalaire > P,.Q >=
L P(t}-Q(t) dt. Orthonormaliser la base {1,4} à l’aide du procédé d'orthonorma-
Hsation de Gram-Schmidt.
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