Modèle de concours d'accès à la Licence fondamentale en sciences de gestion — Groupe ISCAE 2018 — Mathématiques
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En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de Étudiant — Licence fondamentale en sciences de gestion organisé par Groupe ISCAE (2018), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- Groupe ISCAE
- Grade
- Étudiant — Licence fondamentale en sciences de gestion
- Spécialité
- Mathématiques
- Année
- 2018
- Pages
- 6
- Langue des questions
- français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.
sal ll pajlull aol gra
CONCOURS D'ACCES A LA LICENCE |
FONDAMENTALE EN SCIENCES DE GESTION
- Groupe ISCAE -
Année Universitaire : 2018/2019
Epreuve de :
Mathématiques
Lundi 16 juillet 2018
0 INSTRUCTIONS
٠ Veiller à mettre votre Nom /Prénom et N° d'examen sur chaque copie.
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| السب اماع ارا لإا انز
CONCOURS D'ACCES A LA LICENCE |
FONDAMENTALE EN SCIENCES DE GESTION
Groupe ISCAE - -
ANNEE 2018
MATHEMATIQUES
DUREE : 2 heures
Il n’est fait usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout ,{
matériel électronique est interdite.
Seule l’utilisation d’une règle graduée est autorisée. .1
Les téléphones portables sont strictement interdits et doivent être éteints. ,}3
Les réponses aux questions devront être portées sur la grille distribuéc en | .1
complément du sujet.
ne sera admis qu'une seule réponse par question. 11 .5
Le barème suivant sera adopté: .5
Réponse correcte: +2
Réponse fausse: -1
م Pas de réponse:
Il y à 20 questions totalement indépendantes.
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7 Question 1 : Soit (u, LL. la suite définie pour tout entier naturel, par w, = n° -3n° +2n-+4
On a alors :
A) (ün) est une suite arithmétique B) {in} est une suite géométrique C) VneN,u, 4ح
D) VreN,u,., = 2u, -4 E) Les réponses À, رقا C, et D ne sont pas correctes
Question 2 : On considère la suite défimie par u,=i ,u, =-let VneiN u,, = du,, م4 :
Déterminer un réel a tel que la suite de terme général v مه - موتح soit géométrique
A) 4 B) 5 €) 3 D) 2 E) Autre réponse
Question 3 : La hauteur d’une galerie marchande est de 8 mètres . Pour les fêtes de fin d’année , un
décorateur empile des paquels cadeaux de forme cubique .
Le premier paquet a une arête de 2 mètres et chaque nouveau paquet a une arête égale aux
de l’arête du paquet précédent .
Le nombre de paquets que le décorateur peut empiler est alors égal à :
A) 50 B) 0 C} 150 D} 200 FE) Autre réponse
Question 4 :
R=]l+ — +2+ 3 + +90 est égale à :
162
A} 8055 B) تت C)8100 D) E) Autre réponse
Question 5 : Soit Ÿ la fonction définie sur | -1 , 1] par:
دا ات 1 si x #0
fG)=éix x?
0 » x=0 .
lim f (x) est égale à :
A) 0 B) + هه 0 1 D} 3 FE) Autre réponse
Question 6 : Soit / la fonction numérique de la variable réelle x, définie sur R par f(x) = (x+ 1e
7 admet un unique maximum relatif en un point xo de R. On désigne par (@) la courbe représentative de f dans un
| repère orthonormé (O.i, 5 . Pour xelx,;+[ , on désigne par A(x) l'aire comprise entre (&) et l'axe des abscisses,
limitée par les points d'abscisse xo et x.
Em A(x)=.
2 à 10 ١
A} — Bi = Cl D) +2 E) Autre Réponse
[24 8 Ê
e désigne la base du logarithme népérien.
Indication : À défaut d'effectuer des intégrations par parties successives, on pourra chercher une primitive F(x) de {x}
ée la forme F(x) = (ax? + bx + che * où a, رط et cv sont des coefficients à calculer. |
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Question 7 : Calculer lim 1 x + x + vx - x)
Aj+x B)9 00 5 D) = E) Autre réponse
(8? 37 +1
Question 8 : Pour اناما neÏN, on pose x, = ا —2nñ
lim x, esl égale à :
A) : B) 0 C) - à D) +0 Ej Autre réponse
Question 9 : Soit ÿ la fonction définie sur IR par :
ات | ده
JG) x—I | {+1
lim f (x) est égale à :
A) - مده B) 2 000 D) -2 E) Autre réponse
Question 10 : L'intégrale
0 من + م
A) 2 B}) n2+1 C)in2+1-Iinite) 0©( 2-1 E) Autre réponse
Question 11 : Calculer l’imtégrale suivante :
[@+2x Jin Pare
À} 1+2 B) = © ا D) . (ظ Autre réponse
Question 12 : Calculer l'intégrale suivante :
Il t(et-e *)d
4 2 1 £
__ À) 5 B} 2 Ci e°-1 D'4e + . E) Autre réponse
Question 43 : Soit j la fonction numérique de la variable réelle x, définie sur R° par f(x) = 3x° —14x- £ : |
On note M l'ensemble des nombres x de R° pour lesquels / admet en x un minimum relatif.
—2 —2 —2
ض A) Ê 1:21 B) 4 see 0 ل D) {2} E) Autre Réponse
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Dre
Question 14 : La fonction f définie sur R'per f(x) =e so est décroissante sur
A) ]-oo,—-1]U]0,1] Bj]-0c00,-—I1]UT,+oef C)J,+o[ D)[-1,0fUTf.+cof E) Autre Réponse
Question 15 : On rappelle la propriéié suivante :
Si g'est une fonction définie et deux fois dérivable sur Ja,b{ . La condition suivante caractérise un point
d'inflexion en xo de Ja, b{: g''(xo) = 0 et اع change de signe en xo.
Soit f la fonction de la variable réelle x définie par :
: 1+ 11
د<د(«)ر1
Le nombre de points d‘inflexion de la fonction f est égal à :
A) 0 B) 1 002 D} 3 F) Autre réponse
Question 16 : Soit و un nombre réel quelconque. On note À la fonction numérique de la variable réelle x,
définie sur R par f, (x) = (x° + ae“ .
fa est convexe sur R si ct seulement si
A)arû B) a>2 Caz2 D) a <2 E) Autre Réponse
Question 17 : On considère deux réels positifs a et b. Soit f la fonction délimie sur [O, +] par:
fÿ= a+bln(x)
etsoit(£) sa courbe représentative.
On considère les points بخ B et C de coordonnées respectives (1,0), (1,2) et (0.2)
La courbe (&) passe par le point B et la droite (BC) est tangente 2 )© enB.
Les valeurs de a et b sont alors : :
A) fa =0 B) fa=1 5 2 D) a=2 E) Autre ré
+) Autre réponse
\8=2 Ve b=0 b=2 نت
Question 18 : Soit £ la fonction de la variable réelle définie par :
LE FO =Na +1 — 1x6
Onnote (C,) la courbe représentative de f .
Cochez l’expression exacte :
À) (C,) admet une asymptote horizontale d’équation y = 0 au voisinage de -w . |
B) (C,)} admet une asymptote oblique d’équation y = x-1 au voisinage de + .
C) (C,) admet une asymptote horizontale d’équation y = 1 au voisinage de ص .
D) (C,) n’admet pas d'asymptote horizontale au voisinage de + .
E) Les propositions À ,B , C ot D sont fausses .
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Question 19 : Soit le système ( S ( de deux équations à deux inconnues réelles suivantes :
ما بترصا ا ٍ
A+ —)=17 '
)5( 4 Inx Iny ٍ
Lxy = 243 , avec xx yri .:
٠) 5 } admet une solution unique ( 20370
La quantité ) جو - و2 23 ( est alors égalc à :
A) 182 B) 1973 E) 2 D) 25 E) Autre réponse :
Question 20 : Soit l'équation sur R suivante :
CE) : x “يج ٍ
(E } admet deux solutions distinctes , notées respectivement x1 et x2.
Le produit x1x2 est alors égal à : |
A} : B) 4 C} 8 D} 0 E} Autre réponse
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Correction proposée
Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.
Ce modèle est l'épreuve de Mathématiques du concours d'accès à la Licence fondamentale en sciences de gestion du Groupe ISCAE, année 2018 (année universitaire 2018/2019, épreuve du lundi 16 juillet 2018). Durée : 2 heures, sans calculatrice. QCM de 20 questions indépendantes, une seule réponse par question ; barème : +2 si juste, −1 si faux, 0 sans réponse. Voici une correction proposée, avec le raisonnement.
💡 Avec la pénalité de −1, ne répondez au hasard que si vous avez éliminé au moins deux propositions. Et n'ayez pas peur de la réponse E (« autre réponse ») : elle est juste plusieurs fois dans ce sujet.
Récapitulatif
| Q | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Réponse | E | D | E | B | A* | C | C | E | B | C |
| Q | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| Réponse | E | E | B | A | B | C | D | E | A* | B |
* réponses probables, voir les explications.
Question 1 — Réponse E
un = n³ − 3n² + 2n + 4 = n(n − 1)(n − 2) + 4. Donc u0 = u1 = u2 = 4 mais u3 = 6 + 4 = 10.
- A et B : u1 − u0 = 0 mais u3 − u2 = 6 : ni arithmétique ; u1/u0 = 1 mais u3/u2 = 5/2 : ni géométrique.
- C : faux car u3 = 10.
- D : pour n = 2, 2u2 − 4 = 4 ≠ u3 = 10.
Question 2 — Réponse D (α = 2)
vn+1 = un+2 − αun+1 = (4 − α)un+1 − 4un. Pour que vn+1 = q·vn = q·un+1 − qα·un, il faut q = 4 − α et qα = 4, soit α(4 − α) = 4, c'est-à-dire α² − 4α + 4 = 0, (α − 2)² = 0 : α = 2 (et la raison vaut q = 2).
Question 3 — Réponse E
Les arêtes forment une suite géométrique de premier terme 2 et de raison 3/4. La hauteur de n paquets empilés est :
Hn = 2 × (1 − (3/4)n) / (1 − 3/4) = 8(1 − (3/4)n) < 8 pour tout n.
La pile ne touche jamais le plafond de 8 m : en théorie on peut empiler autant de paquets qu'on veut (une infinité). Aucun des nombres 50, 100, 150, 200 n'est « le » nombre maximal.
Question 4 — Réponse B (16289/2)
R = 1 + 3/2 + 2 + 5/2 + … + 90 est la somme d'une suite arithmétique de raison 1/2, de 1 à 90. Nombre de termes : (90 − 1)/(1/2) + 1 = 179. Donc R = 179 × (1 + 90)/2 = 179 × 91/2 = 16289/2.
Question 5 — Réponse probable A (0)
Pour x ≠ 0 dans [−1, 1] : √(1/x² − 1) = √(1 − x²)/|x|.
- Pour x > 0 : f(x) = (1 − √(1 − x²))/x = x/(1 + √(1 − x²)) → 0 quand x → 0+.
- Pour x < 0 : f(x) = (1 + √(1 − x²))/x → −∞ quand x → 0−.
Rigoureusement, la limite bilatérale en 0 n'existe pas ; la réponse attendue par le concepteur est très probablement la limite à droite, 0 (cohérente avec f(0) = 0). Un candidat prudent pouvait aussi défendre E.
Question 6 — Réponse C (10/e)
f'(x) = e−x[2(x + 1) − (x + 1)²] = e−x(x + 1)(1 − x) : f' passe de + à − en x = 1, donc x0 = 1 (en x = −1 c'est un minimum).
Primitive de la forme F(x) = (ax² + bx + c)e−x : F'(x) = [−ax² + (2a − b)x + (b − c)]e−x = (x² + 2x + 1)e−x donne a = −1, b = −4, c = −5 : F(x) = −(x² + 4x + 5)e−x.
Comme f ≥ 0, A(x) = F(x) − F(1) = F(x) + 10/e. Quand x → +∞ (x décrit ]x0 ; +∞[), F(x) → 0, donc lim A(x) = 10/e.
Question 7 — Réponse C (1/2)
Par la quantité conjuguée : √(x + √(x + √x)) − √x = √(x + √x) / (√(x + √(x + √x)) + √x). En divisant numérateur et dénominateur par √x : √(1 + 1/√x) / (√(1 + √(x + √x)/x) + 1) → 1/(1 + 1) = 1/2.
Question 8 — Réponse E (−3/8)
un = √(4n² − 3n/2 + 1/2) − 2n = (−3n/2 + 1/2) / (√(4n² − 3n/2 + 1/2) + 2n). En divisant par n : (−3/2 + 1/(2n)) / (√(4 − 3/(2n) + 1/(2n²)) + 2) → (−3/2)/4 = −3/8, qui ne figure pas parmi A à D.
Question 9 — Réponse B (1/2)
Soit G(x) = ∫1x t/(t + 1) dt ; G(1) = 0 et G'(x) = x/(x + 1). Alors f(x) = (G(x) − G(1))/(x − 1) → G'(1) = 1/2 (taux d'accroissement).
Question 10 — Réponse C
Le numérateur est la dérivée du dénominateur : ∫01 ex/(ex + e) dx = [ln(ex + e)]01 = ln(2e) − ln(1 + e) = ln 2 + 1 − ln(1 + e).
Question 11 — Réponse E
Intégration par parties avec u = ln(1 + 1/x) = ln(x + 1) − ln x, u' = −1/(x(x + 1)), et v' = 1 + 2x, v = x(x + 1) :
I = [x(x + 1) ln((x + 1)/x)]12 + ∫12 1 dx = 6 ln(3/2) − 2 ln 2 + 1 = 1 + 6 ln 3 − 8 ln 2 ≈ 2,05.
Aucune des valeurs proposées (1 + ln 2 ≈ 1,69 ; ln5/2 ≈ 0,80 ; 2e − 1 ≈ 4,44 ; 4/3) ne convient.
Question 12 — Réponse E
∫01 t e−kt dt = [−(t/k + 1/k²)e−kt]01 = 1/k² − (1/k + 1/k²)e−k.
- k = 1 : 1 − 2/e.
- k = 2 : 1/4 − (3/4)e−2.
Différence : 1 − 2/e − 1/4 + 3/(4e²) = 3/4 − 2/e + 3/(4e²) ≈ 0,116, qui n'est aucune des réponses A à D.
Question 13 — Réponse B
f'(x) = 6x − 14 + 8/x² = (6x³ − 14x² + 8)/x² = 2(x − 1)(3x + 2)(x − 2)/x².
Signe : négatif sur ]−∞ ; −2/3[, positif sur ]−2/3 ; 0[ et ]0 ; 1[, négatif sur ]1 ; 2[, positif sur ]2 ; +∞[. f' passe de − à + en −2/3 et en 2 (minima) ; de + à − en 1 (maximum). Donc M = {−2/3 ; 2}.
Question 14 — Réponse A
f(x) = exp(1 − 1/(ln²|x| + 1)). L'exponentielle et h(u) = 1 − 1/(u + 1) sont croissantes, donc f varie comme ln²|x|. f est paire.
- Sur ]0 ; 1] : ln x croît de −∞ à 0, donc ln² x décroît : f décroissante.
- Sur [1 ; +∞[ : ln² x croît : f croissante.
- Par parité : f décroissante sur ]−∞ ; −1] et croissante sur [−1 ; 0[.
f est décroissante sur ]−∞ ; −1] et sur ]0 ; 1].
Question 15 — Réponse B (1 point)
Sur ]0 ; +∞[ : f'(x) = −ln x / x², f''(x) = (2 ln x − 1)/x³. f'' s'annule seulement en x = √e et y change de signe : un seul point d'inflexion, d'abscisse √e.
Question 16 — Réponse C (a ≥ 2)
fa'(x) = (−x² + 2x − a)e−x ; fa''(x) = (x² − 4x + 2 + a)e−x. fa est convexe sur ℝ si et seulement si x² − 4x + 2 + a ≥ 0 pour tout x, soit Δ = 16 − 4(2 + a) ≤ 0, c'est-à-dire a ≥ 2.
Question 17 — Réponse D (a = 2, b = 2)
B(1 ; 2) ∈ (C) : f(1) = a = 2. La droite (BC) joint (1 ; 2) et (0 ; 2) : elle est horizontale, de pente 0, donc f'(1) = 0. Or f'(x) = (b − a − b ln x)/x², d'où f'(1) = b − a = 0 et b = 2. (f n'est en fait définie que sur ]0 ; +∞[ à cause de ln x.)
Question 18 — Réponse E
f est définie sur [6 ; +∞[. Par la quantité conjuguée : f(x) = 7/(√(x + 1) + √(x − 6)) → 0 quand x → +∞. La courbe admet donc l'asymptote horizontale y = 0 au voisinage de +∞.
- A : faux, f n'est pas définie au voisinage de −∞.
- B et C : faux, la limite est 0.
- D : faux, il y a bien une asymptote horizontale en +∞.
Question 19 — Réponse probable A (182)
Posons t = ln y / ln x ; comme x > y > 1, 0 < t < 1. L'équation devient 4(t + 1/t) = 17, soit 4t² − 17t + 4 = 0, de racines 4 et 1/4 : t = 1/4, donc y = x1/4.
xy = x5/4 = 243 = 35 donne x = 34 = 81 et y = 3.
Le signe avant 23 est mal imprimé sur le sujet. Avec « + » : 2 × 81 − 3 + 23 = 182 (réponse A) ; avec « − » on obtiendrait 136 (réponse E). La valeur 182, présente parmi les choix, indique que l'énoncé est 2x0 − y0 + 23.
Question 20 — Réponse B (4)
Pour x > 0 : x√x = (√x)x ⇔ √x ln x = (x/2) ln x ⇔ ln x (√x − x/2) = 0.
- ln x = 0 : x1 = 1 ;
- √x = x/2 ⇔ √x(2 − √x) = 0 ⇔ x = 4 (x = 0 est exclu, car x√x s'écrit e√x ln x).
Produit : x1x2 = 1 × 4 = 4.
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