Modèle de concours d'accès à l'École Nationale des Sciences Appliquées de Marrakech (ENSA Marrakech) 2005 — Épreuve : Mathématiques

Ce modèle est l'épreuve de Mathématiques du concours d'entrée en 1^re année du cycle d'ingénieur de l'ENSA de Marrakech (Université Cadi Ayyad), session du vendredi 15 juillet 2005. Durée : 3 heures, documents non autorisés. Algèbre : théorème de Perron-Frobenius pour les matrices positives ; Analyse : développement de 1/√(1 − x) et un théorème taubérien (Σa_k ~ 2√n). Voici une correction proposée.

💡 Notations : A ≥ 0 (resp. A > 0) signifie que tous les coefficients sont positifs (resp. strictement positifs) ; ρ(A) est le rayon spectral.

1. Algèbre

Hypothèse (questions 1 et 2) : r = ρ(A) est l'unique valeur propre de module r, Ker(rI_n − A) = ℂv, et il existe un unique w > 0 avec w^TA = rw^T et w^Tv = 1.

Préliminaire utile : on peut prendre v ≥ 0. Notons |v| le vecteur des modules. A ≥ 0 donne A|v| ≥ |Av| = r|v|, donc A|v| − r|v| ≥ 0 ; or w^T(A|v| − r|v|) = rw^T|v| − rw^T|v| = 0 avec w > 0, d'où A|v| = r|v|. Ainsi |v| ∈ ℂv : v = c|v|, et w^Tv = c·w^T|v| = 1 avec w^T|v| > 0 force c > 0. Donc v ≥ 0.

1. i. rg(rI − A^T) = rg(rI − A) = n − 1, donc le sous-espace propre à gauche est aussi une droite. Si l'on remplace v par v′ = αv, le vecteur w′ associé vérifie w′ = βw et w′^Tv′ = αβ = 1, donc β = 1/α et v′w′^T = αv·(1/α)w^T = vw^T : L ne dépend pas du choix de v.

1. ii. Lx = (w^Tx)v, donc Im L = ℂv (L ≠ 0 car Lv = v) : rang 1. Les coefficients de L sont v_iw_j avec w_j > 0 et v_i ≥ 0 : L ≥ 0, et L > 0 dès que v > 0. C'est le cas lorsque A > 0 : Av est alors > 0 (v ≥ 0, v ≠ 0), et v = Av/r > 0.

💡 À signaler sur la copie : sous la seule hypothèse écrite, v n'est pas forcément strictement positif. Exemple A = (2 1 ; 0 1) : r = 2, v = (1, 0), w = (1, 1) > 0, et L = (1 1 ; 0 0) n'est pas > 0 (et A^k n'est jamais > 0). Il faut donc lire l'hypothèse avec v > 0 (cadre de Perron, vrai pour A > 0), ce que la suite utilise.

1. iii. L² = v(w^Tv)w^T = vw^T = L : L est un projecteur. Im L = ℂv et Ker L = {x : w^Tx = 0} = H. C'est donc la projection sur ℂv parallèlement à H (et ℂⁿ = ℂv ⊕ H).

2. i. Si w^Tx = 0, alors w^T(Ax) = rw^Tx = 0 : H est stable par A. Si x ∈ H, x ≠ 0, Ax = μx, alors μ est valeur propre de A, donc |μ| ≤ r. Si |μ| = r, l'hypothèse impose μ = r, donc x = cv, et 0 = w^Tx = c : contradiction. Donc |μ| < r.

2. ii. Dans la base ℬ = (v, h₂, …, h_n), où (h_i) est une base de H : Av = rv et A(H) ⊂ H, d'où la forme A′ = (r 0 ; 0 M), M matrice de la restriction de A à H. Toute valeur propre de M possède un vecteur propre dans H, donc est de module < r par 2.i : ρ(M) < r. Enfin P_A(X) = (X − r)P_M(X) et P_M(r) ≠ 0 : r est racine simple.

2. iii. (A′/r)^k = diag(1, (M/r)^k) et ρ(M/r) < 1, donc (M/r)^k → 0. L′ = diag(1, 0, …, 0) : dans ℬ, c'est la projection sur ℂv parallèlement à H, c'est-à-dire l'endomorphisme L.

2. iv. Avec P la matrice de passage, (A/r)^k = P(A′/r)^kP⁻¹ → PL′P⁻¹, matrice dans la base canonique de la projection sur ℂv parallèlement à H, soit L = lim (A/r)^k. Comme L > 0, chacun des n² coefficients de (A/r)^k converge vers une limite > 0, donc est > 0 à partir d'un rang ; en prenant le plus grand de ces rangs, il existe k₀ tel que A^k > 0 pour k ≥ k₀ (r > 0).

3. i. Si 0 ≤ A ≤ B, par récurrence 0 ≤ A^k ≤ B^k (A^k+1 = A^kA ≤ B^kA ≤ B^kB, tous les termes étant positifs), donc ‖A^k‖_∞ ≤ ‖B^k‖_∞ (sommes de lignes de coefficients positifs), et par la formule rappelée ρ(A) ≤ ρ(B). Pour 0 < ε < ε′ : A ≤ A(ε) ≤ A(ε′), d'où ρ(A) ≤ f(ε) ≤ f(ε′). f est croissante et minorée par ρ(A) : sa limite l en 0⁺ existe et l ≥ ρ(A).

3. ii. A(ε) > 0 vérifie la condition (admis) : f(ε) = ρ(A(ε)) est valeur propre et le sous-espace propre est une droite ℂv(ε), avec v(ε) > 0 (préliminaire et 1.ii). Le vecteur x(ε) = v(ε)/Σ_iv_i(ε) appartient à K. Tout vecteur propre de K est cv(ε) avec Σcv_i = 1, donc c est imposé : x(ε) est unique.

3. iii. K est fermé borné de ℝⁿ, donc compact. Pour ε_m → 0⁺, on extrait de x(ε_m) une sous-suite convergeant vers x ∈ K. En passant à la limite dans A(ε_m)x(ε_m) = f(ε_m)x(ε_m) : Ax = lx, avec x ≠ 0 (Σx_i = 1). l est donc valeur propre de A, d'où l ≤ ρ(A) ; avec 3.i, l = ρ(A) : le rayon spectral d'une matrice positive est valeur propre, associée à un vecteur propre positif.

2. Analyse

Partie I — φ(x) = 1/√(1 − x)

1. Récurrence. n = 0 : évident. Si φ⁽ⁿ⁾(x) = (2n)!/(4ⁿn!) (1 − x)^−(2n+1)/2, alors φ⁽ⁿ⁺¹⁾(x) = (2n)!/(4ⁿn!) · (2n + 1)/2 · (1 − x)^−(2n+3)/2, et

(2n)!(2n + 1)/(2·4ⁿn!) = (2n)!(2n + 1)(2n + 2)/(4ⁿn!·4(n + 1)) = (2n + 2)!/(4ⁿ⁺¹(n + 1)!). ✔

2. Formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre n en 0 (φ de classe C^∞ sur [0, 1[), avec φ^(k)(0)/k! = (2k)!/(4^kk!k!) = C_2k^k/4^k.

3. a. C_2n+2ⁿ⁺¹ ≤ Σ_j=0²ⁿ⁺² C_2n+2^j = 2²ⁿ⁺² = 4ⁿ⁺¹.

3. b. x − t ≥ 0 et 1 − t > 0 donnent la positivité ; et (x − t)/(1 − t) ≤ x ⇔ x − t ≤ x − xt ⇔ t(1 − x) ≥ 0, vrai.

3. c. Avec (2n + 2)!/(n!(n + 1)!) = (n + 1)C_2n+2ⁿ⁺¹, le reste s'écrit

R_n(x) = (n + 1) C_2n+2ⁿ⁺¹/4ⁿ⁺¹ · ∫₀^x [(x − t)/(1 − t)]ⁿ (1 − t)^−3/2 dt.

Par a. et b. : 0 ≤ R_n(x) ≤ (n + 1)xⁿ ∫₀^x(1 − t)^−3/2 dt = 2(n + 1)xⁿ[(1 − x)^−1/2 − 1] → 0, car (n + 1)xⁿ → 0 pour 0 ≤ x < 1.

4. On fait n → +∞ dans l'égalité de 2 : 1/√(1 − x) = Σ_k≥0 C_2k^kx^k/4^k sur [0, 1[.

Partie II — lim √(1 − x) f(x) = √π

1. a. Σa_kx^(p+1)k = f(x^p+1), et

√(1 − x) f(x^p+1) = √[(1 − x)/(1 − x^p+1)] · √(1 − x^p+1) f(x^p+1).

Quand x → 1⁻, y = x^p+1 → 1⁻ donc le second facteur → √π, et (1 − x^p+1)/(1 − x) = 1 + x + … + x^p → p + 1. Limite : √(π/(p + 1)).

1. b. L'intégrande est continue et positive sur ]0, +∞[, équivalente à 1/√t en 0 (intégrable) et majorée par e^−(p+1)t pour t ≥ 1 : l'intégrale converge. Le changement de variable à utiliser est u = √(2(p + 1)t) (l'énoncé a omis le t) : t = u²/(2(p + 1)), dt = u du/(p + 1), √t = u/√(2(p + 1)), e^−(p+1)t = e^−u²/2. Alors

∫₀^+∞ e^−(p+1)t/√t dt = √2/√(p + 1) · ∫₀^+∞ e^−u²/2 du = √2/√(p + 1) · √(2π)/2 = √(π/(p + 1)).

1. c. Les deux membres valent √(π/(p + 1)) d'après a. et b.

2. Écrivons Q(X) = Σ_p=0^d c_pX^p. Alors Σ_k a_kx^kQ(x^k) = Σ_p c_p Σ_k a_kx^(p+1)k (combinaison linéaire finie de séries convergentes). Par 1.c et linéarité de la limite et de l'intégrale :

lim √(1 − x) Σ a_kx^kQ(x^k) = Σ_p c_p ∫ e^−t(e^−t)^p/√t dt = ∫₀^+∞ e^−tQ(e^−t)/√t dt.

3. a. e^−t ≥ 1/e ⇔ t ≤ 1 : h(e^−t) = e^t sur [0, 1] et 0 sur ]1, +∞[. L'intégrale vaut donc ∫₀¹ e^−te^t/√t dt = ∫₀¹ dt/√t, convergente (Riemann, 1/2 < 1), et égale à 2.

3. b. Pour x ∈ [0, 1[, x^k → 0, donc x^k < 1/e et h(x^k) = 0 pour k assez grand : la série n'a qu'un nombre fini de termes non nuls, elle converge.

4. Pour x_n = e^−1/n : x_n^k = e^−k/n ≥ 1/e ⇔ k ≤ n. Donc a_kx_n^kh(x_n^k) = a_k si k ≤ n et 0 sinon : Σ_k a_kx_n^kh(x_n^k) = S_n = Σ_k=0ⁿ a_k. Comme x_n → 1⁻, le résultat admis et 3.a donnent √(1 − e^−1/n) S_n → 2. Or 1 − e^−1/n ~ 1/n, donc √(1 − e^−1/n) ~ 1/√n, et finalement S_n/√n → 2 : Σ_k=0ⁿ a_k ~ 2√n.

💡 Exemple de contrôle : a_k = √π C_2k^k/4^k vérifie l'hypothèse (Partie I), et l'on retrouve le résultat classique C_2k^k/4^k ~ 1/√(πk), dont les sommes partielles valent ~ 2√(n/π).