Modèle de concours d'accès à l'École Nationale des Sciences Appliquées d'Oujda (ENSAO) 2011 — Épreuve : Mathématiques

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Concours d'entrée en première année
Cycle ingénieur de l'ENSAO
Epreuve de Mathématiques
Mercredi 27 juillet 2011 - Durée 2 heures
Les calculatrices sont strictement interdites
Con
Le développement limité de la fonction x + ‏مح‎ à l'ordre 2 au voisinage de 0 s'écrit, €
désignant une fonction telle que lime(x) = 0
A) 1 FR. CRT B 1 * ‏د‎ Dur
( SE - 4 TD X*E(x) (B) 5 278% ‏ا‎
‎x x” 2 1 x 2
0 -- + ‏د‎ + Ex D} à - - +46
0 2 8 (x) (D) 2.4 (x)
Question 2
La fraction rationnelle +101) se décompose en éléments simples sous la forme
(A) 2 ٍ (B) 2 ِ
X+1 (X+1)2 X2+1 (X+1)2 X2+1
3 1 2 1 3 2
X+1 (X+1)7 | 1241 X+1 (X+1)2 X2+1
Question 3
Soit la fonction f définie sur R par f(x) = XF ‘
0 si x = +1
(A) fest continue sur R (B) fest continue à droite en 1
(©) fest dérivable à droiteen 1 (D) fest dérivable à gauche en 1
Question 4
1 1 0
On considère la matrice suivante : À — 0 1 1
1 0 -1
(A) Les lignes de À sont linéairement indépendantes.
(B) La matrice À admet —1 pour valeur propre.
(©) Le vecteur | 1 | est un vecteur propre de À.
(D) La matrice À admet trois valeurs propres distinctes.
Question 5
La somme de la série numérique A — vaut
n=0 3
A 3 3 . 3 3
(A) 1 (B) 1 (C) 5 D) - 5
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Question 6
On considère l'équation différentielle (E) : 4y”(t) — 5y'(t) + y(t) = 0.
Si l'on désigne par À et u deux constantes réelles, alors la solution générale de l'équation (E)
s'écrit sous la forme
(A) (EF) Àeï + ue?! (B) y(t) = 16703 + ue
(C)_ y(t) = Aeï + ue! (D) ‏إن‎ = Ae it + ue!
Question 7
5 ‏ا‎ 1 dx
Pour tout n 6 N, on pose l'intégrale 1, = / ———— 7.
Jo (x2+1)
‏,را‎ et 1521 sont liées par la relation de récurrence suivante :
2n — 1. 1 2n +1 1
(A) li es On In T n2n+1 (B) ‏جر‎ — 7 la LE on
1 1 11 1
)© hab D ‏1ك يبول‎
Question 8
LE ‏ب‎ dx dy & L'an 2 2
L'intégrale double I = / / Tic où D = { (x, y) ER°/y < 0 etx*+y 1 } , vaut
7 In2 , 7272
(A) ES (B) xin2 (C) ‏ل‎ in2 EE ‏مح‎
‎Question 9
Soit le nombre complexe z = ——.
v3—1
(A) La forme algébrique de z est z = 1 —i.
(B) L'argument de z est Arg(z) = 7 (modulo2x).
© Id ‏.72ح‎
‏ع الا‎
(D) || = FR
Question 10
L'espace R° est rapporté à sa base canonique B, soit f l'endomorphisme de R° qui à tout
triplet (x, y,z) de réels associe le triplet (x + 3z, 0, y" 22),
La matrice À de f s'écrit dans la base canonique B:
F 0 0 3 1 0 0١
(A) À 0 1 2 (B) A 0 0 1 |
] 0 0 3 0 -2
1 0 3 0 1 -2
(©) A 0 0 0 (D) A 0 0 0
0 1 2, ] © 3
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Question 11
‏م‎ 2 33 7+1 ,
Le rayon de convergence de la série entière » te + "est
(A) R=1 (B) R=0 (© R= +00 (D) R==
Question 2
On considère dans l’ensemble des nombres complexes l’équation z+ 2/7 = 7+1
Cette équation admet :
(A) deux solutions distinctes qui ont pour partie imaginaire 1.
(B) une solution réelle.
(C) deux solutions dont une seule a pour partie imaginaire 1.
(D) une solution qui a pour partie imaginaire 2.
Question 13
Ans 1 : ee cos x x 1 9
La limite en 0 de la fonction ‏هي كك‎ «est égale à
(A) 0 (B) ‘+ (©) 1 D) >
Question 14
Soit la fonction f de R? dans R définie par f(x, y) ‏ح‎ x? + y° + 3xy. Parmi les affirmations
suivantes laquelle est juste ?
(A) Sile gradient de f s'annule en (a,b) alors a = b = 1.
(B) Le point A(0,0) est un minimum local de f.
(C) Le point B(—1,-—1) est un maximum local de f.
(D) (1,1) est un point selle de f.
Question 15
Parmi les intégrales généralisées suivantes, une seule est convergente. Laquelle ?
+00 Gt je 539 7
a | = © | xsin(=)dr
J1 1 + J1 2
FFT FE.
© | ‏مي‎ © | (?-1)4x
J1 x" J1
Question 16
Soit f la fonction définie par f(x) Fe et soit D son domaine de définition.
: +Inx
(A) D =, +x (B)_ feststrictement croissante sur 1, +!
1 : 1 - 111 :
(€) Vre D; f(x ‏نكيت‎ D) limf(x) = +o
(1+Inx)° +0
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‎Question 17‏
‎Soit l'équation différentielle du premier ordre (E) : y(t) = ——y{t) + 1. Alors‏
‎(A) yet) = P(1+e7l/t) est solution de (E) sur R.‏
‎(B)_y(t) = #?(1—el/*) est solution de (E) sur j0, +oo!.‏
‎(C)_y(t) = F(1—e!/t) est solution de l'équation homogène associée à (E).‏
‎(D) y(t) = 2 el/t(1+e”l/t) est solution de (E) sur 0, +oo.‏
‎Parmi les séries numériques suivantes, une seule est convergente. Laquelle ?‏
‎u, = In ( 1 + —‏ (8) 1 +1 | = ري ‎(A)‏
2 -) يس مر =
كد , ‎uy = Vr+1-—n “D):‏ )©(
‎(n +1)!‏ ل
‎Question 19‏
‎Soit f la fonction 27-périodique, définie sur R par :‏
‎f(x) = DE si 0<-X<27‏
‎f(0) = f(2x) = 0‏
‎Tr O0‏
‎(a, cos nx + b,;sinnx) son développement en série de Fourier.‏ + وى — ‎On note S(x)‏
‎Alors‏
‎(A) a = — (B) Vne N°”, b, = —‏
7 ىك ا 1 :
— رز = ‎(D) VxER, S(x)‏ من = ‎a‏ , !61 7 ©)
‎n=1 8‏
‎Question 20‏
‎Parmi ces affirmations laquelle est juste ?‏
‎(A) Le degré de la somme de deux polynômes est le plus grand des deux degrés.‏
‎(B) Si un polynôme est divisible par deux polynômes alors il est divisible par leur produit.‏
‎Le degré du produit de deux polynômes est la somme des deux degrés.‏ )©(
‎possède x racines distinctes.‏ عا ‎(D) Tout polynôme de degré n de‏
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