Modèle de concours d'accès à l'École Normale Supérieure de l'Enseignement Technique de Mohammedia (ENSET) 2003 — Épreuve : Mathématiques (cycle de préparation à l'agrégation d'économie et gestion)

Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours d'admission 2003 au Cycle de préparation à l'agrégation d'Économie et Gestion de l'École Normale Supérieure de l'Enseignement Technique (ENSET) de Mohammedia. Durée : 4 heures, aucun document autorisé. Trois parties : algèbre (exponentielle d'une matrice), analyse (étude de fonction et suite récurrente), probabilités (probabilités totales, loi binomiale, densités et produit de convolution). Voici une correction proposée, question par question.

💡 Rédaction : l'énoncé précise que la clarté des raisonnements compte pour une part importante. Pour chaque récurrence ou passage à la limite, citez explicitement l'argument (continuité, monotonie, théorème des suites monotones bornées).

Algèbre

Q1. Produit par blocs :

A(x)·A(y) = | a^x·a^y  0   0     |   | a^(x+y)  0   0    |
            | 0        1   y + x | = | 0        1   x+y  | = A(x + y)
            | 0        0   1     |   | 0        0   1    |

Comme A(0) = I₃ (a⁰ = 1), on a A(x)·A(−x) = A(−x)·A(x) = A(0) = I₃ : A(x) est inversible et A(x)⁻¹ = A(−x).

Q2. Par récurrence avec Q1 : A(x)ⁿ⁺¹ = A(nx)·A(x) = A((n+1)x), et A(x)⁰ = I₃ = A(0). Donc A(x)ⁿ = A(nx) : termes a^nx = (a^x)ⁿ, 1, nx, 1 (les autres nuls).

Q3. S_n(x) = Σ_k=0..n A(kx)/k! a pour termes non nuls :

• position (1,1) : Σ (a^x)^k/k! → e^ax ;
• positions (2,2) et (3,3) : Σ 1/k! → e ;
• position (2,3) : Σ kx/k! = x·Σ_k=1..n 1/(k−1)! → x·e.

Chaque terme converge, donc S_n(x) converge vers la matrice exp(A(x)) annoncée.

Inverse par pivot de Gauss. exp(A(x)) est triangulaire supérieure de diagonale e^ax, e, e, tous non nuls : det = e^ax·e² ≠ 0, elle est inversible. On part de [exp(A(x)) | I₃] :

• L₂ ← L₂ − x·L₃ : ligne 2 devient (0, e, 0 | 0, 1, −x) ;
• L₁ ← L₁/e^ax, L₂ ← L₂/e, L₃ ← L₃/e.

(exp(A(x)))^(-1) = | e^(-a^x)   0      0      |
                   | 0          1/e   -x/e    |
                   | 0          0      1/e    |

Vérification : la ligne 2 fois la colonne 3 donne e·(−x/e) + x·e·(1/e) = 0.

Analyse : f(x) = x − ¼(x + 1)e^−x

Q4-a) [(x + 1)e^−x]' = e^−x − (x + 1)e^−x = −x·e^−x, donc

• f'(x) = 1 + (x/4)·e^−x ;
• f''(x) = ¼(1 − x)·e^−x.

f'' > 0 sur ]−∞, 1[ et f'' < 0 sur ]1, +∞[ : f' est strictement croissante sur ]−∞, 1], strictement décroissante sur [1, +∞[, de maximum f'(1) = 1 + 1/(4e). Limites : en −∞, x·e^−x → −∞ donc f' → −∞ ; en +∞, x·e^−x → 0 donc f' → 1.

Sur [1, +∞[, f'(x) > 1 > 0 : pas de zéro. Sur ]−∞, 1], f' est continue, strictement croissante, de −∞ à 1 + 1/(4e) > 0 : par le théorème de la bijection, f'(x) = 0 a une unique solution α.
f'(−1,3) = 1 − 0,325·e^1,3 ≈ 1 − 1,193 = −0,19 < 0 et f'(−1,2) = 1 − 0,3·e^1,2 ≈ 1 − 0,996 = 0,004 > 0, donc −1,3 < α < −1,2 (α ≈ −1,202).

Q4-b) f' < 0 sur ]−∞, α[ et f' > 0 sur ]α, +∞[ : f est décroissante sur ]−∞, α], croissante sur [α, +∞[, avec un minimum f(α) ≈ −1,03.

Q5-a)

• En +∞ : (x + 1)e^−x → 0, donc f(x) → +∞ et f(x) − x = −¼(x + 1)e^−x → 0 : la droite y = x est asymptote oblique. Pour x > −1, f(x) − x < 0 : C est sous l'asymptote ; pour x < −1, au-dessus ; elles se coupent au point (−1, −1).
• En −∞ : x + 1 → −∞ et e^−x → +∞, donc −¼(x + 1)e^−x → +∞ et f(x) → +∞. f(x)/x = 1 − ¼(1 + 1/x)e^−x → −∞ : branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.

Q5-b) Points utiles pour le tracé : minimum (α ≈ −1,2 ; f(α) ≈ −1,03) ; f(−1) = −1 (point commun avec l'asymptote) ; f(0) = −0,25 avec tangente de pente f'(0) = 1 ; C coupe l'axe des abscisses vers x ≈ 0,24 ; point d'inflexion en x = 1 (f'' change de signe), f(1) = 1 − 1/(2e) ≈ 0,82. La courbe remonte très vite vers +∞ à gauche et rejoint y = x par en dessous à droite.

Q6. Encadrement (par récurrence) : −1 < u₀ < 0. Comme α < −1, f est strictement croissante sur [−1, 0] ; si −1 < u_n < 0, alors f(−1) < f(u_n) < f(0), soit −1 < u_n+1 < −¼ < 0. Donc −1 < u_n < 0 pour tout n.
Monotonie : u_n+1 − u_n = −¼(u_n + 1)e^−u_n < 0 car u_n + 1 > 0 : la suite est décroissante.
Limite : décroissante et minorée par −1, elle converge vers ℓ ∈ [−1, 0[. f étant continue, ℓ = f(ℓ), soit (ℓ + 1)e^−ℓ = 0, donc ℓ = −1.

Probabilités

Exercice 1

Q7-a) Formule des probabilités totales sur le système complet (C₁, C₂, C₃) : P(A) = 0,25×0,12 + 0,53×0,06 + 0,22×0,09 = 0,03 + 0,0318 + 0,0198 = 0,0816.

Q7-b) Bayes : P(C₁ | A) = 0,03/0,0816 ≈ 0,368.

Q7-c) P(Ā) = 1 − 0,0816 = 0,9184. P(Ā ∩ C₂) = 0,53×0,94 = 0,4982. P(C̄₂ | Ā) = 1 − 0,4982/0,9184 = (0,25×0,88 + 0,22×0,91)/0,9184 = 0,4202/0,9184 ≈ 0,458.

Q8-a) Les N assurés sont supposés indépendants, chacun déclarant au moins un accident avec la probabilité p = 0,06 : X suit la loi binomiale B(N ; 0,06). E(X) = 0,06·N ; V(X) = N×0,06×0,94 = 0,0564·N.

Q8-b) P(X ≤ k) = Σ_j=0..k C(N, j)·0,06^j·0,94^N−j.
Pour N = 10, k = 2 : 0,94¹⁰ + 10×0,06×0,94⁹ + 45×0,06²×0,94⁸ ≈ 0,5386 + 0,3438 + 0,0988 ≈ 0,981.
(Avec l'approximation de Poisson de paramètre λ = Np = 0,6 : e^−0,6(1 + 0,6 + 0,18) ≈ 0,977.)

Exercice 2

Q9. g et h sont positives et continues par morceaux. ∫ g = ∫₀¹ 2(1 − x)dx = [2x − x²]₀¹ = 1 ; ∫ h = ∫₀^+∞ e^−xdx = [−e^−x]₀^+∞ = 1. Ce sont des densités.

Q10-a) p(¼ ≤ X ≤ ¾) = [2x − x²]_1/4^3/4 = (1,5 − 0,5625) − (0,5 − 0,0625) = 0,5.

Q10-b) p(Y > 3) = ∫₃^+∞ e^−xdx = e⁻³ ≈ 0,0498.

Q11-a) Dans K(x) = ∫₀^x g(x − t)h(t)dt, on pose u = x − t (du = −dt ; t = 0 → u = x ; t = x → u = 0) : K(x) = ∫_x⁰ g(u)h(x − u)(−du) = ∫₀^x h(x − u)g(u)du = (h∗g)(x).

Q11-b)

• x < 0 : h(t) = 0 pour t entre x et 0, donc K(x) = 0.
• 0 ≤ x ≤ 1 : pour t ∈ [0, x], x − t ∈ [0, 1], g(x − t) = 2(1 − x + t) : K(x) = 2(1 − x)∫₀^xe^−tdt + 2∫₀^xt·e^−tdt = 2(1 − x)(1 − e^−x) + 2[1 − (x + 1)e^−x] = 4 − 2x − 4e^−x (intégration par parties : ∫t·e^−t = −(t + 1)e^−t).
• x ≥ 1 : g(x − t) ≠ 0 seulement pour t ∈ [x − 1, x]. Avec s = t − x + 1 : K(x) = ∫₀¹ 2s·e^−(s+x−1)ds = 2e^1−x∫₀¹s·e^−sds = 2e^1−x(1 − 2/e) = 2e^−x(e − 2).

Q11-c) p(½ ≤ Z ≤ 3/2) = ∫_1/2¹(4 − 2x − 4e^−x)dx + ∫₁^3/22(e − 2)e^−xdx

• premier terme : [4x − x² + 4e^−x]_1/2¹ = 1,25 + 4/e − 4/√e ≈ 0,2954 ;
• second terme : 2(e − 2)(e⁻¹ − e^−3/2) ≈ 0,2079.

Donc p(½ ≤ Z ≤ 3/2) ≈ 0,503.