Modèle de concours de recrutement des ingénieurs d'État 1er grade — Ministère de l'Énergie, des Mines, de l'Eau et de l'Environnement 2012 — Génie civil

Ce modèle est l'épreuve technique du concours d'accès au grade d'ingénieur d'État du premier grade, option Génie civil, organisé par le Ministère de l'Énergie, des Mines, de l'Eau et de l'Environnement (Département de l'Eau) — session du 02 décembre 2012. Durée : 4 heures. L'épreuve compte sept exercices : stabilité des barrages, hydraulique, murs de soutènement, granulométrie, résistance des matériaux, bétons et un QCM. Voici une correction proposée, avec le détail des calculs.

💡 Avant de commencer : l'épreuve est longue. Les exercices de calcul (1, 2, 5, 6) rapportent vite à condition de poser proprement les hypothèses et les unités. Les questions de cours (3, 4, 7) se traitent en quelques lignes bien structurées.

Exercice 1 — Calculs de stabilité des barrages

1) Expression de la force sur la face immergée

Prenons un axe vertical z orienté vers le haut, avec l'origine au pied du parement. La retenue a une hauteur h et le parement amont fait l'angle α avec la verticale.

• D'après la loi de l'hydrostatique, la pression à la cote z vaut p(z) = P0 + ρ·g·(h − z) : pression atmosphérique en surface, plus le poids de la colonne d'eau de hauteur (h − z).
• Découpons le parement en bandes horizontales de longueur L. Une bande de hauteur verticale dz a une longueur inclinée dz / cos α, donc une aire dS = L·dz / cos α.
• La force élémentaire est normale au parement : dF = p(z)·dS = [P0 + (h − z)·ρ·g]·L·dz / cos α.
• Toutes les forces élémentaires ont la même direction (normale au parement plan). On peut donc les additionner directement :
  F = ∫0h [P0 + (h − z)·ρ·g]·(L / cos α)·dz.

Remarque : l'énoncé note z à la fois la hauteur du barrage et la variable d'intégration. Dans l'intégrale, z est la cote courante, entre 0 et h.

2) Valeur de F

F = (L / cos α)·[P0·z + ρ·g·(h·z − z²/2)]0h = (L / cos α)·(P0·h + ρ·g·h²/2)

Donc F = (L·h / cos α)·(P₀ + ρ·g·h / 2). Le terme en P₀ s'annule si l'on tient compte de la pression atmosphérique qui agit aussi sur la face aval. La poussée hydrostatique nette vaut alors ρ·g·h²·L / (2 cos α). Elle est appliquée au tiers de la hauteur mouillée à partir du pied.

3) Classement des charges

Nuance à citer : la crue « de projet » est parfois traitée comme une situation rare plutôt qu'exceptionnelle. Les sous-pressions suivent le niveau de l'eau, d'où leur classement en charges variables.

4) Méthode de vérification de la stabilité d'un barrage en remblai

• Principe : on étudie l'équilibre limite le long de surfaces de rupture potentielles, généralement circulaires, qui traversent le talus amont ou aval et la fondation.
• Méthode des tranches (Fellenius, ou Bishop simplifiée) : on découpe le volume glissant en tranches verticales. Pour chaque tranche, on calcule le poids W, la pression interstitielle u et l'effort résistant selon le critère de Mohr-Coulomb (c′, φ′).
  Le coefficient de sécurité est le rapport des moments résistants aux moments moteurs. Avec la méthode de Fellenius :
  F = Σ[c′·b/cos θ + (W·cos θ − u·b/cos θ)·tan φ′] / Σ W·sin θ.
• On recherche le cercle critique, celui qui donne le F minimal, en balayant les centres et les rayons. En pratique, cela se fait avec un logiciel de stabilité des pentes.
• Cas de charge à étudier : fin de construction (surpressions interstitielles), retenue pleine en régime permanent avec écoulement, vidange rapide (cas le plus défavorable pour le talus amont), séisme (méthode pseudo-statique).
• Les paramètres viennent d'essais de laboratoire sur le matériau compacté : triaxial et cisaillement, Proctor, perméabilité. On compare F aux valeurs minimales usuelles, de l'ordre de 1,5 en situation normale et plus faibles en situation exceptionnelle.

Exercice 2 — Calculs hydrauliques

Données : d = 1 m ; h = 15,3 m (profondeur de G) ; P_atm = 1 bar = 10⁵ Pa ; g = 9,81 m/s² ; ρ = 1000 kg/m³.

1. Poids volumique : ϖ = ρ·g = 1000 × 9,81 = 9 810 N/m³ (≈ 9,81 kN/m³).
2. Pression en G (Bernoulli en statique entre la surface libre et G : P + ρ·g·z = constante) :
   PG = Patm + ρ·g·h = 100 000 + 9 810 × 15,3 = 100 000 + 150 093 = 250 093 Pa ≈ 2,50 bar (pression absolue).
   Pression relative (effective) : PG − Patm = 150 093 Pa ≈ 1,50 bar.
3. Poussée sur le disque : pour une paroi plane, la poussée vaut la pression au centre de gravité multipliée par l'aire.
   Aire : S = π·d²/4 = π/4 = 0,7854 m².
   La pression atmosphérique agit des deux côtés de la vanne, on raisonne donc en pression relative :
   R = (PG − Patm)·S = 150 093 × 0,7854 ≈ 117 883 N, soit R ≈ 117,9 kN.
   Si l'on comptait la pression absolue d'un seul côté, on obtiendrait 250 093 × 0,7854 ≈ 196,4 kN. Ce n'est pas l'effort réellement repris par la vanne.
   Complément utile : le centre de poussée est situé sous G, à la distance e = IG/(S·h) = d²/(16·h) = 1/(16 × 15,3) ≈ 4,1 mm. Le couple sur l'axe de pivotement vaut donc environ 117,9 kN × 0,0041 m ≈ 0,48 kN·m.

Exercice 3 — Murs de soutènement : causes de l'effondrement

💡 Pour chaque mur, cherchez l'erreur visible sur le dessin : dimensions de la semelle par rapport à la hauteur, nature du remblai, drainage, position des armatures, sol de fondation.

• Mur 1 (voile de 7,00 m, épaisseur 0,20 m en tête, semelle de 1,20 m, remblai de sable coincé contre le rocher) : la semelle est beaucoup trop étroite. On compte usuellement une largeur de 0,5 à 0,7 fois la hauteur, soit 3,5 à 5 m ici. Le mur est aussi trop mince, donc il s'est renversé.
  Ordre de grandeur, avec un sable à φ ≈ 30° (K_a = 0,33) et γ = 18 kN/m³ : Pa = ½ × 0,33 × 18 × 7² ≈ 147 kN/m, ce qui donne un moment renversant de 147 × 7/3 ≈ 343 kN·m/m. Le mur pèse environ 70 kN/m. Même en le supposant appliqué à l'extrémité de la semelle, le moment stabilisant reste inférieur à 70 × 1,2 ≈ 85 kN·m/m, soit un coefficient bien inférieur à 1.
  Aggravant : le rocher imperméable empêche l'eau de s'évacuer. Sans drainage, une nappe se forme dans le coin de sable et ajoute jusqu'à ½ × 10 × 7² ≈ 245 kN/m de poussée d'eau.
• Mur 2 (mur-poids de 3,50 m au total, base de 1,30 m, remblai médiocre à φ = 20°) : avec φ = 20°, Ka = tan²(45° − 10°) ≈ 0,49, soit une poussée environ 50 % plus forte que pour un sable. La base est trop étroite (rapport B/H ≈ 0,37) et le mur trop léger : il a glissé.
  Ordre de grandeur, pour 2,80 m de terre retenue : Pa ≈ ½ × 0,49 × 18 × 2,8² ≈ 35 kN/m. Le mur pèse environ 80 kN/m, ce qui donne une résistance au glissement de 80 × tan 20° ≈ 29 kN/m < 35 kN/m, soit un coefficient de sécurité inférieur à 1 au lieu de 1,5. Absence de drainage probable également.
• Mur 3 (mur en T de 1,50 m retenant un remblai argileux, talus au-dessus) : l'argile est un mauvais matériau de remblai.
  Elle pousse beaucoup plus qu'un matériau granulaire, surtout à court terme et lorsqu'elle est saturée. Elle gonfle en s'humidifiant et retient l'eau, car elle est peu perméable et sans drainage. Le talus amont ajoute une surcharge.
  Les traits obliques dessinés dans le voile matérialisent la fissuration et la rupture du voile près de son encastrement. Le voile, mince (0,20 m), était sous-dimensionné ou insuffisamment armé pour cette poussée (lecture du dessin : réponse probable).
  Il fallait un remblai drainant (grave propre), un drain avec filtre en pied et des barbacanes.
• Mur 4 (mur en T élancé, remblai en talus) : le trait d'armature est dessiné du côté du parement vu (côté air) dans le voile. Or un voile en console est tendu côté terre. De même, les aciers de la semelle sont en fibre inférieure sous le talon, alors que celui-ci est tendu en fibre supérieure.
  C'est une erreur de ferraillage : rupture du voile par flexion à l'encastrement. S'y ajoutent une semelle courte et la surcharge du talus (lecture du dessin : réponse probable).
• Mur 5 (mur en T sur une couche mince reposant sur de l'argile molle, remblai de grave argileuse en talus) : le mur lui-même peut être correct. C'est le sol de fondation qui a cédé.
  Deux mécanismes : glissement d'ensemble selon une surface profonde qui passe sous la semelle dans l'argile molle, et poinçonnement avec tassement et basculement.
  Il fallait vérifier la stabilité générale (cercles de glissement englobant le mur) et la portance. Les remèdes possibles : fondation profonde (pieux), substitution ou amélioration de l'argile, allègement du remblai.

Exercice 4 — Analyse granulométrique

1) Définitions

• Analyse granulométrique : détermination de la répartition des grains d'un matériau selon leur dimension. On tamise un échantillon sec sur une série de tamis de mailles décroissantes, et on complète par sédimentométrie pour les éléments inférieurs à 80 µm. Le résultat est la courbe granulométrique (pourcentages cumulés en fonction du diamètre, en échelle logarithmique).
• Refus : masse de matériau retenue sur un tamis. Les refus cumulés sont exprimés en % de la masse totale.
• Tamisat : masse de matériau qui passe à travers un tamis. Tamisat cumulé (%) = 100 − refus cumulé (%).

2) Association des courbes

Exercice 5 — Résistance des matériaux : balcon en console

Modèle : poutre encastrée en A et libre en B, de longueur L. Elle porte une charge répartie trapézoïdale (q₁ en A, q₂ en B) et une charge concentrée P en B, dirigée vers le bas. On prend l'abscisse x depuis A.

1) Réactions d'appui (cas général)

• Résultante de la charge répartie : Q = (q1 + q2)·L/2. Elle est appliquée au centre de gravité du trapèze, à xQ = L·(q1 + 2q2) / [3(q1 + q2)] de A.
• Équilibre des forces verticales : RA = P + (q1 + q2)·L/2, dirigée vers le haut. Il n'y a pas de réaction horizontale (aucune charge horizontale).
• Équilibre des moments en A : MA = P·L + Q·xQ = P·L + L²·(q1 + 2q2)/6. C'est le moment d'encastrement : la fibre supérieure est tendue.

2) Application numérique : L = 2 m, P = 10 kN, q₁ = 5 kN/m, q₂ = 1 kN/m

• Q = (5 + 1) × 2/2 = 6 kN ; xQ = 2 × (5 + 2)/(3 × 6) = 0,778 m.
• RA = 10 + 6 = 16 kN (vers le haut).
• MA = 10 × 2 + 4 × 7/6 = 20 + 4,667 = 24,67 kN·m, soit M = −24,67 kN·m en A (moment négatif : fibre supérieure tendue).
• Charge en x : q(x) = 5 − 2x (kN/m).
• Effort tranchant (somme des charges situées entre x et B) : T(x) = P + ∫x2q(ξ)dξ = 10 + (6 − 5x + x²) = 16 − 5x + x² (kN). On a T(0) = 16 kN et T(2) = 10 kN. T est positif sur toute la longueur et décroît de façon parabolique : il ne s'annule pas, donc il n'y a pas d'extremum de M dans la travée.
• Moment fléchissant (dM/dx = T avec M(2) = 0) : M(x) = −74/3 + 16x − 2,5x² + x³/3 (kN·m).

Diagrammes : T est une parabole décroissante de 16 à 10 kN. M est une courbe du 3e degré, négative sur toute la console, qui croît de −24,67 kN·m à l'encastrement jusqu'à 0 à l'extrémité libre. La section critique est l'encastrement A, où M et T sont maximaux en valeur absolue. Les armatures principales d'un balcon se placent donc en nappe supérieure.

Exercice 6 — Bétons hydrauliques

1) Études de formulation et de convenance

• Étude de formulation (en laboratoire) : déterminer les proportions de gravillon, sable, ciment, eau et adjuvant qui donnent la résistance, l'ouvrabilité et la durabilité demandées par le cahier des charges, au moindre coût.
• Épreuve de convenance (avant le démarrage du chantier) : vérifier que le béton fabriqué avec les matériaux réels, la centrale et les moyens du chantier atteint effectivement les caractéristiques visées. On contrôle l'affaissement au cône et la résistance sur éprouvettes à 7 et 28 jours. Elle permet d'ajuster la formule avant le bétonnage des ouvrages.

2) Autres types d'adjuvants

• Accélérateur de prise ou de durcissement : raccourcit le temps de prise ou augmente les résistances au jeune âge (bétonnage par temps froid, décoffrage rapide).
• Retardateur de prise : allonge la durée d'ouvrabilité (temps chaud, transport long, grandes masses, reprises de bétonnage).
• Entraîneur d'air : crée des microbulles qui améliorent la résistance au gel-dégel.
• Hydrofuge de masse : réduit l'absorption capillaire et améliore l'étanchéité.

3) Coût du mètre cube

Les gravillons et le sable sont payés au m³ : on convertit donc les masses en volumes apparents avec la densité donnée. Le ciment est payé à la tonne, l'adjuvant au litre.

Ce montant ne couvre que les matériaux : fabrication, transport, mise en place et main-d'œuvre sont en sus. La densité 3,15 du ciment est sa masse volumique absolue : elle ne sert pas au calcul du prix, mais au contrôle que les volumes absolus des constituants font bien 1 m³.
Point de vigilance : l'eau d'un cours d'eau n'est pas forcément « claire » au sens des normes. Elle doit être analysée (matières en suspension, chlorures, sulfates, matières organiques) avant d'être acceptée pour le gâchage.

4) Dégradations du béton dans le temps

• Fissuration (retrait plastique ou de dessiccation, effets thermiques, surcharges, tassements).
• Corrosion des armatures due à la carbonatation ou aux chlorures. Elle provoque des épaufrures et l'éclatement de l'enrobage.
• Cycles de gel-dégel (écaillage), attaques chimiques (sulfates, eaux agressives ou acides, lixiviation).
• Réactions de gonflement interne : réaction alcali-granulats, formation différée d'ettringite.
• Usure par abrasion ou érosion (ouvrages hydrauliques), efflorescences, ségrégation et nids de cailloux visibles avec le temps.

5) Suivi de l'évolution des fissures

• Relevé initial : cartographie des fissures (position, longueur, orientation) avec photos datées. L'ouverture se mesure au fissuromètre (réglette ou loupe graduée).
• Témoins posés à cheval sur la fissure : témoins en plâtre ou en verre datés, ou jauges graduées collées de part et d'autre. Leur rupture ou leur déplacement montre que la fissure évolue.
• Mesures périodiques de l'ouverture : plots et comparateur ou pied à coulisse, ou capteurs de déplacement avec enregistrement automatique. On relève en même temps la température, car une fissure « respire » avec les variations thermiques.
• Interprétation : on trace l'ouverture en fonction du temps. Une fissure stabilisée relève d'un simple traitement (injection, calfeutrement). Une fissure évolutive impose un diagnostic structurel avant toute réparation.

Exercice 7 — QCM

1. a — L'équivalent de sable mesure la proportion d'éléments sableux par rapport aux fines argileuses. Il vaut 0 pour une argile pure et tend vers 100 pour un sable pur et propre.
2. a — La compacité est maximale quand les grains fins remplissent les vides du squelette de gravillons, soit environ un tiers de sable pour deux tiers de gravillons (rapport G/S voisin de 2). Avec 50/50 (c), il y a trop de sable. La proposition b ne totalise pas 100 %.
3. c — Le nombre 35 désigne la classe de résistance à la compression du ciment (en MPa, mesurée sur mortier normalisé à 28 jours). Ce n'est pas un dosage.
4. a — Le sable à béton courant est un 0/5. Les éléments inférieurs à 0,08 mm sont les fines, qu'on limite.
5. a — Un sol pulvérulent (sable, gravier) n'est pas plastique : son I_p est pratiquement nul. Un sable argileux ou une argile sableuse ont un I_p nettement supérieur.
6. a et d — Les arêtes vives du gravier concassé donnent une bonne adhérence à la pâte de ciment et un bon enchevêtrement des grains, utile aussi en couche de chaussée. Ce sont les granulats roulés qui glissent bien les uns sur les autres et se compactent facilement (b, c).
7. a (Vrai) — La résistance au cisaillement croît avec tan φ, donc le coefficient de sécurité aussi, toutes choses égales par ailleurs.
8. b (Faux) — La vidange rapide est le cas le plus défavorable pour le talus amont d'un barrage en terre. L'eau libre qui stabilisait le talus disparaît, mais les pressions interstitielles restent élevées dans le remblai.
9. b (Faux) — Quand une partie des grosseurs manque, la granularité est discontinue, comme la courbe 5 de l'exercice 4.
10. b (Faux) — Lorsque le rapport E/C augmente, la porosité augmente et la résistance diminue (lois de Féret et de Bolomey).