Modèle de concours : CNC 2011 Physique II (TSI) — Concours National Commun

Ce modèle est l'épreuve de Physique II du Concours National Commun (CNC) 2011, filière TSI (9 pages d'énoncé, sans page de garde dans ce document). Thème : interférences lumineuses et interféromètre de Michelson, en quatre parties indépendantes : optique géométrique, lampe à vapeur de mercure, optique ondulatoire (Michelson en lame d'air et en coin d'air, cohérence temporelle, contrôle d'un défaut d'épaisseur) et expérience de Michelson-Morley. Voici une correction proposée avec la numérotation de l'énoncé.

💡 Données : 1 eV = 1,60·10⁻¹⁹ J ; c = 3,00·10⁸ m·s⁻¹ ; h = 6,63·10⁻³⁴ J·s ; k_B = 1,38·10⁻²³ J·K⁻¹ ; N_A = 6,02·10²³ mol⁻¹. Les mesures algébriques sont notées OA, OA', etc. (sens de propagation de la lumière positif).

1. Optique géométrique

1.1. L'image est nette si la lentille est utilisée dans les conditions de Gauss (rayons paraxiaux : peu inclinés et proches de l'axe), qui assurent un stigmatisme et un aplanétisme approchés, et si l'écran est placé dans le plan conjugué du plan de l'objet.

1.2. Construction avec deux rayons issus de B : le rayon passant par O n'est pas dévié ; le rayon parallèle à l'axe émerge en passant par le foyer image F'. Leur intersection donne B', et A' est sur l'axe à l'aplomb de B'. Pour d > f'₀ (objet avant le foyer objet F), l'image est réelle (après la lentille) et renversée.

1.3. Triangles OAB et OA'B' semblables (rayon passant par O) : γ = A'B'/AB = OA'/OA. Rayon issu de B parallèle à l'axe : il coupe la lentille en I (OI = AB) et ressort en passant par F'. Les triangles F'OI et F'A'B' sont homothétiques (centre F'), d'où, en mesures algébriques, A'B'/OI = F'A'/F'O avec F'A' = OA' − f'₀ et F'O = −f'₀ : γ = 1 − OA'/f'₀.
En égalant les deux expressions de γ : OA'/OA = 1 − OA'/f'₀, puis en divisant par OA' : 1/OA = 1/OA' − 1/f'₀, d'où 1/OA' − 1/OA = 1/f'₀.

1.4. On pose x = −OA = d > 0 ; l'écran est à OA' = D − x. La conjugaison donne 1/(D − x) + 1/x = 1/f'₀, soit x² − D x + D f'₀ = 0. Une image réelle sur l'écran existe si cette équation a des racines réelles : Δ = D² − 4Df'₀ ≥ 0, soit D ≥ 4f'₀ (f'₀ ≤ D/4).

1.5. D = 1 m ⇒ f'₀ ≤ 25 cm. Valeur usuelle en TP : f'₀ = 20 cm (ou 10 cm).

2. Lampe à vapeur de mercure

2.1. Spectre discret (spectre de raies) : les niveaux d'énergie de l'atome sont quantifiés ; un photon n'est émis que lors d'une transition entre deux niveaux, avec une énergie égale à leur différence, donc seulement pour certaines longueurs d'onde.

2.2. Conservation de l'énergie : ΔE = E₃ − E₁ = hν = hc/λ_3→1, soit λ_3→1 = hc/(E₃ − E₁).

2.3. ΔE = −2,72 − (−4,99) = 2,27 eV = 3,63·10⁻¹⁹ J ; λ_3→1 = 6,63·10⁻³⁴ × 3,00·10⁸/3,63·10⁻¹⁹ ≈ 548 nm (c'est la raie verte du mercure, 546,1 nm, aux arrondis des niveaux près).

2.4. 400 nm < λ < 800 nm : domaine visible (vert).

3. Optique ondulatoire : interféromètre de Michelson

3.1. Questions préliminaires

3.1.1. On peut utiliser une vibration scalaire lorsque les ondes qui interfèrent ont (pratiquement) la même direction de polarisation : rayons faiblement inclinés les uns par rapport aux autres (conditions quasi paraxiales) et lumière naturelle ou polarisation identique pour les deux ondes. Les champs s'ajoutent alors comme des scalaires.

3.1.2. δ(M) = (S₂M) − (S₁M), où (S_iM) = ∫ n ds est le chemin optique de S_i à M.

3.1.3. En M : a = A₁e^jφ₁ + A₂e^jφ₂, avec φ₂ − φ₁ = 2πδ(M)/λ₀ (sources en phase). I = K a a* = K[A₁² + A₂² + 2A₁A₂ cos(φ₂ − φ₁)]. Avec I_i = KA_i² : I(M) = I₁ + I₂ + 2√(I₁I₂) cos(2πδ/λ₀).

3.1.4. Sinusoïde de période λ₀ en δ, de valeur moyenne I₁ + I₂. Maxima (franges brillantes) pour δ = pλ₀ (p entier) ; minima (franges sombres) pour δ = (p + ½)λ₀.

3.1.5. I_M = (√I₁ + √I₂)², I_m = (√I₁ − √I₂)², d'où C = 2√(I₁I₂)/(I₁ + I₂) = 2√x/(1 + x) avec x = I₂/I₁. Allure : C = 0 pour x = 0, croît jusqu'au maximum C = 1 pour x = 1, puis décroît vers 0 quand x → ∞ (C(x) = C(1/x)). Commentaire : le contraste est maximal quand les deux ondes ont la même intensité ; il reste bon même pour des intensités assez différentes (x = 0,5 donne C ≈ 0,94).

3.1.6. Avec I₂ = I₁ : C = 1 et I_m = 0. Les franges sombres sont noires : contraste maximal, figure la plus lisible.

3.1.7. Deux sources distinctes sont incohérentes : chacune émet des trains d'onde aléatoires et indépendants (durée τ_c ≈ 10⁻¹¹ à 10⁻⁹ s), donc φ₂ − φ₁ varie aléatoirement bien plus vite que le temps de réponse du détecteur : la moyenne du cosinus est nulle et I(M) = I₁ + I₂ (éclairement uniforme). Il faut donc diviser l'onde issue d'une source unique S : les deux vibrations proviennent du même train d'onde et leur déphasage, fixé par δ, est stable. Mais un train d'onde a une longueur finie, la longueur de cohérence L_c = cτ_c : les deux copies d'un même train ne se recouvrent en M que si |δ| < L_c. Au-delà, le contraste s'annule.

3.1.8. p(M) = δ(M)/λ₀. Applications : mesure de longueurs d'onde et spectrométrie (par transformée de Fourier) ; mesure de petits déplacements ou d'épaisseurs (métrologie, à une fraction de λ près) ; mesure d'indices de réfraction (gaz, lames) ; contrôle de la planéité des surfaces optiques ; détection des ondes gravitationnelles.

3.2. Description de l'interféromètre de Michelson réel

3.2.1. Division d'amplitude : chaque rayon incident est partagé par la séparatrice en un rayon réfléchi et un rayon transmis ; ce n'est pas une partie différente du front d'onde qui alimente chaque voie.

3.2.2. Rôle de (Sp) (schéma : rayon incident sur la lame à 45°) : elle partage le faisceau incident en deux faisceaux perpendiculaires, l'un vers (M₁) (réfléchi), l'autre vers (M₂) (transmis), puis recombine les faisceaux renvoyés par les miroirs vers la sortie. Intérêt de R = T = 0,5 : chaque onde de sortie a subi une réflexion et une transmission, d'intensité RT·I_s pour chacune : les deux ondes ont la même intensité (contraste C = 1), et le produit RT = R(1 − R) est maximal pour R = 0,5 (figure la plus lumineuse).

3.2.3. Vers la sortie, chaque voie transmet RT = 1/4 du flux incident, soit 1/2 au total (en moyenne). L'autre moitié (R² + T² = 1/2) est renvoyée par la séparatrice vers la source : elle ne peut pas être observée. La moitié du flux incident est donc perdue quel que soit le réglage.

3.2.4. La séparatrice est une lame de verre d'épaisseur non nulle dont une face est traitée. Sans compensatrice, l'un des faisceaux traverse trois fois l'épaisseur de verre, l'autre une seule fois : il en résulte une différence de marche supplémentaire qui dépend de la longueur d'onde (dispersion du verre) et de l'incidence. La compensatrice (Cp), identique et parallèle à (Sp), est traversée deux fois par le faisceau qui ne traversait (Sp) qu'une fois : les deux faisceaux traversent la même épaisseur de verre, et cette différence de marche parasite est compensée pour toutes les longueurs d'onde (indispensable en lumière blanche).

3.2.5. C'est un verre anticalorique : il absorbe le rayonnement infrarouge de la lampe et protège la séparatrice, la compensatrice et les miroirs de l'échauffement (dilatations qui dérégleraient l'appareil). Ses faces parallèles ne dévient pas les rayons.

3.3. Interféromètre éclairé par une source étendue

3.3.1. Une fois (Cp) réglée parallèlement à (Sp), les deux faisceaux traversent la même épaisseur de verre sous les mêmes incidences : l'ensemble n'introduit aucune différence de marche entre les voies. On peut donc le remplacer par une séparatrice idéale d'épaisseur nulle, (Sp)_th, qui ne fait que diviser et recombiner les faisceaux.

3.3.2. Protocole de réglage :
1) Pré-réglage : à la règle, rendre les deux bras de longueurs voisines (chariot de M₂).
2) Compensatrice : la régler parallèle à la séparatrice (par exemple en superposant, à l'œil ou avec un laser, les images données par (Sp) et (Cp)).
3) Parallélisme : éclairer avec la lampe (ou un laser), observer les deux images de la source données par les deux voies et les superposer avec les vis de réglage grossier de (M₁) : des franges apparaissent.
4) Éclairer avec la lampe spectrale munie d'un condenseur faisant converger la lumière sur les miroirs (grand angle d'incidence), observer à l'infini (écran dans le plan focal d'une lentille) et affiner le parallélisme avec les vis fines jusqu'à obtenir des anneaux centrés et stables.
5) Charioter (M₂) pour régler l'épaisseur. Une figure nette (observée dans le plan de localisation), contrastée (R = T, voies équilibrées) et lumineuse (source large, condenseur) est alors obtenue.

3.3.3. Franges d'égale inclinaison

3.3.3.1. λ₀ = 546,1 nm : raie verte du mercure.

3.3.3.2. Interféromètre réglé en lame d'air à faces parallèles (M₁ ⊥ M₂), éclairé par une source étendue en lumière convergente (lampe + condenseur dont l'image de la source se forme au voisinage des miroirs, pour avoir une grande plage d'incidences i). Observation à l'infini : écran dans le plan focal image d'une lentille convergente placée à la sortie.
Montage : lampe Hg → condenseur → Michelson (lame d'air) → lentille (L') → écran dans le plan focal de (L').

3.3.3.3. On remplace (M₂) par son image (M'₂) par rapport à (Sp)_th : (M'₂) est parallèle à (M₁) à la distance e (OO₂ − OO₁ = e). Schéma : lame d'air d'épaisseur e entre (M₁) et (M'₂) ; un rayon incident d'angle i donne le rayon (1), réfléchi sur (M₁), et le rayon (2), réfléchi sur (M'₂) : ils émergent parallèles, sous le même angle i.
Sources secondaires : S₁ = image de S par (M₁), S₂ = image de S par (M'₂) ; elles sont sur la normale aux miroirs, distantes de S₁S₂ = 2e.
Anneaux : le système est invariant par rotation autour de la normale aux miroirs (Oy) ; δ ne dépend que de i, donc les franges sur un écran ⊥ Oy sont des cercles centrés sur l'axe : des anneaux.
Localisation : avec une source étendue, les deux rayons issus d'un même rayon incident sont parallèles ; ils ne se rencontrent qu'à l'infini, seul lieu où δ est le même pour tous les points de la source et où le contraste est bon. Les franges sont localisées à l'infini (observées dans le plan focal d'une lentille).

3.3.3.4. Des ellipses apparaissent lorsque l'écran n'est pas perpendiculaire à l'axe des anneaux (intersection oblique d'un cône de révolution par un plan), c'est-à-dire écran ou lentille de projection mal orientés par rapport à l'axe de sortie, ou encore lorsque le parallélisme des miroirs est imparfait. Remède : placer la lentille et l'écran perpendiculairement à l'axe de sortie, et retoucher le parallélisme de (M₁) avec les vis fines jusqu'à obtenir des anneaux circulaires et stables.

3.3.3.5. Par réflexion sur un miroir plan (stigmatisme rigoureux), le chemin optique de S jusqu'à M via (M₁) est égal à (S₁M), et via (M'₂) à (S₂M) (S_i étant l'image virtuelle de S). La séparatrice idéale n'ajoute rien. D'où δ(M) = (S₂M) − (S₁M) = S₂M − S₁M (indice 1).

3.3.3.6. M étant à l'infini dans la direction i, les rayons issus de S₁ et S₂ sont parallèles ; en projetant S₁S₂ sur la direction des rayons : δ = S₁S₂ cos i = 2e cos i. δ ne dépend que de i : chaque anneau est le lieu des points de même inclinaison i, et tous sont centrés sur le même axe : « anneaux concentriques d'égale inclinaison ».

3.3.3.7. Les deux ondes ont la même intensité I₁ = I₂ (R = T), donc I = 2I₁[1 + cos(2πδ/λ₀)] = I₀[1 + cos(4πe cos i/λ₀)], avec I₀ = 2I₁ : I₀ est l'intensité moyenne, somme des intensités des deux ondes (en l'absence d'interférences). Allure : I oscille entre 0 et 2I₀. Comme cos i ≈ 1 − i²/2, la phase varie comme i² : les oscillations sont de plus en plus serrées quand i augmente (anneaux de plus en plus fins vers l'extérieur).

3.3.3.8. On ajoute (L') après la sortie : les rayons (1) et (2), parallèles et inclinés de i, convergent en un point M du plan focal image, situé à la distance R = f' tan i ≈ f' i du foyer F' (on le trouve avec le rayon parallèle passant par le centre de (L'), non dévié).

3.3.3.9. Le rayon des anneaux est proportionnel à f'. Pour projeter les anneaux devant un public, on choisit f' = 1 m : anneaux de grande taille sur un écran éloigné. Pour enregistrer la figure avec un capteur de petite taille (caméra CCD, de quelques mm), on choisit la courte focale f' = 5 mm pour que l'ensemble des anneaux tienne sur le capteur, comme avec l'objectif d'une caméra réglée sur l'infini (réponse probable ; f' = 20 cm convient à une observation sur écran proche).

3.3.3.10. Au centre i = 0 : p₀ = 2e/λ₀ = 2 × 1,5·10⁻³/546,1·10⁻⁹ ≈ 5493,5. Commentaire : ordre très élevé, ce qui exige une source de grande longueur de cohérence (L_c > 2e = 3 mm) ; p₀ est demi-entier, donc le centre est sombre.

3.3.3.11. Au centre δ = 2e. Passer d'un maximum au minimum suivant demande Δδ = λ₀/2, soit un déplacement de (M₂) Δe = λ₀/4 ≈ 137 nm. Courbe : I = I₀[1 + cos(4π(e₀ + x)/λ₀)], sinusoïde de période λ₀/2 = 273 nm en fonction du déplacement x. On ne peut pas déplacer (M₂) indéfiniment : quand 2e devient comparable à la longueur de cohérence de la source, le contraste diminue puis s'annule (sans compter la course limitée du chariot).

3.3.3.12. p(i) = p₀ cos i ≈ p₀(1 − i²/2) : l'ordre décroît du centre vers l'extérieur. Soit p₀ = E + ε (E partie entière, 0 ≤ ε < 1). Le k^ième anneau brillant a pour ordre p_k = E − (k − 1), donc p₀i_k²/2 = k − 1 + ε et, avec R_k = f' i_k :
R_k = f' √[2(k − 1 + ε)/p₀] = f' √[λ₀(k − 1 + ε)/e]. Ici ε ≈ 0,5 : R_k ≈ f' √[λ₀(k − ½)/e].

3.3.3.13. R_k+1² − R_k² = f'²λ₀[(k + ε) − (k − 1 + ε)]/e = f'²λ₀/e.

3.3.3.14. Un anneau correspond à un ordre fixé p = (2e/λ₀) cos i. Si les anneaux « rentrent » au centre, l'ordre au centre p₀ = 2e/λ₀ diminue : e diminue. D'après 3.3.3.12, R_k ∝ 1/√e : les rayons des anneaux augmentent. Dans un champ d'angle i_max, le nombre d'anneaux visibles ≈ p₀i_max²/2 = e i_max²/λ₀ diminue. Comme R_k+1² − R_k² ∝ 1/e, les franges deviennent plus larges.

3.3.3.15. Le contact optique correspond à e = 0 : (M'₂) est confondu avec (M₁). Procédure : translater (M₂) dans le sens où les anneaux rentrent (e diminue) ; les anneaux grossissent et se raréfient, jusqu'à ce que le champ soit occupé par une seule teinte. Aspect : éclairement uniforme (teinte plate) sur tout l'écran, puisque δ = 0 quel que soit i.

3.3.3.16. La lumière blanche : sa longueur de cohérence est de l'ordre du micromètre, donc des franges (irisées) ne sont visibles que pour δ ≈ 0 ; la frange achromatique centrale repère le contact optique à une fraction de micromètre près, alors qu'avec une raie spectrale les franges existent sur des millimètres et ne permettent pas de localiser e = 0 précisément.

3.3.3.17.1. Au centre, δ = 2e et, partant du contact optique, e = V₀t. Pour une fréquence ν (intensité I_0ν dans la bande considérée) : I = I₀[1 + cos(2πν·2V₀t/c)].

3.3.3.17.2. τ = δ/c = 2e/c = 2V₀t/c : c'est le retard (décalage temporel) entre les deux ondes qui interfèrent, c'est-à-dire la différence des durées de parcours des deux bras.

3.3.3.17.3. Les différentes fréquences sont incohérentes entre elles : leurs intensités s'ajoutent. dI(τ) = I_0ν(ν)[1 + cos(2πντ)] dν.

3.3.3.17.4. Molécule ponctuelle : E = ½ m V² (énergie cinétique de translation). L'effet Doppler ne fait intervenir que la composante V de la vitesse sur la direction d'observation, d'où la répartition gaussienne dP = P₀ exp(−mV²/(2k_BT)) dV (loi de Maxwell pour une composante).

3.3.3.17.5. ν ≈ ν₀(1 + V/c) ⇒ V = c(ν − ν₀)/ν₀. L'intensité émise dans [ν, ν + dν] est proportionnelle au nombre de molécules ayant V dans [V, V + dV] : I_0νdν ∝ exp(−mV²/(2k_BT)) dV, d'où I_0ν(ν) = I₀ exp[−mc²(ν − ν₀)²/(2k_BTν₀²)], soit a = (ν₀/c) √(2k_BT/m), m = M/N_A étant la masse d'un atome de mercure.

3.3.3.17.6. Courbe en cloche (gaussienne) symétrique centrée sur ν₀, de maximum I₀, valant I₀/e pour ν = ν₀ ± a ; très étroite (a ≪ ν₀).

3.3.3.17.7. I_0ν = I₀/2 pour (ν − ν₀)² = a² ln 2 : Δν = 2a√(ln 2) ≈ 1,67 a. a est la demi-largeur à 1/e : elle mesure l'élargissement Doppler, proportionnel à la vitesse thermique √(2k_BT/m). F = ν₀/Δν = c/[2√(ln 2)·√(2k_BT/m)].
A.N. : m = 0,2006/6,02·10²³ = 3,33·10⁻²⁵ kg ; √(2k_BT/m) = √(2 × 1,38·10⁻²³ × 500/3,33·10⁻²⁵) = 204 m·s⁻¹ ; ν₀ = c/λ₀ = 5,49·10¹⁴ Hz ; a = 3,73·10⁸ Hz ; Δν ≈ 6,2·10⁸ Hz ; Δλ = λ₀Δν/ν₀ ≈ 6,2·10⁻¹³ m = 0,62 pm ; F ≈ 8,9·10⁵. Longueur de cohérence correspondante : L_c ≈ c/Δν ≈ 0,5 m.

3.3.3.17.8. I(τ) = ∫ I_0ν(ν)[1 + cos(2πντ)] dν. Premier terme : ∫ I₀ e^{−(ν−ν₀)2/a2} dν = I₀a√π. Second terme = partie réelle de e^2jπν₀τ ∫ I₀e^−u2/a2e^2jπuτdu (u = ν − ν₀), qui vaut, d'après l'intégrale de Gauss avec b = a et x = τ : I₀a√π e^−π2a2τ2 cos(2πν₀τ). D'où
I(τ) = I₀a√π [1 + exp(−π²a²τ²) cos(2πν₀τ)].

3.3.3.17.9. L'enveloppe varie lentement devant cos(2πν₀τ) (a ≪ ν₀) : localement I_M = I₀a√π(1 + e^−π2a2τ2) et I_m = I₀a√π(1 − e^−π2a2τ2), d'où C(τ) = exp(−π²a²τ²). Graphes : C(τ) est une gaussienne décroissante, égale à 1 en τ = 0 ; I(τ) oscille rapidement (période 1/ν₀) entre les enveloppes I₀a√π(1 ± C(τ)), avec des oscillations qui s'amortissent et tendent vers la valeur moyenne I₀a√π.

3.3.3.17.10. L'enveloppe (le contraste) de l'interférogramme est la transformée de Fourier normalisée du profil spectral. En mesurant C(τ), on obtient a : par exemple C = 1/2 pour τ_1/2 = √(ln 2)/(πa), d'où Δν = 2 ln 2/(π τ_1/2) (τ = 2e/c se lit sur la position du miroir). Plus généralement, une transformée de Fourier de l'enregistrement I(τ) restitue le profil spectral complet (principe de la spectroscopie par transformée de Fourier) ; la forme gaussienne de C(τ) confirme le profil gaussien, et l'ordre de grandeur de la longueur de cohérence c/Δν donne la largeur de raie.

3.3.4. Franges d'égale épaisseur

3.3.4.1. Placer le diaphragme (petit trou) éclairé par la lampe au foyer objet de (L₁). Pour le trouver, on utilise l'autocollimation : un miroir plan placé après (L₁), perpendiculaire à l'axe, renvoie la lumière ; on déplace (L₁) jusqu'à ce que l'image du diaphragme se forme, nette, sur le diaphragme lui-même. Le faisceau sortant de (L₁) est alors parallèle (quasi parallèle à cause de la taille finie du trou) ; on retire le miroir et on dirige ce faisceau vers l'interféromètre.

3.3.4.2. Schéma : (M'₂), image de (M₂) par la séparatrice, fait l'angle α avec (M₁) ; au contact optique, les deux plans se coupent selon une arête commune : on obtient un coin d'air d'angle α. Un rayon incident donne un rayon réfléchi sur (M₁) et un rayon réfléchi sur (M'₂), qui font entre eux un angle 2α. Sources secondaires : S₁, image de S par (M₁), et S₂, image de S par (M'₂) ; S₂ se déduit de S₁ par une rotation d'angle 2α autour de l'arête.

3.3.4.3.1. Au point P, à la distance X de l'arête, l'épaisseur du coin vaut e(X) = X tan α ≈ αX. En incidence quasi normale : δ(P) ≈ 2e(X) = 2αX. δ ne dépend que de X : les franges sont des droites parallèles à l'arête (franges d'égale épaisseur). Deux franges brillantes consécutives correspondent à Δδ = λ'₀ : i_m = λ'₀/(2α).

3.3.4.3.2. OA = −23 cm, f'₂ = 20 cm : 1/OA' = 1/20 − 1/23 = 3/460 cm⁻¹ ⇒ d' = OA' ≈ 153 cm = 1,53 m.

3.3.4.3.3. γ = OA'/OA = 153,3/(−23) ≈ −6,7 (image renversée, agrandie 6,7 fois).

3.3.4.3.4. i_é = |γ| i_m = |γ| λ'₀/(2α).

3.3.4.3.5. λ'₀ = 2α i_é/|γ| = 2 × 3,0·10⁻⁴ × 6,0·10⁻³/6,67 ≈ 5,4·10⁻⁷ m = 540 nm (radiation verte ; compatible, aux incertitudes de mesure près, avec la raie verte du mercure).

3.3.4.4. 1) Partant du coin d'air près du contact optique, diminuer l'angle α avec les vis de réglage fin du miroir : les franges s'élargissent ; poursuivre jusqu'à obtenir une teinte uniforme sur tout le champ (α ≈ 0, e ≈ 0). 2) Translater (M₂) avec le chariot pour créer une épaisseur e. 3) Changer l'éclairage : passer de la lumière quasi parallèle à une lumière convergente (condenseur faisant converger la source sur les miroirs). 4) Changer la projection : observer à l'infini, l'écran étant dans le plan focal image de la lentille (et non plus conjugué des miroirs). 5) Retoucher le parallélisme pour obtenir des anneaux centrés et stables.

3.3.4.5. Les franges du coin d'air existent pour tout angle α petit : il suffit d'un réglage approximatif du parallélisme, et elles sont localisées près des miroirs, faciles à trouver en lumière quasi parallèle. Les anneaux exigent au contraire des miroirs rigoureusement parallèles (à une fraction de λ/D près sur le diamètre D des miroirs, soit quelques 10⁻⁵ rad), ainsi qu'un éclairage convergent et une observation à l'infini : le réglage est beaucoup plus délicat.

3.4. Application : mise en évidence d'un défaut d'épaisseur

3.4.1. En lumière parallèle (i = 0) : p = 2e/λ_m = 2 × 2,69/0,633 ≈ 8,50, ordre demi-entier. I = I₀[1 + cos(2πp)] = I₀[1 + cos 17π] = 0 : tous les rayons ayant la même incidence, l'intensité est nulle en tout point du capteur (fond noir).

3.4.2.1. Le rayon (2) se réfléchit sur le défaut, en saillie de a vers la lumière incidente : son trajet aller-retour est raccourci de 2a par rapport au rayon (1). Δ(δ) = 2a (en valeur absolue ; le signe dépend du bras où est placé le miroir), et la différence de phase varie de Δφ = 2π·2a/λ_m = 4πa/λ_m.

3.4.2.2. Hors du défaut, l'ordre est demi-entier et l'intensité nulle. À l'endroit du défaut, la différence de marche devient 2e ± 2a : l'ordre n'est plus demi-entier (sauf cas particulier), l'interférence n'est plus destructive et une intensité I' ≠ 0 apparaît : le défaut se voit comme une tache claire sur fond noir.

3.4.2.3. I' = I₀[1 + cos(2πp ± 4πa/λ_m)] avec 2πp = 17π : cos(17π ± x) = −cos x, d'où I'(a) = I₀[1 − cos(4πa/λ_m)].
a = 158 nm : 4πa/λ_m = 0,998π ≈ π ⇒ I' ≈ 2I₀ (maximum, défaut très visible).
a = 316 nm : 4πa/λ_m = 1,997π ≈ 2π ⇒ I' ≈ 0 (≈ 5·10⁻⁵ I₀) : le défaut est invisible.

3.4.2.4. Visibilité maximale pour I' = 2I₀ : 4πa/λ_m = (2n + 1)π, soit a = (2n + 1)λ_m/4 (a = λ_m/4 ≈ 158 nm, 3λ_m/4…). Le défaut est invisible pour a = nλ_m/2.

4. Histoire : l'expérience de Michelson-Morley

4.1. Dans le référentiel de l'éther, la lumière va à c ; dans celui du laboratoire (composition galiléenne des vitesses), on prend le bras OO₂ parallèle à u.
Bras parallèle (OO₂O) : vitesse c − u à l'aller, c + u au retour : t₂ = l/(c − u) + l/(c + u) = 2lc/(c² − u²).
Bras perpendiculaire (OO₁O) : la vitesse de la lumière par rapport au laboratoire, perpendiculaire à u, a pour norme √(c² − u²) : t₁ = 2l/√(c² − u²).

4.2. Pour u ≪ c : t₂ ≈ (2l/c)(1 + u²/c²) et t₁ ≈ (2l/c)(1 + u²/(2c²)), d'où Δt = t₂ − t₁ ≈ lu²/c³ et δ = cΔt = l u²/c² = 10 × (3·10⁴/3·10⁸)² = 1,0·10⁻⁷ m = 100 nm, soit δ/λ₀ = 100/589 ≈ 0,17 frange.

4.3. Oui, selon la mécanique classique : δ dépend de u² et de l'orientation de l'appareil. En tournant l'interféromètre de 90°, les rôles des bras s'échangent et la figure devrait se décaler de 2δ/λ₀ ≈ 0,34 frange, décalage facilement mesurable.

4.4. Aucun décalage n'est observé : la vitesse de la lumière est la même dans toutes les directions et pour tous les référentiels galiléens. La loi galiléenne de composition des vitesses (mécanique classique) est mise en défaut pour la lumière ; l'hypothèse de l'éther est abandonnée et ce résultat conduit à la relativité restreinte (invariance de c, transformation de Lorentz).