Modèle de concours : CNC 2025 Physique I (TSI) — Concours National Commun

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e On veillera à une présentation et une rédaction claires et soignées des copies. Il convient en
particulier de rappeler avec précision les des questions abordées.

e Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale
sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant clairement les raisons des initiatives qu'il est
amené à prendre.

e Toutes les réponses devront être très soigneusement justifiées.

e Si un résultat donné par l'énoncé est non démontré, il peut néanmoins être admis pour les questions
suivantes. Ainsi, les diverses parties de l'épreuve sont relativement indépendantes entre elles.

Microscope électronique à balayage

La microscopie (en grec ancien, mikros et skopein signifient respectivement « petit» et
«examiner ») est un ensemble de techniques d’imagerie objets de petites dimensions. Un
microscope électronique est un type de microscope qui utilise un faisceau d'électrons pour illuminer
un échantillon et en créer une image très agrandie.

Le sujet est composé de deux parties indépendantes. La partie 1 est notée sur 4 points, la
partie 2 sur 16 points.

Données :

- Charge d’un électron : q, =-e -1,60.10 ©

- Masse d’un électron : m, =9,11.10*'kg.

- Constante de BOLTZMANN : k, ‏1,38.10ح‎ 27.20

- Constante de PLANCK : h = 6,63.10 77.5٠

= Vitesse de la lumière dans le vide : c = 3,00.10%m.s”!.

- Accélération de la pesanteur : ‏ع‎ 9,8171577

= leV - 1,6.107 77٠

= Équation de POISSON satisfaite par le potentiel électrostatique V : AV + £ 0

Partie 1

Accélération des électrons

On s’intéresse dans cette partie à l’accélération des ©
électrons dans une chambre d’accélération. Une zone de champ
électrique uniforme (figure 1) est établie entre deux armatures,
(A, ) et (A, ) , planes, parallèles distantes de ‏ره‎ et séparées par du

vide quasi-parfait (le champ est supposé nul en dehors et on
néglige les effets de bord). La différence de potentiel entre les
deux armatures est U=V, —V,, où V, est le potentiel de (A, ) et

V, celui de (A,). Un électron assimilé à un point matériel, de
masse m, et de charge q,, pénètre en A, , avec une vitesse nulle.
On se place dans le référentiel du laboratoire (R) , supposé

galiléen, associé à un repère cartésien (Aeee:) . Dans les

conditions de l’expérience, le potentiel électrostatique en un (4) (da)

point de l’espace entre les armatures ne dépend que de la

coordonnée z du point, V = V(2). Figure 1 : Accélération des

électrons

Épreuve de Physique 1 1/7

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On néglige le poids de l’électron par rapport à la force électrostatique ainsi que tout
frottement. On donne d, =10cm.

1. Définir un référentiel galiléen. Pourquoi est-il pertinent de considérer le référentiel du
laboratoire comme galiléen dans cette étude ?

2. Établir l’expression du potentiel électrostatique V(z) en un point de l’espace entre les
armatures. En déduire l’expression du champ électrostatique entre les armatures.

3. Établir l’expression vectorielle de la force de LORENTZ F, subie par l’électron en fonction
de U, e, d, et 2

4. Quel doit être le signe de la tension entre les armatures de la cavité pour que les électrons
soient accélérés ?

5. Justifier quantitativement que le poids de l’électron peut être effectivement négligé devant la
force de LORENTZ.

6. On se place dans le cadre de la mécanique classique. Appliquer le théorème de l’énergie

cinétique sous forme intégrale à l’électron dans le référentiel (R) entre (A,) et (A,)-
Exprimer puis calculer numériquement la vitesse y, acquise par l’électron lorsqu’il atteint
l’armature (A, ) pour U =10kV , U =100kV et U =1000kV . Commenter.

Partie 2

Microscope électronique à balayage

La microscopie électronique est une technique de
microscopie utilisant les diverses interactions électrons-matière
pour produire des images en haute résolution de la surface d’un
échantillon à analyser. Le premier microscope électronique fut
conçu en 1931 par Ernst RUSKA (prix Nobel en 1986) avec une
résolution de quelques dizaines de nm . Le microscope
électronique à balayage (MEB ou SEM pour Scanning Electron
Microscopy) a été proposé par Max KNOLL dès 1935. Dans un
MEB, un faisceau d’électrons est envoyé sur l’échantillon à
analyser qui, en réponse, réémet certaines particules. Ces
particules sont analysées par différents détecteurs qui
permettent de reconstruire une image en trois dimensions de la
surface.

Un MEB est constitué d’un canon à électrons, d’un
système de lentilles magnétiques, de bobines de balayage,
d’une pompe à vide et d’un détecteur d’électrons secondaires
(figure 2). Figure 2 : Principe du MEB

1. Fabrication d’un faisceau d’électrons

Un canon à électrons à émission de champ est la source du faisceau d’électrons qui viendra
balayer la surface de l’échantillon analysé. Il est composé d’une cathode, pointe conductrice très
fine, (figure 3) que l’on porte à un potentiel négatif. Un champ électrique très intense, de 10° à
10"V.m”', est ainsi créé à l'extrémité de la cathode et permet alors d’extraire les électrons du
sommet de la pointe par effet tunnel. Ces électrons sont ensuite accélérés à l’aide d’un champ
électrique uniforme, créé entre l’électrode d’extraction et l’électrode d’accélération planes et
parallèles et séparées par du vide quasi-parfait (figure 4).

Épreuve de Physique 1 2/7

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1.1. On montre que le champ électrique maximal situé au sommet de la pointe a pour expression

=—’— . Calculer numériquement le champ électrique d’émission E, pour

‎=4kV. On donne d=1mm.‏ ىنا

‎ointe

‎Anode Anode
d’extraction d'accélération

‎Figure 3 : Pointe de rayon de courbure 5 =1um Figure 4 : Canon à émission de champ

‎1.2. On note V, le potentiel électrique de l’électrode d’extraction par rapport à la masse. Quel
doit être le signe de V, pour que les charges s’écoulent de la pointe de la cathode vers
l’électrode d’accélération ?

‎1.3. On considère la vitesse initiale de l’électron ‏مجحب‎ à hauteur de l’électrode d’extraction.
Calculer numériquement le potentiel V, si l’on veut communiquer à l’électron émis une

‎énergie potentielle F,=15keV.

‎1.4. En déduire la valeur numérique du potentiel de la pointe V, par rapport à la masse.

‎2. Fonctionnement d’une lentille magnétique

‎Une fois les électrons extraits et accélérés, ils doivent être regroupés de manière à former un
faisceau cohérent. C’est le rôle des différentes lentilles de la colonne du microscope. Celles-ci
constituent l’étage condenseur et objectif. Ce sont ces lentilles qui permettent de « diriger » les
électrons. Une lentille magnétique est constituée d'un enroulement de spires conductrices
parcourues par un courant électrique, engendrant un champ magnétique axial (figure 5a).
L'ensemble des enroulements est enfermé dans une armature ferromagnétique qui piège le champ
magnétique. Un anneau de cuivre, diamagnétique, permet aux lignes de champ de s’extraire
localement de l’armature (figure 5b). En donnant à l’armature une forme particulière au voisinage
de cet anneau (« pièces polaires ») (figure 5c), on concentre le champ magnétique au voisinage de
l’axe.

‎N enroulement

‎Figure 5 : Lentille électromagnétique

‎Épreuve de Physique I 3/7

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La figure 6 schématise la lentille magnétique constituée par le champ magnétique non
uniforme, d'axe de révolution Oz créé dans l'entrefer de pièces polaires, entre les plans (P) et (P,)
symétriques par rapport au point O. On modélise la source du champ magnétique par une bobine
plate de N spires circulaires de rayon a, de centre O, d’axe Oz et parcourue par un courant
électrique d’intensité stationnaire Z (figure 7). Les composantes du champ magnétique
B=B(r,p,z) dans la base cylindrique (eee. sont respectivement B,(r,p,z) » B,([email protected]) ‏د‎
‎B.(r,p,z) - La position d’un électron, supposé non relativiste, est repérée par le point M de
coordonnées cylindriques r(r) , ‏ماه‎ et ‏وى‎ (figure 7). L’axe Oz étant l’axe de symétrie de
l’enroulement centrée en O, confondu avec l’axe de révolution du faisceau électronique. On
négligera le poids de l’électron. On suppose que le faisceau électronique reste en permanence au
voisinage immédiat de l’axe de la bobine.

On note u, la perméabilité magnétique du vide.

P, P. 2
2 2 Bobinage produisant

77
Objet ‏ال )ها‎

en Oy7 ‏ب وب ون‎ 2
d'électrons

Figure 6 : Lentille magnétique Figure 7 : Repérage du point M
2.1. Justifier que le champ magnétique B(O") créé par la bobine plate au point O' de son axe est
porté par Oz, B(0")= B,(0"e.
2.2. Montrer que le champ magnétique 282)0( se met sous la forme

2 I Bobine

2 -3/2
B.(0")= B(z)= B,|1+ 8 . Donner l’expression de B, -

2.3. Tracer l’allure du module de B(O") en fonction de z . Dans quelle région le champ
magnétique est-il intense ?

2.4. Dessiner l’allure des lignes du champ magnétique en précisant leur sens.

2.5. Justifier que le champ magnétique en un point M repéré par ses coordonnées cylindriques

2.6. En écrivant la conservation du flux magnétique à travers les surfaces limitant le volume d’un
cylindre d’axe Oz, de rayon r et de longueur dz, montrer qu’au point M au voisinage de

l’axe du bobinage, on a B, (r,z) = ;, : (rs2)

On considère un électron incident ayant coupé l’axe Oz de l’enroulement au point A en
amont de la lentille, sous l’angle œ. Dans la géométrie du champ magnétique étudié, la trajectoire
de l’électron reste au voisinage immédiat de l’axe et on peut considérer que la composante axiale de

B proche de l'axe ne dépend pas de ‏رم‎ B.(r,z)= B.(0,z2) = B(z) . L’électron est en mouvement à la
vitesse y par rapport au référentiel du laboratoire (R) supposé galiléen. Sa vitesse initiale 7 en A

est dans le plan méridien ‏محم‎ et est quasi colinéaire à l’axe Oz (l’angle @ que fait 0 avec l’axe
Oz est de faible valeur).
2.7. Exprimer le vecteur position OM , le vecteur vitesse v(M,R) et le vecteur accélération

a(M,R) de l’électron en coordonnées cylindriques dans le référentiel (R).

Épreuve de Physique 1 4/7

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2.8. Écrire l’expression de la force de LORENTZ F, appliquée à un électron.

2.9. Justifier que le champ magnétique seul ne permet pas d'augmenter la vitesse de l’électron.
2.10. Ecrire le principe fondamental de la dynamique pour un électron dans le référentiel (R)

2.11. En considérant des électrons qui se déplacent selon les génératrices d'un cylindre, préciser
l’effet de chacune des composantes, radiale B, et tangentielle ‏.ع‎ du champ B.

2.12. Par projection du principe fondamental de la dynamique respectivement sur e, ; 7 et 2 ;
déduire trois équations différentielles que l’on numérotera respectivement (1), (2) et (3).

2.13. Par projection du principe fondamental de la dynamique respectivement sur e, ; e, et e. ;

montrer qu’à l’intérieur des la bobine, les équations différentielles du mouvement d’un
électron sont données par :

7 ‏عد | ء-‎ fr d 0
dr dt 71, “dt

Le(r de) = ‏ع د ما‎ 2)
rdt\_ dt} m\ dt dt

entr @)
41 7 dt

2.14. De la relation (2) établie dans la question précédente, déduire par intégration la relation :

Et 2
2.15. En reportant le résultat trouvé dans la question précédente dans la relation (1), montrer que

+ 0 . Montrer que la constante d’intégration 0 est nulle.

4 5 +KrB’(z)=0, K étant fonction ‏عل‎ e et m, que l’on déterminera.

l’on obtient

2.16. Que devient l’équation (3) si l’on néglige le terme du second ordre en 7 En déduire

l’expression simplifiée de da ;
2.17. Montrer alors que l’on obtient —l’équation différentielle en r(z)
d’r e

d?  4m'v;cos’ a

Afin de déterminer la relation de conjugaison
de la lentille magnétique, on considère un électron
incident ayant coupé l’axe de l’enroulement au point
objet A puis dévié par la lentille et recoupe l’axe au
point image A' (figure 8). On fait l'approximation des 1 0: 0 0 ‏ال‎
‎lentilles minces en supposant que la distance entre les ©
plans (P) et (P,) est faible devant la distance OA. Figure 8 : Allure de la variation de en
Dans le deuxième membre de la relation obtenue dans fonction de z.

la question 3.16, on considère alors que y est constant et égal à 7, . On suppose ainsi que la lentille

crée un champ magnétique nul partout sauf entre les cotes z(O,)=z, et z(0,)=z, . La figure 8

représente également allure de la variation de r(z) en fonction de z.

2.18. Quel est l’analogue du rayon lumineux de l’optique géométrique pour le microscope
électronique ?

2.19. Exprimer ‏ا‎ et (=) en fonction de OA, OA' et r,-
‏ملع‎ ١46 Je

Épreuve de Physique 1 5/7

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2.20. Montrer que l’on obtient + ‏امل‎ . Commenter cette relation et exprimer la distance

OA' OA f'

focale f' de la lentille en fonction de e, m,, v, et de ١ B’(z)dz. Justifier que f' est
indépendante de la polarisation du champ magnétique.

2.21. La lentille magnétique est-elle convergente ou divergente ? Peut-on avoir l’autre type ?

2.22. De quel(s) paramètre(s) dépend la distance focale de la lentille magnétique ?

2.23. La tension accélératrice (/ étant fixée, sur quel(s) paramètre(s) peut-on agir pour modifier
très précisément la valeur de ‏م‎ ?

2.24. Pourquoi les lentilles magnétiques ne sont pas appropriées pour la focalisation des ions ?

2.25.  Simplifier l’expression de f' en supposant B(z)= B, constant entre z, et z, et en prenant

2.26. Évaluer f' pour z,-z =1Imm ; B,=17T et v, =2. 10$m.s* . Conclure sachant que la
distance focale d’un microscope est de l’ordre du millimètre.

2.27. Parallèlement à la convergence, le faisceau électronique subit une rotation d’angle ‏.م‎
‎Expliquer et tracer l’allure de la trajectoire d’un électron.

3. Pouvoir de résolution du microscope électronique

Les électrons qui bombardent la surface de l’échantillon observé proviennent du canon à
électrons. L’énergie cinétique qu’ils possèdent est celle qu’ils ont à la sortie du canon à électrons.
Le pouvoir de résolution 5, d’un instrument correspond à la

distance minimale qui doit séparer deux points de l’objet observé
pour qu’ils soient correctement discernés par l’instrument. On peut
montrer que le pouvoir de résolution d'un microscope (optique ou
électronique) d’ouverture numérique ‏ونه‎ =nsinu est donnée par la

relation 6 =0,61 ‏م‎ , À, étant la longueur d’onde dans le vide du

8 0 Objectif
rayonnement utilisé, n l’indice du milieu dans lequel ce
rayonnement se déplace et y l'angle de vue de l'objectif du
microscope depuis l’échantillon (figure 9).

Figure 9 : Angle de vue de
l'objectif

3.1. Quel est le phénomène physique qui limite le pouvoir de résolution d’un microscope 7 Un
microscope optique ne peut révéler des détails plus petits que l’ordre de grandeur de la
longueur d’onde de la lumière visible. Expliquer pourquoi et donner une valeur numérique
typique.

3.2. Expliquer ce qu’est la dualité onde corpuscule. Ces deux aspects sont-ils inséparables ?

3.3. En 1924, Louis DE BROGLIE émet l’hypothèse qu’il est possible d’associer à tout corpuscule

matériel, de quantité de mouvement ‏رم‎ une onde de longueur d’onde À,,, = 8 Exprimer la
longueur d’onde À;,, associée à un électron non relativiste et de vitesse y; en fonction de
La tension d'accélération est habituellement de plusieurs milliers de volts, permettant à
l'électron d'atteindre une proportion appréciable de la vitesse de la lumière c. À ces vitesses, les
effets relativistes doivent être pris en compte. En mécanique relativiste introduite par EINSTEIN en

1905, l’énergie cinétique et la quantité de mouvement de l'électron s'écrivent respectivement,
1

272
0

Epreuve de Physique | 6/7

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3.4. Sachant qu’en mécanique relativiste, le théorème de l'énergie cinétique s’écrit de la même
façon qu’en mécanique classique, montrer que la vitesse acquise par un électron de vitesse

initiale nulle lorsqu’il est accéléré par une tension ‏ان‎ est donnée par y; =c |1-

Calculer y; pour U =10kV , U=100kV et U =1000kV . Commenter.

‏وميا‎

3.5. Montrer que la longueur d'onde des électrons est modifiée selon : Àjpp =

206
Retrouve-t-on l’expression obtenue dans la question 3.3 ?
3.6. On peut ainsi déterminer, en fonction de la tension accélératrice U, la longueur d’onde

;pg› dans l’hypothèse relativiste, et comparer ses valeurs avec celles de la longueur d’onde

classique À,,p que l’on obtiendrait si l’on ne prenait pas en compte la relativité restreinte.
Calculer App © Âjpp ‏عناوم‎ U=10kV , U=100kV et U=1000kV . En quoi, au vu des

valeurs de À,,, €t de À;p» peut-on dire que les effets relativistes limitent la résolution
intrinsèque du microscope électronique ?
3.7. Pour un microscope optique, on prend n=1, u=85° et À, = 589nm .
3.7.1. Donner les valeurs des longueurs d’ondes extrêmes (dans le vide) du spectre visible.
3.7.2. À quelle couleur correspond la longueur d’onde À, = 589nm ?

3.7.3. Calculer l’ouverture numérique œÿ et le pouvoir de résolution 6, pour le microscope
optique.

3.8. Pour un microscope électronique, on prend n=1 et u=10""rad . Les électrons sont
accélérés par la tension U - 100717 .

3.8.1. Calculer l’ouverture numérique ‏أن‎ et le pouvoir de résolution 6; pour le microscope
électronique pour la tension d’accélération U =100kV . Comparer 6; à 5° et conclure.
3.8.2. On suppose l’ouverture numérique w; constante. Dans quel sens faut-il varier la tension

accélératrice U si l’on souhaite améliorer la résolution des images obtenues ?
3.9. Expliquer l’intérêt d’utiliser des électrons plutôt que les photons de la lumière visible pour
effectuer de la microscopie.

Épreuve de Physique I 7/7

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