Modèle de concours d'admission en 1re année de l'École Mohammadia d'Ingénieurs (DEUG et Licence) — session du 15 juillet 2019 — épreuve de mathématiques

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‎MOHAMMED V DE RABAT \‏ م2
المدرسة المحمدية للمهندسين فى /= ‎MOHAMMADIA D'INGENTEURS‏ نموم
‏جامعة محمد الخامس بالرباط
‎CONCOURS 10410111551017
EN PREMIRE ANNE
‎DEUG ET LICENCE
‎/
‎ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
‏سم
‎Lundi 15 juillet. 2019‏
‎Durée 3 houros
‎ls présentation, ls lisibilité, l'ecthogrephe, la qualité de Îs rédaction, Îa clarté ot 12 précision
des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
‎Les candidats sont invités 4 encadrer, dens la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document.
‎8: un cnndidat cot amnné à repérer ce qui peut loi sambler fre nina arranr d'éranré, il ‏ما‎ gignalora
sur ss copie ct devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a
été amené à prendre,
‎L'épreuve comporte deux problèmes ludépeudants à rédiger sur des feuilles séparées
Nombre de pages : 5 |
‎CE
‎ose.
‏شارع ابن سيناء من.ب 765 - اكدال - الرباط - المغرب 6 ‎Sie 6.7. 765 - Ada - Kat - Mar0C‏ مع ممع |
- الفاكس :53 7788 37 05 : ‎Fan‏ » الهاتف :50 21 68 18.16.0337
‎[TE ere PEN EEE

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PARTIE I : ANALYSE
1- Des séries convergentes
‎une suite de nombres rnmplexes.‏ ريل باه ‎réch‏ حص طسمه ‎ne suite de‏ برجم (مه) ام
‎È ah et B= Ë be.‏ = يي : ‎Pour tout n € IN, on pose‏
‎1) ‏كط‎ que pour ‏"27ج د اننا‎ On — ‏ب‎ (os Sci): 2 0
‎2( On suppme que la suite (a), est décroissante . Ja suite (B,).<n ‏كه‎ bornée et que
im ‏م‎ = = 0.
‎7) 1 Vérifier que la série à (as — ‏(ربية‎ converge , en déduire ‏جا‎ convergence de Ja série JC ‏ماضن‎
‏اا ‎démontrer‏ لف ‎olécauéos‏ لنالملنن الل حولت ‎des‏ ليله اللنداه " ريض ‎Duvuva x‏ )22
‎appliquant le résultat du 2-1) avoc bien évidemment un bon choix des suites (au) pe Et (bn):
‎3) Application 1: Soit 0 > R\{247/k€Z}æa€R.
‎3-1) Pour tous n € AV”, monsrer que Ÿ 6% = er". sea
‏اس
‎ot sa oppliquont erégnenrement les résnltate An 2-1),‏ © لمق ‎Düouter aloro, où fonction du‏ )2 9
‎le convergexce de la série DE —-‏
ف اج«
ت) 27
) 1 = (2) ملا ‎part‏ هه ‎r et tout antier natnrel non nul n,‏ اجام ‎Pour tout‏ (4
‎Désnontrer ls convergence simple de la série de fouctices > u, sur R
‎+
‎Dans toute la suite on pose u(z) = ‏.ملا لم‎
5) Application 2: Soit > 0 ‏اندي‎
‎Montrez que la série £ [exp ‏عبج‎ 0) 0 i] converge si et seulement si + > EE (Essayer de vous
72106067 aux ‏ل تاريغت‎
‏نتن‎
‎6( Application 3: Fendiar La convergence de ‏.دز‎ où 5, = [T 0 + ‏نيا‎ pour tant n <9
‎n2i PL :
‎1- Convergence uniforme
On prend toujours ‏برمو(ءة)‎ une suite de nombres réels .
On suppose que (a). n est décroissunte et que HT Ga =0.
‏انمع‎ À une partio de ©. Soit ‏بريم(م/)‎ une suite de fonctions défiuxs de À durs ©
Pour tout (n, x} € IV x À, on pase FA (2) = $ fi (2).
On suppase qu'il existe M > 0 tel que 7 (ne HxA) |P(:)I<M.
1-3} Montrez que ‏ما‎ suite de fonctions (a. F)en converge uniformément sur À et que ln série

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وال ....<<.
‎unifor-‏ ©4101 وأ
‎de fonctions & (a. - a.
‎ccuvenge nowaleinent sut À,‏ بل لد
‎1?) Dédue en en à laïde de ‏مز‎ Question 1.2.1) que In ‏مياص‎ de fonctions Lan.
mment sur À, ‏ان‎
‎2( Une application. Suit a El0, x.
‎Montrer que la ‏ماك‎ de fonctions D ‏متا‎ 0011000 unifonnément sur [a, 2x - a),
Que dire de La continuité de u sur 7 25] 7 justifier,
3( Four toët (p,n) € A x N° et tout ‏ع‎ € R, on pose ‏رئ الل‎ m M URE) Ni (2)
‎Décrvutier que pour tout ‏م‎ € AN la série de fonctions pas ‏,أل‎ converge uniformémest sur
l'intervalle [0. x.
‎111- Applications sur les sérics entières
‎Où suppu isiatenant que (asser ‏أن‎ une suite de nombres complexes.
‎On considère la série entière complexe S'a2",
‎1) On note R le sup dans R, U{ +00} de l'enstmble {r > ‏"يوار‎ est éornée déns (C,| |)}.
‎Montrer qi ‏صفح‎ tant »  R la crie ‏تيم‎ Lone° sonroge aullormtinens sur © )0,7( =
601:15 (
‎Dans la suite ‏كل‎ candidat peut utiliser les rèsultats de cours sur les ‏كفا‎ entitres,
‎2) On considère la série entière 5 = 7
‎LEZ
‎2-1) Rappeler en le justifiant La valeur du rayon de convergence À de cette série entière,
2-2] Montrer que la sitie entière réelle ‏زج‎ 7 ne comvrge pas uniformément sur ] - 3, 1f,
"1
‎Que peut on déduire pour la convergence uniforme de la série entière complexe D 7 sur
‏ا‎
‎D(0,1)— {se © | ‏؟13 نك‎ juifs.
2-3) Pour tout ‏ه‎ 60,5] , on note D, = ): 6 ©/ |: ]5 1 et Re(z) > cs (alt.
‏دقافلا‎ que D, est un compact de (C,| 1).
Pour à = ? , représentée géoemétriquement les points M dont ‏كيل‎ afixes appartiennent À D;
dass un repère orthonormé du plan. .
2-4) Pour ‏اناما‎ € AN° et tout z € D(0, 1}, va note F, (z) = 2 2.
Muutces que, puur ‏,وزع ى أقاناا‎ 0 Eu se Dos Mu ‏و‎ )4( |S T— cu (a)
x
2 6) En déduire que pour tout à €]0, Y{ La série entitro complexe £ 7 converge ‏بعاد ورامك‎
‎sar De.

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PARTIE IT : ATGRRRE.
Calcule de distances ontro une matrice et certaines parties de At,(A)
Dans ce sujet, n est un entier naturel non nul et on note :
MAR) : ‏ها‎ Ralgôbre des matrices carrées réelles d'ordre ‏د‎
Maa(R) : le ‏:مووي‎ vectoriel des matrices à nr lignes et à une calonne,
Pour une matrice À dé M(4f) , 4° est £a matrios trenspooe, rang (A) son rang et Tr (A) sa
trace, 1, la matrice unité de M.{R)
SUR): le sous-espace vectoriel des matrices symétriques de M,(R).
AR): le ous-cspace mctoril des matrices antisymétriques de M, (FR).
STCR): l’ensemble de matrices poritivw ‏مك‎ SnÛR), ‏أتداه‎ à dire des matrices À de SR)
Wtifiant : pour toute matrice X € Ms (R}, XEAX > 0.
GLn(R) : k groupe des matrices inversibles de M,(R).
O.fRY ke gnmne dre motrice Solos omthogonoles ‏مع يميت دعل مئل انيت‎ M de Afo(At)
vérifiant : MU > ‏ل‎
1. ‏معدل‎ préliminaire1°). Snit la matrine
112
2-123 1 ١| &M,(R) on ‏ره ]د ووم‎
1 2 1
Diagonsliser ls matrice ff et déterminer une matrice P de Os{R) et une matrice diagonale D
à termes tous positifs telles que IN = ‏م براحم‎
?) On ‏عدم‎ 3 = PDP" € SY{H), montrer que la rolstion L = US définit une matrice
U € OsfFi) et calculer cette matrice. V
IL. Caleui de Ja distance de A à S.{R) at À 4,(R).
3). Soit À et PB deux matrices de M,(R), on pee (A! 2( ‏ع‎ Tr(A'8),
SAnit aies un produit scslsire sur M,(R). La norme associés à où
de Schur| est notée : 1 A [le (A | ‏اتام‎
Dans tout le sujet, & IT est une partie non vide de M{R), la distance d'une matrice A de
MGR) 4 ln partie [est Je rot A, IL) = ne IA — 44 ||.
#). Montrée que M. (M)
Montrer que l'on
produit scalaire {norme
= LR) © LR) et que ectte nomme divete est otthoganak, *
(|| e4 déterminer
5). Si À est une matrie de M (A), montrer que ‏,أب‎ S(R)) =] 1/2{4 — AC
de méme d{ A, A, (H)).
5). Calculer d{f, AR) à Fest ‏ذا‎ matrice cxemple de la ‏ينا يمح‎ f,
111. Calcul de la distance de À à O,(R).

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A. Théorème de la décomposition polaire
7°). Muulser qu'une ‏عاد‎ $ de SR) oppartiant À SYÛR) si ct sæulement si toutes les
valeurs propres de S sont positives ou nulles. y
8°) Si À est une matrice de MA(R) montrer que la matrice A°A € S4 (Ft) ٠
gr) Soit A une motrice de A,.(R), on supparr qu'il existe ‏فقن‎ matrice disponale D = ‏:)اه‎
à termes positifs telle que AA = 01. On note ‏ميش ريق‎ , An es matrices de Mal) qui for-
ment es colonnes de la matrice À.
a. Pour tout couple (5,5) d'enties naturels compris entre Let ni, évaluer ‏.رابا‎ En particulier,
si à est un entier pour lequel ‏بك‎ = 0 , que vaut 4?
b. Montrer que l'on peut trouver une base orthonormee (£3.£2,:-" . En) de AMAR) (per
rapport an produit salaire canonique (X.Y} = X'Y de M:(R) telle que, pour tout estier
naturel | entre Let n, À = dE.
€ En dédure qu'il existe une matrice Æ de OA (ER) telle que A = ED.
1®). Soit À et B deux matrices de M,(R} vérifiant A'A - B'B.
a. Montrer qu'il existe une matrice diaganale D à termes positifs et une matrice orthogonae
teurs que: P YAAT = -- 287 - D’.
b. Montrer qu'il existe une matrice U de O(R) telle que À = UB.
11°) Déduire des questions précédentes le théorème de décomposition polaire : our 1006
mautee À do Atn(8t), il cite une matrios LU de 02)19( ot nne matrer S de S+(R) telles que
A = US.
(Remarque : on peut égslement établir l'unicité de ‏ذا‎ matrice S de 5, (8) et mêrne l'uuivité
de In motrice U de ©,,(R)
B. Calcul de d{A,0,(8R))
12). Montrer que, pour loute matrice Af 6 MAR) ‏أن‎ pour ‏عابنا‎ matrice ft de O,(R),
|| ‏ااح كه تداز ععد‎ 4 E
13°). Dans la suite de cette partie, soit À une matrice de M, (BR), it U > OUR} S € SÈ(R)
telles que À = US ; 1l existe une matrice diagonole D et une matrito P do O.(R) ‏سالك‎ quo
S= PDP"\,
a. Motrer que, pour toute matrice £ de O.(R), | À - AIR ‏كدي‎ UT'R | et en déduire
que ‏(نطاءت باك‎ = 4(S, Ont).
8. Montrer que d{A, O,(R)) = d(D, O,(R)).