Modèle de concours d'admission en 1re année de l'École Mohammadia d'Ingénieurs (DEUG et Licence) — session du 14 juillet 2017 — épreuve de mathématiques

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CONCOURS D'ADMISSION
EN PREMIÈRE ANNÉE
DEUG ET LICENCE
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Vendredi 14 juillet 2017
Durée 3 heures
la présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision
des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera
sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a
été amené à prendre.
L'épreuve comporte deux problèmes indépendants à rédiger sur des feuilles séparées
Nombre de pages ( celle-ci non comprise ) : 5

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PARTIE I : ANALYSE.
1 6 © 1 _
Étude et calcul des intégrales Î 5 dr et [ SEE bz dx.
0 2
Pour tout réel t et tout entier n > 1, on pose :
Sr 1 ( t ) =
Dir
n n
+ Ÿ coskt et ‏طامنة‎ = S_sinkt.
‏احم‎ k=1
1°).
a) Calculer pour tout ‏ا‎ (Sn + 18) (D, (= 1).
b) En déduire alors, Sat).
7 Sin 0 +: 3).
c) Calculer la valeur Î - dt.
0 2 sin # 5
2°).
a) Démontrer que la fonction définie sur {0 ,x | par :
f(0) =
FE = ;
2sin£ sin; £
est continue et dérivable.
b) Montrer que sa dérivée f’ est bornée sur son intervalle de définition.
ge).
a) Montrer que la fonction f et sa dérivée f” vérifient l'égalité :
[ f()sin 6 + 1 :) tdt = ‏ب‎ + [ f'(É) cos 6 + :) tdt
b) En déduire alors un majorant pour l'intégrale du premier membre de l'équation.
c) Qu'en déduit-on lorsque n tend vers +00 ?
4°).
a) Donner les variations de la fonction :
sint
fit TT sur | 0,
wIA
b) En déduire alors les inégalités :
2 2 ot 7
= < [ ä sin 3% < 3
59

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a) Justifier pour 2 > 0, l'égalité suivante :
# sint 1— cosx z 1— cost
Î : a+ Î ad
b) Etudier ensuite la convergence de l'intégrale :
+0 gi
Î sin T dx.
0 2
6°).
a) Montrer, en le justifiant avec soin, que :
‎sinz + sin (n + 3 t di‏ أ
0
‎—dz = lim
2 no Jo t
‎b) En déduire alors la valeur de l'intégrale :
[” ‏بو كن‎
0 t
T°).
‎a) Étudier, pour m € ÆR, la convergence de l'intégrale :
‎+0 sinmT
——— dx.
0
‎2
‎b) Calculer pour tout m réel :
+© 27
‎A(m) = Î TE dr.
‎2
‎8°).
‎a) Soient a et b deux réels différents. Montrer qu'il existe un réel c, tel que la fonction k
définie sur 117 par :
‎cos br‏ — عد ووم
‎Rasa‏ =
2
‎Vr>0, k(z) = 2 etpour æ=0, k(x)=c
‎soit continue sur 187 et donner alors la valeur de c.
b) Etablir la convergence de l'intégrale impropre :
‎© COS AT — COSbT
I(a,b) = Î ‏لت‎
‎ٍ c) Calculer J(a,b) en fonction de |a|et|b|.

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PARTIE 11: ALGEBRE
Soit E = R3,E est un espace vectoriel euclidien muni de la base orthonormée (i,,j, k).
Dans E : Le produit scalaire sera noté par <x, y>, le produit vectoriel sera noté parx y
etla norme parll xl].
a
Soitu = 0 un vecteur unitaire de E, et D l'axe orienté par u.
c
Pour tout réel À non nul on notera f, l’endomorphisme de E qui à x associe f,(x) avec
‎x + À <x, u> u‏ حرا
‎1) Montrer l'existence d’une base orthonormée (u, v, w) et donner la matrice de
‎f, dans cette base.
‎2) Déterminer le noyau et l’image 06 5
‎3) Pour quelle valeur de à, f, est une projection orthogonale ?
‎4) Pour quelle valeur de x, f, est un endomorphisme orthogonal ? On notera cette
valeur ‏.م‎
‎5) Quelle est la nature de ‏بج‎
‎6) Donner la matrice de ‏ير‎ dans la base (i, j, k).
‎a bc
Soit ‏ع‎ l’endomorphisme de E de matrice ( a 1 dans la base (i, j, k). On suppose
b ‏ىع‎ a
‎que gest une rotation vectorielle.
‎7) i- Calculer ab+ac+bc et a+b+c. vous pouvez vérifier les égalités suivantes :
det (g)= a#+b3+c3-3abc = (a+b+c)( a2+b?+c2-ab-ac-bc)
‎ä- Montrer que a, b et ‏ع‎ sont les trois racines d’une équation de type x° - x?+ p=0
‎Exprimer ‏م‎ en fonction de a, bet c.

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‎cette équation a -t-elle trois‏ م ‎Soit l'équation x - x + p = 0, à quelle condition sur‏ (ن
‎racines réelles ?‏
‎Montrer que dans ce cas g est une rotation.‏ )9
‎10) Dans le cas particulier b = c déterminer l’axe et l’angle de la rotation précédente.
‎Soit r la rotation vectorielle d’axe D et d'angle 6.
‎11) Montrer que pour tout vecteur x de E on a:
r(x) = <x, u> u + cos 8 ((u A x) Au) + sin 0 (u À x)
‎12) Réciproquement, montrer que pour tout vecteur unitaire u et pour tout réel 8 la relation
‎précédente définit une rotation.