Modèle de concours d'accès à l'ENSIAS pour les titulaires du DEUG — Université Mohammed V de Rabat — session du 13 juillet 2017 — épreuve de mathématiques

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M * Université Mohammed V de Rabat
gré ‏قا‎
ANT Ecole Nationale Supérieure d'Informatique et d'Analyse des Systèmes ©:
Concours DEUG 2017-18
Epreuve de Mathématiques
Jeudi 13/7/2017 à 9h00
Durée 3h

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Problème : Dans tout le problème, / designe l'intervalle |- 1].
On considère l'equation différentielle :
)١- ‏يع - ار(‎ = f(x) (es)
où / désigne une fonction réelle de classe C® sur / : on rappelle qu'une solution ÿ de cette équation
est une fonction dérivable sur / telle que : ‏عل‎ € 1, )1 - 27)" (x) - ‏(عا مع‎ = f(x).
Partie 1
On considère la suite (ai),en définie par :
0
MEN ai = 1 Î (sinu)' du.
7-3
1. Etablir une relation ‏عل‎ récurrence entre ‏يه‎ et pour tout entier naturel i,
2. En déduire que :
l sii=0,
‏ده‎ + si à est impair,
‏ألا سبج‎ i est pair et non nul.
Partie 1
ÎL Soit ‏وز‎ € R; justifier qu'il existe une et une seule solution ‏م‎ de (£y), définie sur / et telle que
(0) — ‏.م‎ On énoncera avec précision le théorème utilisé
9 Montrer que toutes les solutions de (£7) nont de classe C'® sur [٠
2. (a) Résoudre l'équation différentielle homogène associée :
(ه؟) 0ت يرج - أن (تج -1)
‎de l'équation différentielle [C2]‏ ص ‎démontrer que l'unique solution‏ ,من ‎Etant donné un réel‏ (ط)
‎pont s'exprimer de la façon suivante :‏ من = )0( ص ‎telle que‏
‎1 * f(t)
‏وح - عام ع‎ ( rer: 0
‎(c) Dans le cas particulier où l'équation différentielle est :
‎)1- 2( ‏برع- ابر‎ 1 (a)
déterminer len solutions sur Z.
Partie 1
‎On considère maintenant que f est définie par une série entière de rayon de convergence R > 1 :
‎LE 2
‏علا‎ 6 Ï-RRI (5) = Sert.
10
1. (a) Montrer que les solutions de ‏(رع)‎ sur ]—1,1! sont développables en série entière, avec un
‎rayon de convergeuce au moins égal à 1.
‏(ط)‎ Soit SX aer* l'une de ces solutions ;
‏احا
‎1. Exprimer, pour & > 1, 0441 en fonction de ‏زه‎ et ba.

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mn PR x lation vérifié un data) LITE i
‏.لا‎ En déduire, pour & > 1, une relation vérifiée par D, SE OÙ 1-17 {on utilisera
la question 1. de ‏ما‎ Partie 1).
ii. En déduire, pour ‏م‎ € N, ‏ويه‎ sous forme de sommes dépendant de ag, des ax et des
‏0ح برط‎ LSk<p.
iv. De même, déduire de In questlon (i) ci-dessus, pour ‏م‎ > 1, une relation vérifiée par
(24 + 1( ‏امعو كه ريني )1 — 28( مده بيه‎
v. En déduire, pour ‏م‎ € N, a2941 sous forme de soinmes dépendant des ay et des ‏يو‎ avec
1<k<p.
2. Dans tout ce qui suit, ‏م‎ désigne la fonction définie, pour tout ‏ع‎ € ]-1,1[, par :
1 * _ft)
2( = ‏بت‎ dt.
OT =] Mer:
(a) Justifier l'existence de & (x) pour tout ‏ع‎ € 1-1, if.
‏(ط)‎ Montrer que ‏م‎ est une solution de (£y) sur ح1١]‎
(c) On vout démontrer que ‏(ع) م‎ admet - /)1( pour limite lorsque ‏ع‎ tend vers 1 par valeurs
inférieures.
‏ا‎ Soit x € ]—1,1{ et soit 0 € ‏إج,0ز‎ tel que x = cos (#). Démontrer que :
1
‏(عام‎ - FTIU] f J (cas (u)) du,
ii,Soit F la fonction définie par :
0 0
70 ‏(7)7)0ج-ز ع‎ = Î JS (cus(u)) du.
Justifer la dérivabilité de F sur |, #{et déterminer su fonction dérivée F”. On énoncera
avec précision le théorème utilisé,
ii. Couclure.
Exercice : Recherche d'une racine réelle ‏ع‎ du polyuôme P.
On considère deux nombres réels ‏ه‎ et b (a > b) tels que P(a) P(b) > 0.
On définit deux suites ‏(مه)‎ et (ba) par (an) = ‏به‎ (bo) = b, puis par :
© ‏ريمع‎ = On ‏ربو اه‎ = à (an + bn) si Pan) 17 )4 (an +b,)) > 0.
٠» ana = 3 (ao + bn) et but = bn Si P (an) P (3 (an + bn)) > 0.
٠. Etablir que les suites (a,) et (b,) sont adjacentes.
2 Etblir, pour out entier unturel n, qu'on n P{a,) P(b,) > 0.
En déduire que la limite commune ‏ع‎ des suites (a,) et (b,) est racine de P.
3. Ecrire un algorithme permettant d'obtenir un encadrement de ‏ع‎ d'amplitude h > La.