Modèle de concours d'accès à l'ENSIAS pour les titulaires du DEUG — Université Mohammed V de Rabat — session du 17 juillet 2014 — épreuve de mathématiques

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Université Mohammed V - 1
Ecole Nationale Supérieure d’Informatique et 1
d’Analyse des Systèmes ee Rare
Concours DEUG 2013-14
Epreuve de Mathématique
Durée : 2h00
ENSIAS, le 17 juillet 2014
"RE

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7 Epreuve de Mathématiques
7 2013-4
Durée:2 heures
| 7 Exercice? |
On considère le système différentiel de fonctions inconnues æ, y et de variable 4 € R :
1 ‏رز +ع‎
L On considère la matrice À = : 3 . Calculer le polynôme caractéristique ‏ما فل‎
‘matrice À et en déduire que la matrice B = A — 2]; est nilpotente.
En utilisant sans démonstration l'égalité ets e2#et(4-24), valable pour tout réel + donner
l'expression de la matrice ‏ركام‎
2. En utilisant-ce-qüi précède, ou à l'aide de toute autre méthode, trouver la solution du
système différentiel vérifiant { ml.
(0) =?
Problème
Dans ce problème, toutes les fonctidns considérées sont définies sur un intervalle Z de R et &
valeurs réelles.
Partie!
جود
‎et donner sa-Valeur.‏ الام ‎l'existence de‏ |1,1-[ € ع ‎Justifer, pour tout réel‏ .1
اصع
2. On rappelle que la fonction Test définie pour tout réel x € 0 +65] par:
Fix) = f ‏ونس عع‎ *
0
Démontrer que pour tout réel.x € }0,+oo|, 1)2 + 1( = 2l{x) et en déduire, pour tout
entier naturel n non nul, la valeur de l'(n}.
4 3. Démontrer la formule de Taylor avec reste de Laplace (ou reste intégral) :
817 est un intervalle contenant le réel a, si f est une fonction de J dans R declasse 0
sut J':alors pour tout réel x € Jet pour tout entier naturel n, on ‏بج‎
(x — a 8 0 - 2“ ‏جو‎
‏انكر جد وار‎ (0) + | (pdt
> # lt) [ nl +

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Partie {l
Rappel :
ON RAPPÉLLE LE THBOREME SUIVANT: ٠ |
Si une fonction f admet un développement en série entière Sur l'intervalle ‏روصل‎ al alors :
= Ja fonction f est de classe 07 sur }-u.al, ‏"م‎
‎- son développement en série entière est unique et ‏أي‎ donné par le série de Taylor de la
‘fonction f à l'origine :
+ e(n)f0)
pour tout réel x € |-a, al, f(x}= ‏ل‎ 0 2
‏لسن‎
4. On considère la fonction f définie sur R par :
HO) = 1 et pour tout réel 2 #0, fr) = TT
Démontrer que la fonction f est de classe C® eur R.
\5. Expiiciter une fonction f de classe C® sur un voisinage de Ü et védifiant, pour tout entier
| naturel n, l'égalité fl) (0) = n.n!
6. Un théorème des moments ë
Soit f une fonction développable en série entière sur JR, R{ avec R>1:
+ sin)
‏مني‎ fine) 0.
PE
On suppose, que pour tout entier netureln, | ‏مؤزمار‎ = 0.
| 0 :
L'objectif de cette question est de montrer que f est identiquement nulle sur j-R.R
(a) Démontrer que la série SE UE, converge normalement sur | e {0,1}.
n2%
| (b) À l'aide du calcul de (te) SG, démontrer que lé fonction 7 est nulle su
l'intervalle [0,1}.
{ce} Démontrer que j ést la fonction nulle sur l'intervalle |A, A:
Fin de l'épreuve