Modèle de concours d'accès aux grandes écoles d'ingénieurs — Concours National Commun (CNC) — session 2007 — Mathématiques I (filière MP)

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ROYAUME DU MAROC
Ministère de l'Éducation Nationale, de l'Enseignement
Supérieur, de la Formation des Cadres
et de la Recherche Scientifique
Présidence du Concours National Commun 2007
École Nationale Supérieure d'Électricité et de Mécanique
ENSEM
Concours National Commun
d’'Admission aux
Grandes Écoles d'Ingénieurs ou Assimilées
Session 2007
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES I
Durée 4 heures
Filière MP
Cette épreuve comporte 4 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L'usage de la calculatrice est interdit

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Concours National Commun - Session 2007 - MP
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP,
comporte 4 pages.
L'usage de la calculatrice est interdit .
Les candidats sont informés que la qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté et la précision des
raisonnements constitueront des éléments importants pour l'appréciation des copies. Il convient en particulier
de rappeler avec précision les | références | des questions abordées.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est
amené à prendre.
Définitions
Pour tout le problème, on définit une famille d'équations différentielles (F\)\er+ par :
1 x
VAER*, ‏9ل‎ (+ y = 0. (F6)
par “solution d’une équation différentielle”, onfait référence aux solutions à valeurs réelles.
La partie I du problème est largement indépendante des autres.
PARTIE I
1. Soit x un réel.
(a) Étudier, selon les valeurs de x, l'intégrabilité sur l'intervalle ]0, 1] de la fonction
tr ile t,
‎Montrer que cette même fonction est intégrable sur l'intervalle [1, +ool.‏ (ط)
‎2. À quelle condition, nécessaire et suffisante, sur le complexe z la fonction + 17 let est-elle
intégrable sur l'intervalle ]0, + ‏7ه‎
‎3. Onpose 1)2( = [” let dt, zeCet Re(z) > 0.
J
(a) Soit z un complexe tel que Re(z) > 0 ; montrer que
1)2+1( = 2T (2).
(b) En déduire, pour tout réel ‏ه‎ > -1 et tout ‏م‎ € N', l'identité
1) + ‏ه)1(1 + ه)...(1 - م + ه)(م + ه) ح (1 + م‎ +٠
‎(c) Montrer que pour tout x > 0, (x) > 0.
‎(d) Calculer l'(1) et en déduire la valeur de l'(n + 1) pour tout entier naturel n.
4. (a) Soit z un complexe tel que Re(z) > 0 ; montrer soigneusement que
‏+
‏بد [ د “يت
‎T(2) = : te "dt.‏
‎"١‏ 1 + عمد ل« 2
‎n=0
‎Épreuve de Mathématiques 1 1/4 Tournez la page S.V.P.

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Concours National Commun - Session 2007 - MP
Le (ie
(b) Montrer que la fonction ‏جرع‎ >» est définie sur la partie C\{0,—1,—2,...}
2 nl ‏مد‎
‎du plan complexe et qu’elle y est continue.
La formule précédente permet de prolonger la fonction T à C \ {0,—1,-2,...}.
5. Soient a et b deux réels avec 0 > a > b, et soit t > 0.
(a) Déterminer max(#®-1, 4-1) selon les valeurs de t.
(b) Montrer que
Væela,b], 0> 2-1 > max(#7l, #1).
(c) En déduire que la fonction l'est de classe 01 sur R* et donner l'expression de sa dérivée
sous forme intégrale.
(d) Donner un équivalent de la fonction Lau voisinage de 0.
PARTIE IT
Soient À > 0, a un réelet ‏الام‎ az" une série entière, à coefficients réels et de rayon de convergence
n>0
R > 0. Pour tout x €]0, R|, on pose
+00
n=0
1. On suppose que la fonction y, est solution de l'équation différentielle (F\) et que ao ‏كج‎ 0.
Montrer que
a = M, ‏معد -1(2+ م‎ =0, et Vn>2, ‏م‎ + n)? - ‏معد‎ 60-2.
2. On suppose que a = À et que la fonction y, est solution de l'équation différentielle )7(( avec
ao £ 0.
(a) Montrer que
ao (a +1)
VPEN, apr =0 € ‏ووه‎ = ——
PEN dpt ©- ‏م‎ 2PplT(a+p+1)
(b) Les ‏مه‎ étant ceux trouvés précédemment ; calculer le rayon de convergence de la série
entière ) ‏لقم‎
‎n>0
(c) Montrer que si ao2 T(X + 1) = 1 alors
+00
م2 جع 1
puis donner un équivalent de la fonction ‏رن‎ au voisinage de 0.
3. On suppose que 21 2 N;sip € N*, on note le produit (a + p)(a + ‏م‎ — 1)...(a +1) par
T(a+p+1)
“has deeC\(-2..).
(a) En reprenant la question précédente avec a = - ‏بل‎ montrer que la fonction
+00
1 x 2p—À
FT > DTA +p+1) 0
est aussi solution, sur R*, de l’équation différentielle )7
Épreuve de Mathématiques 1 2/4 ‏ب‎

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Concours National Commun - Session 2007 - MP
() Vérifier que la famille ‏,لحن يرن)‎ d'éléments de C(R* ,R), est libre et décrire l’ensembles
des solutions, sur R‘, de l'équation différentielle (F;).
PARTIE 1
Dans cette partie, on va construire, dans les cas À = 0 ou 1, une solution ‏.وت‎ de l'équation
différentielle (F\), définie sur R°, qui soit linéairement indépendante de la solution ‏دن‎
‎A- Étude de (F6)
On rappelle que
1e
Væx>0, yo(x) = D
277
Soit a > —1 ; on définit la suite (azp(a)) en par la donnée de ap(a) = 1 et la relation
a2p(a) (a + 2p) 2 ap-1)(@), p>1 (2).
1. (a) Montrer que, pour tout entier naturel p > 1,
0
1
a2p(a) = 11 ‏ااا‎
‏ا‎ (a +2k)
(b) On voit bien que, pour tout entier naturel ‏م‎ > 1, les fonctions ‏رمه‎ sont dérivables en 0 ; on
pose alors
: dazp
bp =
(0) = ‏(قامئه‎ et H,= D L .
da
Montrer que, pour tout entier naturel p > 1,
1
(c) Calculer alors le rayon de convergence de la série entière D» bp2?P.
p>1
2. (a) En utilisant la relation (1), montrer que, pour tout entier naturel ‏م‎ > 1,
(2p) bp + Apasp(0) = ‏مدو‎
avec la convention bo = 0.
(b) En déduire que la fonction 20 : ‏جرع‎ yo(x) mx+ S bac ?P est une solution de l'équation
différentielle (F0) , définie sur R*. 7
3. Vérifier que la famille (yo. ‏,لوه‎ d'éléments de C(R‘,R), est libre et décrire l’ensembles des
solutions, sur R*, de l'équation différentielle (F5).
B- Étude de (F1)
On rappelle que
+0
1 æ\2p+1
Soit ‏ه‎ €]0, 2[; on définit la suite ‏و‎ (a)) pen Par la donnée de co(a) = 1 et larelation
cop(a) ((a + 2p}? - 1( = ‏1ط ,لد) ريه‎ (2).
Épreuve de Mathématiques 1 3/4 Tournez la page S.V.P.

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1. (a) Montrer que, pour tout entier naturel p > 1,
0
1
e(a) = 1 202-71
(b) On voit là aussi que, pour tout entier naturel ‏م‎ > 1, les fonctions c2, sont dérivables en 1 ;
on pose alors
1H
بج
- ‏م‎ م١‎ -َ 7
‏ح مه‎ da (D = ‏(1)منُ‎ et H= >
Montrer que, pour tout entier naturel ‏م‎ > 1,
dy = Hy + ‏ربولا‎ — 1).
(c) Calculer alors le rayon de convergence de la série entière : ‏العم‎
‏1م‎
2. (a) En utilisant la relation (2), montrer que , pour tout entier naturel ‏م‎ > 1,
(@+ 2p}? — 1)dy + 2)1 + 2p)c2p(1) = ‏بحمة‎
avec la convention do = 0.
+00
(b) En déduire que la fonction 1 : x ‏جر‎ 2yi1(x)Inx + D» dpt? est une solution de
p=1
l'équation différentielle
(E)
*
définie sur R*.
3. (a) Montrer que l'équation différentielle (F1) possède une solution vi, définie sur 165 , qui est
de la forme (x) = S ent}
(b) Vérifier que la fonction Z = ‏رن‎ — & est une solution de l'équation différentielle (F1),
définie sur R*.
4. Vérifier que la famille (1,21), d'éléments de C(R*,R), est libre et décrire l’ensembles des
solutions, sur R°, de l'équation différentielle (F1).
FIN DE L'ÉPREUVE
Épreuve de Mathématiques 1 4/4 FIN