Modèle de concours d'accès aux CRMEF (qualification des professeurs de l'enseignement secondaire collégial) 2014 — Épreuve : mathématiques

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‎LIRE TRES ATTENTIVEMENT
L'épreuve de mathématiques de ce concours est un questionnaire à choix multiple
ATTENTION :
> IL NE VOUS EST DELIVRE QU'UN SEUL QCM
> LES CALCULATRICES NE SONT PAS AUTORISEES
1. Cette épreuve comporte 40 questions données comme suit :
٠ Partiel : Fonctions numériques
٠ Partie Il : Calcul intégral
٠ PartielIl: Les suites
+ Partie IV : Géométrie analytique
e Partie V : Dénombrement
+ Partie VL: Les structures algébriques
2. Pour chaque question, numérotée de 1 à 40, on vous propose 4 réponses a, b, c et d dont exactement une
cst bonne.
3. Barème : un point pour toute réponse juste et zéro dans le cas contraire.
4. EXEMPLES DE REPONSES
Question 1 : 12 + 2 vaut : a 3 b. 5 €. 14 d. Aucune
Question 2 : le produit (-1 3) vaut : a, -3 b, -1 ©. 4 d. Aucune
Vous marquerez sur la feulile méponse : |
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_ Partie 1 : Fonctions numériques
Exercice 1 : Les questions sont liées
On considère, pour tout entier n tel que #21 , l'application @, :[0:+x{ -» R définie par :
Vxe[0i+ p(x}=e"" 22"
ce nn qe h Le) PT ET er
Question] : Pour tout entier n telque #21, l'équation @.(x)= 0, d'inconnue x e[0: +5] + admet une
solution et une seule, notée ‏,نا‎ car :
a. L'application ‏رم‎ est continue et décroissante sur [0:+{ etque ‏م‎ [03 +00f } = ‏لجز‎ ]
b. L'application ‏مم‎ est continue et strictement croissante sur [0; +00[ et que ‏يم‎ ([0:+c0f) = ‏رمز‎ ]
©. L'application ‏رم‎ est continue et strictement décroissante sur [0:+40f et que 0e ‏رم‎ ([0:+:f)
d. L'application ‏يم‎ est continue sur [0;+40[ et que ‏م‎ ([0:+2{) = }-æ:1]
__ Question? : Pour tout entier n tel que #21, on a : 1 0
a -l<u, > 0
b. ‏ملا>0‎ >1
‏؟‎ Î<u,<2
__Question3 : Pour tout entier # tel que #21, on à : 4
a In(u,)= a
‏مولا‎
‎c In(w,)= ps
d. In(u, ) ‏ل‎ CRT
SA -....______--_ن_-_مم_خ"____ل‎
a lim ‏من‎ = 1 5. limw,=e ‏لبنس‎ =0 d. limu,=1
Lu 2. 2 € ‏لد ير دوو دو‎
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Sets 2
LITTLE PSMATOC. NOTE
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Exercice 2 : les questions de cet exercice sont liées
L'objectif est de calculer lim /'{x) sachant que f(x) = x’ | | + : ‏ل‎ | avecaeR,
‏تاي‎ A" X } ‏ب"‎
‏ليو كبر ا اف اا‎ s\ 1
On rappelle que In{l + x}= x - m+—+o{x jeté =l+x+ 2 0( x" [ au voisinage de 0
ÉTÉ 15 01
a ‏ل+رأواج‎ | “1- - +0 + |
b, ‏ف 14 | £ + | قا‎ + 0 + o| 1 |
Lo 2x 3x | x*
€ rin! 1+ 1 | æ 1 4+ 1 + FA +0! : |
\ x MORT (NE
CT CPS EN POLE EN +o[+|
RE 2x 3x \x y
A ‏اماع جخلل٠ل٠ل٠ل٠لللل ا ا بل‎
‏ا‎ Île
a J{x}=(-e+2a)x+ 24 0)1( 0
D. f(x)=(-e+2a)x- ‏كنا‎ roi)
à Ile
‏؟‎ f{x)=(e-2a)x+ set (1)
‏ل‎ f{x)={(-6-2 } Île, 0)
FAX) = 1 < cn te 0
Question 7: Ainsions: a ‏اد الح جججج زج‎ Dent
a (Sia< ‏ب‎ alors lim fx) +00 }: (Si a> = alors lim f(x)=-0 jet (si à» — alors lim (x) = ‏ب‎ )
b. (Sia> = alors lim f(x}= 440 ‏+ع 5 ) :ل‎ _ alors lim f{x)=-00 jet (si a = = alors lim f(x)» = )
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‎c. (Sia< = alors lim /)( ‏ص ح‎ }: (Si a > > alors lim ‏مت ح (ع)/‎ ( ©) ) 51 a = ‏بت‎ alors lim f(x} ‏ك‎ 0: ١
d. (Sia< : alors lim f{x)= +40 }; (Si a > = alors Him f{x}=- }et( si a = 2 alors lim f(x}= ‏ب‎ }
Exercice 3 : les questions de cet exercice sont indépendantes
On rappelle que la partie entière de x € R notée | x] est le plus grand entier relatif qui lui est inférieur ou égal.
Questions: D L'ensemble de définition de la fonction définie par / {x}= x - [ x] , Ona:
= Da Retelle est l-périodique --0 --*- On. =
b. D=R'et celle est ]-périodique.
©» D=R'eelleest : -périodique.
d. D=Retelle est périodique.
Question 9 : Si g est la fonction définie par g(x)= { x}sin | 1 | alors :
‎1 = lim g(x }=0 É
b, lim g(x)=0et lim g(x)n'existe pas.
ss" 240"
c. limg{ x}=0et lim £ (x)=1.
d limg(x}=1 et lim g(x)n'existe pas.
1-40 [ER
Question 10 ; Si f est une fonction définie au voisinage de a € R et qui est dérivable en “a; alors : =.
h)-f{a-}
lim f (a+h)-f(a-h) vaut :
‏همع‎ h
f'{e) f'{a)
3 "(a b. 8 &. —— ‏حي لي‎
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On considère la fonction ‏م‎ définie par @{x)= [ , “di
Question LL; Son ensemble de définition estz SCT
a D 7]0,+0[ b. D=}]I,#0{ © Du}Htef d D2=}e,400f
à p(l)=in2 ; el : | = 2
5. p(l)}= . ‏ذاه‎ In 2
8 p(l}= ‏يوا و ام فب‎ 21n2
— Question 13: vérifie l'équation fonctionnelle : RSS a
2 VreD,p{x)+p{(x+1)= :
D VreD,p(x)}+p{x+1)= Re
©, VreD,p{x)+p{x+1)= 5
d VreDp(x)+p{x+1)= ‏ل‎
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Question 14 : Sachant ‏عدو‎ : Vxe D, S (5 1 alors
ax x
a, limp(x)=0 , limp(x)=+
= 3 , 5 0
‏ججح مح جم جع ا م م‎
b limp(x)=0 , lim p{x)= ‏و‎
‎d, limp(x)=+e , lim œ@(x)=0
Partie 3 : Les suites
Les questions de cette partie sont indépendantes
en Par mon ‏...لما اين مه‎ -
a, Toute suite réelle croissante et minorée tend vers +40
b. Toute suite réelle décroissante et non minorée tend vers ‏مه‎
‎c. Toute suite réelle croissante est convergente
d. Une suite à terme positifs qui converge vers 0 est une suñe décroissante.
Question 16: Soient f une application de R vers KR et (u,)_,, une suite définie par :u, = f(n)
ME = Parmi les affirmations suivantes laquelle est vraie : - - 8
a. Si f est croissante, alors(w, ( ‏بي‎ est croissante ;
b. Si f est décroissante, alors(u, ) ‏بي‎ est croissante ;
c. Si f'est croissante, alors(u,) ., est décroissante ;
d. Si f(x)20 VxeR etest continue surR, alors(w,)., est convergente.
Question 17 : Soit la suite récurrente ) ‏م(‎ définie par: ‏0ح وا‎ er VreN; ‏حملا‎ 2 ]
Le nombre des limites possibles de (1, ).., est :
a 0 h 1 ‏م‎ 2 & 3
‏ب م الع ب ب ب‎
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‏كح لاا‎
\ . 0 ‏سداد م د‎ = — Te
Question 18 : Soit la suite (1e, ln définie par ‏عاب‎ | + - | pour tout "21, On 7
b. lim w, = +20
ce lim, = 1
‏كد و‎
d. ‏تج س هنا‎
op ‏ل يب‎
Question 19 : On considère ‏ما‎ suite (ue, Len définie par : ‏من‎ M0 et VneN:; = ‏َب‎
‎We, À
Et soit la suite (v,)_. définiepar: 7 ‏ع‎ N: ‏شط . = إلا‎
a, La suite(v, ‏ائة برا‎ arithmétique de raison =:
b. La suite(v, ‏مي(‎ est géométrique de raison = .
> La suite(v, } est ni arithmétique ni géométrique.
d. On ne peut rien en conclure.
Question 20 : Soit (v, 188 une suite définie par : ‏.وا‎ de R° et 760: ‏و‎ 1" ar. :
a. Lasuite(v,) ‏مي‎ est arithmétique
b. La suite(v, ( ‏بر‎ est géométrique
©. Lasuite(v,) ‏بم‎ est ni arithmétique ni géométrique
d. On ne peut rien conclure
‏ااا‎ EME 06066 analytique "©" 2 NT EM
Les questions sont liées
Dans un repère orthonormé (O; 7 7) ‏لمق‎ 4(2,0) ,8(1,2) ,C(-1,3) et D la droite d'équation
cartésienne : 2x-3y=|]
‏ب , ملع يا اهم ب ب ب‎
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__ ‏م02‎ droite perpendiculaire à Dan point 4 a pour équation ‏لتقا‎ 2 TS
&, Jx-2y=]
5 3x+2ym6
€. -3x+2ym|
d. 3x4+2y=]
‏ووش‎ 22 Le cle de ‏عم‎ rayon por un ‏ست‎ --
nm x'#+y ‏بر4-‎ 3
b, x'+y/-47m-3
©. x'+y/+4x=3
d. Aucune des équations n'est juste
Question 23 : La médiatrice du segment { AB] 4 pour équation cartésienne :
‏الل‎ -x+2y= =
b رب+2‎ L
©. x-2y= 3
d Autre des équations n'est juste
—_ Question 24; La hauteur du iriangle AAC sue du point À a pour équation cantsienn SRE
à, 27-y='4
b. 2x+y=4
‏؟‎ 2x-y=-4
d Aucune des équations n'est juste
E xercice 2
Dans l'espace muni d’un repère orthonormé ( 7:7 } On considère la sphère (S) d'équation cartésienne
K'4+ÿ + ‏12+ج4-8- «2 - لج‎ - 0
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Question 25 : Le plan tangent à )3( au point 4(3:4;5) admet pour équation cartésienne 3
‏لج‎ 2x+2y+z-17m0
5. 4x+6y+3:-45=0
c 2x+2y+z:-19=0
d 2x+2y»+2-17=0
Question 26 : Dans l'espace muni d'un repère orthonormé (O5; j;Æ£) , on considère le plan )7( d'équation
‏سد كد‎ 1+
cartésienne ‏برد‎ -22 +130 et l'ensemble )2( des points ‏(عور) ا‎ telsque:{y=-2-4 avec 4 1#
‏سا‎ 4 + 32
a (Æ)est une droite passant par le point /(1;:-1;3)
b. (E}est parallèle à )7(
c. ‏ما‎ plan contenant (Æ)et perpendiculaire à (P) a pour équation cartésienne x + y + 1 = 0
d. Le plan d'équation 3x +2y + ‏ع‎ - 5 0 est perpendiculaire à (P)
Partie V : Dénombrement
Question27: SoitE={1:23:45} , on a alors : 7
a Le nombre des sous-ensembles de E est : 5°
b. Le nombre des sous-ensembles de 7 ayant exactement 2 éléments est : 20
c. Le nombre des sous-ensembles de E contenant est : 5
d. Le nombre des sous-ensembles de E contenant 2 et 3 est : 2°
Question_28: Pour former une équipe de football de 11 joueurs, on a le choix entre 20 joueurs : 1 son
joueurs de champs et 3 sont gardiens de but. Le nombre de d'équipes distinctes qu’on peut former est :
3 ‏ضع‎ b 0: CE » 3!)
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‏لإطار‎ RAT: ‏لا بكتب اى فى‎ à
‏ل‎ = +. ٠ + 5 5 # Ÿ
= ‏اا‎ 7 Perte VE: Les stracterselpibiques. ‏ا ا ا‎ à |
L'espace R'est rapporté à la base canonique B=(6,:e,:e,). On considère l'endomorphisme f de R'qui à
tout triplet (x; y: z)associe le triplet (-x+ y, -3x-2y-33,-3x - 2y-3:)
Question 29 : La matrice de f par rapport à la base Best: en 0
fm -3 -3) (1 1 0) ٠3 -! + )1 -1 0)
à M= | -2 2 | b, M= | 3 -2 = | » M=|-1 -0 —1| 4 M=|3 2 |
0 3 -3] [-3 -2 -3[ LE 0 1١| (3 2 -3
Question ‏اا‎ Le rang où un mange. ‏اف‎
‎a, Cgale à ١ et ker j'est une droite vectorielle
b. égale à 3 car le rang d'une matrice est égale au nombre de colonnes non nulles de cette matrice
c. Inférieur ou égale à 2 car M à deux lignes identiques
d. Egale à 2 et ker Ÿ est un sous espace vectoriel de dimension ?
_ Question 31 ; Le rang de Ia matrice M est: © ‏لاا الس‎
a ‏/ر ما‎ est inclus dans le plan vectoriel d'équation 3x + 2y+3:=0
b. Im f contient le vecteur €, +e,
c. ker admet (0, 1, 1) comme base
d. Aucune des trois réponses précédentes n'est correcte
9 uestion 32: Le polynôme Caractéristique P()= det(M - 7 } de la matrice M est: TE
a, P(A)= 4462? 484
b. P(A)e (4 -624+8)
© P(A)=-A(47462+8)
d. Aucune des trois réponses précédentes n'est correcte
« Lu + + ‏هي‎ < ” £
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‏يكتب أى شىء في هذا الإطار‎ 2
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‏سي‎ يطسيببببببببممم_____(‎ _
Question 33: L'endomorphisme f admet :
WW WwW.€epsmarocn CÉ———
a. Une seule valeur propre
b. 0 pour valeur propre car f n'est pas automorphisme
c. Trois valeurs propre distincts 0,2 ,4
d. Une valeur propre double
Question 34 : L'endomorphisme f est :
a Diagonalisable car f admet trois valeurs propres distinctes
b. n'est pas diagonalisable car f n'est pas bijectif
‏.ع‎ n'est pas diagonalisable ni trigonalisable dans A,(R)
d. Aucune des trois réponses précédentes n’est correcte
‏لمسفلشسكسشسشسسسسسسشببتمستعسسسى‎
‎Question 35: On note 4,2, 4, les valeurs propres, éventuellement confondues, rangées dans l'ordre
croissant, de l'endomorphisme /. On considère B'=(v,,v,,v,) la famille de trois vecteurs propres associés aux
valeurs propres À,4,erÀ, respectivement.
a B'=(v,v,,v,) n'est pas une base de R°
b. vekerf
©. (v,,v,)est une base du sous espace Im f
d. Aucune des réponses n'est juste
Question 36: On note D la matrice de l'endomorphisme dans la base 2 si elle existe,
et on note / la matrice de passage de B dans 8 ‏أى‎ elle est définie .
a. D et Pn'existent pas car B'n'est pas une hase de R?
vw» WW.6PSIHATOC.iet
©. PM = DP
d. M et D n'ont pas les mêmes valeurs propres
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‏الإطار‎ A ‏يكدب أي شيء‎ KES
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Exercice 2:
111 smaroc.net|! 0 °|
Soit A=|1 0 ©!une matrice d'ordre3et 7Z=|/0 |! 0!
1 0 0} )09 Q 1 ]
Question 37: La maires À vérifie :
a A°= A1+2A
b. ‏تمر عتم‎ +
c, A'= A+]
me eme
| Question 38: Sachant que pour tout entier naturel n supérieur ou égale à 1; il existe a, et ‏ينا‎ deux réels 5
__que A°= a, Atb, A? . Parmi les assertions suivantes laquelle est vraie :
a. Bert" 2Da et bu at2 ‏ونا‎
‎b, ‏وت لازجمة‎ a by: = ‏و مق‎
c. ‏<زمية‎ Got bn Et De” ‏وة - متا‎
d, aucune des trois propositions précédente n'est juste
| Question 39: De plusona: ne ei
à. ‏ولك + ربية #تجيلا‎ Et ‏وت +ربيتا «يبينا‎
b. ‏وا + زنمة “يبية‎ Et bre ‏و 2 +ربيتا‎
2 dos” Morts ‏و24‎ Et ‏ونا 2 أربي كيبوت‎
d. aucune des trois propositions précédentes n'est juste
‏لبمممصكش مما (تماتسستصسب لتسبمممسصسس»لسبمس سس أ سبسبش شبت ب ...بت ححا‎
53 - Question 40 : L'expression de 4” en fonction de A et A* est :
2 à \, (2 ‏"لا‎ ١
a A =) 444 ‏نير‎
‎6 3 | 6 3 }
7 2 2 )[("
‏"ل 2 أجيا "رحبت اه مذ‎ |
© 3 | 6 3 }
É | 2. 1 Ne
‏د 4 اس ديرا عد اس اعد ار اج‎ |
| 6 3 6" 3
d. 4° a une autre expression autre que les trois expressions précédentes
‏ب ملع ب « ب‎
٠ ٠ ‏مي * ص“‎ £
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