Modèle de concours d'accès à l'ENSA Marrakech 2011 — Mathématiques

Q: Ce sujet est-il téléchargeable gratuitement ?

Oui. La totalité du sujet (4 pages) est consultable et téléchargeable gratuitement, sans inscription ni compte.

Q: Le corrigé est-il inclus ?

Oui. Un corrigé proposé figure sur cette page, sous les pages du sujet : méthode de réponse et éléments attendus, rédigés par l'équipe Wadifa Info.

Q: Quel organisme et quel grade concerne ce sujet ?

Ce sujet provient d'un concours organisé par École Nationale des Sciences Appliquées de Marrakech (ENSA) — Université Cadi Ayyad. Il concerne le grade : Élève — 1re année du cycle préparatoire.

Q: De quelle session s'agit-il et dans quelle langue ?

Session : 08/2011. Les questions sont en français.

Q: Où trouver d'autres sujets du même concours ?

Tous nos sujets de la même famille sont regroupés sur la page les sujets de concours « Accès aux écoles et instituts supérieurs ». Les sujets y sont classés par session, du plus récent au plus ancien.

🏢 École Nationale des Sciences Appliquées de Marrakech (ENSA) — Université Cadi Ayyad 👤 Élève — 1re année du cycle préparatoire 🎯 Mathématiques 📅 08/2011 👁️ 19 vues

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En bref

Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de Élève — 1re année du cycle préparatoire organisé par École Nationale des Sciences Appliquées de Marrakech (ENSA) — Université Cadi Ayyad (2011), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.

Organisme: École Nationale des Sciences Appliquées de Marrakech (ENSA) — Université Cadi Ayyad
Grade: Élève — 1re année du cycle préparatoire
Spécialité: Mathématiques
Année: 2011
Pages: 4
Langue des questions: français
Correction: correction proposée disponible sur cette page

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Épreuve de mathématiques du concours d'accès en 1re année du cycle préparatoire de l'ENSA Marrakech (session août 2011, 4 pages) : 12 exercices en QCM (+1 / −1 / 0) — intégrales, fonctions, suites, systèmes, probabilités.

Pages du modèle (4)

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Modèle de concours d'accès à l'ENSA Marrakech 2011 — Mathématiques — page 1

Modèle de concours d'accès à l'ENSA Marrakech 2011 — Mathématiques — page 2

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📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)

Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.

UNIVERSITE CADI AYYAD Année Universitaire : 2011/2012
ECOLE NATIONALE DES Session du : 08 Aout 2011
SCIENES APPLIQU E ES Responsable : Aomar IBOURK
MARRAKECH
Epreuve de mathématiques :
(Durée: 1h15min)
> La documentation, les calculatrices et les téléphones portables sont interdits
> Parmi les réponses proposées elle n° y en a qu’une qui est juste
> Règles de notation :
> Réponse Juste= 1 point ; Réponse fausse= -1 point ; Pas réponse= 0 points
>. Plus qu’une case cochée= -1 point ‏ا‎
‎Exercice n° 1
1. ] ‏ب ما‎ dx=-2in2+In(&-1) ‏انه‎ >12]
33 يزب ثيون ‎À‏ 1 2
0 11
3, | |. +1|+ > 4-1-3
2 x-1
4. |] (x- 2)e**" dx sy €
0 4 7
Exercice n° 2
À 2x dt
Pour tout réel x ,onpose G(x)= | ‏هر مق هوي‎
EEE ‏1د‎
‎1. G est une fonction paire
2. G est croissante sur | 0( —
3. G est croissante sur ‏ب‎ 3 +)
4. lim G(x) =1
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Exercice n° 3
Une grandeur y décroît au cours du temps t selon la loi YG) = »,2", où y, désigne la valeur
initiale en 1 - 0 .
La valeur moyenne de y entre les instants 0 et T.
1.(1-27)
Yo ‏م‎ 8
3. ‏لت‎ )1-2
In2
Yo ‏م‎ T
4, —"—(1-2
TIn2
Exercice n° 4
Soit la fonction f(x) ‏ماح‎ Le’ gp" |
1: La fonction f est strictement décroissante sur |-<0;0[
2 La fonction f est strictement croissante sur b À
3. lim f(x) =0
4. La droite d’équation y = 3x est asymptote à la courbe C représentative de
f quand x — +00
Exercice n° 5
En quel(s) points(s) la courbe y = 2x + E admet-elle une tangente parallèle à l'axe des
abscisses?
1. aucun
2. (253)
3. (:2V2)
4. (86)
Exercice n° 6
Soit la fonction f(x)=—— e*
1: La droite d’équation y=x+2 est asymptote oblique à la courbe C représentative de
f quand x — +
2. La fonction f est strictement décroissante sur ‏نمم[‎ 0
3 f est impaire
4. La fonction f est strictement croissante sur ‏أدبا‎
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Exercice 7
La contraposée de la proposition suivante: VxeR,VyeR, x-y— f(x)= f(y)
1267 ,1ER, f(x)= f(y) ou x< y
2.7 67 ,VyER,f(x)z f(y) = x<7y
33267 ,1YER, f(x)= f(y) et x<y
4.7 67 ,VyeR, x>-y= f(x)z f(y)
Exercice n° 8
La négation de la proposition suivante: VaeR,VbeR, a<b—= f(a)> f(b)
1.7» 27 ,VbeR/ (a<b= f(a)> f(b)
223467 ,3bEeR/ (a<b ou f(a)< f(b) |
334 678 ,3bEeRI (a<bet f(a)< f(b)
43a€eR ,3bEeR/ ‏<ه)‎ ٠5 ‏عه‎ f(a)< f(b)
Exercice n° 9
‏نا ا‎ =]
On considère la suite (U,,) définie par :
VnenN, u,,=In(i+u,)
1. VnenN, u,<0
2. la suite (U,) est strictement croissante
3. la suite (U, )est décroissante
4 VnenN, u, +1
Exercice n° 10
L'ensemble 5 des solutions réelles du système suivant : 22 =32
22” -2
32/23
الى
‎LE 2‏ ر3 53
13 الو
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Exercice n° 1
En effectuant une division, déterminer les paramètres a et b pour que le polynôme
A = x°+ ax +b soit divisible par B = x? 3x +2
La=4et b=2
2.4=7 ét. b=2
3.a=6et b=-3
4.a=-7 et b=6
Exercice n° 12
Deux tireurs A et B font feu simultanément sur une cible. La probabilité pour A de toucher la
cible est estimée à £ ; la probabilité pour B est de” ,
La probabilité que la cible soit atteinte est :
2, 19
Exercice n° 13
Une urne contient y boules dont 3 sont blanches, les autres étant rouges.
A l’occasion du tirage, sans remise, de deux boules, la probabilité d’obtenir une boule blanche
puis une boule rouge est égale 27 . Calculer y :
1.y= 8
2.y= 12
3.y=4 ety=9
4.y= 12ety=8
Exercice n° 14
De combien de manières différentes un professeur peut-il choisir un ou plusieurs élèves
parmi 6 ?
1 55
3: 63
4. 48
Exercice n° 15
Le prix d’un article a subi trois baisses successives de 20%. De quel pourcentage ce prix a-t-il
diminué au total ?
3. 44,6%
4. 52,5%
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Correction proposée

Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.

Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours d'entrée en 1^re année du cycle préparatoire de l'ENSA de Marrakech (Université Cadi Ayyad), session du 08 août 2011. Durée : 1 h 15, sans documents ni calculatrice. 15 exercices de quatre propositions chacun, une seule juste ; barème +1 / −1 / 0, et −1 si plus d'une case est cochée.

💡 Quatre propositions dont une seule vraie : dès que vous avez démontré une proposition, inutile d'examiner les autres. À l'inverse, éliminer par un contre-exemple est souvent plus rapide que calculer (exercices 4, 6, 9).

Exercice 1 — réponse 3

∫₋₂⁰ |x + 1| dx = ½ + ½ = 1 (deux triangles) et ∫₋₂⁰ 4/(x − 1) dx = 4[ln|x − 1|]₋₂⁰ = 4(0 − ln 3). Total : 1 − 4 ln 3. Les autres égalités sont fausses :

(2) ∫₀^π/3 cos³x dx = [sin x − sin³x/3]₀^π/3 = √3/2 − √3/8 = 3√3/8, pas 3√3/11.
(4) par parties, ∫₀²(x − 2)e^2x+1dx = [(x − 2)e^2x+1/2 − e^2x+1/4]₀² = 5e/4 − e⁵/4, pas 5e/4 − 13e⁵/7.
(1) une primitive de ln((x − 1)/x) est (x − 1)ln(x − 1) − x ln x ; on obtient −2 ln 2 − (k − 1)ln(k − 1) + k ln k, différent de l'expression proposée (pour k = 1,5 : −0,43 contre −2,08).

Exercice 2 — réponse 2

L'intégrande φ(t) = 1/√(t⁴ + t² + 1) est paire, d'où G(−x) = −G(x) : G est impaire (1 faux). G'(x) = 2φ(2x) − φ(x) = 2/√(16x⁴ + 4x² + 1) − 1/√(x⁴ + x² + 1). G'(x) > 0 ⇔ 4(x⁴ + x² + 1) > 16x⁴ + 4x² + 1 ⇔ 12x⁴ < 3 ⇔ |x| < 1/√2. Donc G est croissante sur [0 ; 1/√2] et décroissante au-delà (3 faux). Enfin 0 ≤ G(x) ≤ ∫_x^2x dt/t² = 1/(2x) → 0 (4 faux).

Exercice 3 — réponse 4

Valeur moyenne : (1/T)∫₀^T y₀2^−tdt = (y₀/T)[−2^−t/ln 2]₀^T = y₀(1 − 2^−T)/(T ln 2). (La proposition 3 oublie la division par T.)

Exercice 4 — réponse 2

f(x) = ln|e^x(1 − e^x)| = x + ln|1 − e^x|, définie pour x ≠ 0.

Pour x > 0 : f(x) = x + ln(e^x − 1), f'(x) = 1 + e^x/(e^x − 1) > 0 : f est strictement croissante sur ]0 ; +∞[, donc sur ]0 ; 1/2[.
Pour x < 0 : f'(x) = (1 − 2e^x)/(1 − e^x), positive sur ]−∞ ; −ln 2[ : f n'est pas décroissante sur ]−∞ ; 0[ (1 faux).
En −∞ : f(x) ~ x → −∞ (3 faux). En +∞ : f(x) = 2x + ln(1 − e^−x), asymptote y = 2x, pas 3x (4 faux).

Exercice 5 — réponse 3 : (1 ; 2√2)

Pour x > 0 : y' = 1/√(2x) − (1/√2)x^−3/2 = (1/√2)(x^−1/2 − x^−3/2), nulle si et seulement si x = 1. Alors y = √2 + √2 = 2√2.

Exercice 6 — réponse 1

x²/(x − 1) = x + 1 + 1/(x − 1) et e^1/x = 1 + 1/x + o(1/x), donc f(x) = (x + 1 + o(1))(1 + 1/x + o(1/x)) = x + 2 + o(1) : y = x + 2 est asymptote en +∞. Vérification des autres : f'(x) = e^1/x(x² − 3x + 1)/(x − 1)² ; x² − 3x + 1 > 0 sur ]−∞ ; 0[ (f croissante, 2 faux) et < 0 sur ]1 ; (3 + √5)/2[ (4 faux) ; f(−1) = −e⁻¹/2 ≠ −f(1) (f n'est même pas définie en 1) : 3 faux.

Exercice 7 — réponse 2

La contraposée de « P ⇒ Q » est « non Q ⇒ non P », les quantificateurs universels restant inchangés : ∀x, ∀y, f(x) ≠ f(y) ⇒ x ≤ y.

Exercice 8 — réponse 3

non(∀a ∀b, P ⇒ Q) ≡ ∃a ∃b, P et non Q : ∃a, ∃b, a ≤ b et f(a) < f(b).

Exercice 9 — réponse 3

Par récurrence u_n > 0 (u₀ = 1 et ln(1 + u) > 0 si u > 0) : 1 faux. Comme ln(1 + u) < u pour u > 0, u_n+1 < u_n : la suite est décroissante. u₁ = ln 2 ≈ 0,69 < 1 : 2 et 4 faux.

Exercice 10 — réponse 1

2^{1/x + 1/y} = 2⁵ ⇒ 1/x + 1/y = 5 ; 2^x+y = 32^1/6 = 2^5/6 ⇒ x + y = 5/6. Comme 1/x + 1/y = (x + y)/(xy), xy = (5/6)/5 = 1/6. x et y sont racines de t² − (5/6)t + 1/6 = 0, soit 6t² − 5t + 1 = 0 : t = 1/2 ou 1/3. S = {(1/3 ; 1/2) ; (1/2 ; 1/3)}.

Exercice 11 — réponse 4 : a = −7 et b = 6

B = (x − 1)(x − 2) ; A divisible par B ⇔ A(1) = 0 et A(2) = 0 : 1 + a + b = 0 et 8 + 2a + b = 0. Par différence 7 + a = 0 ⇒ a = −7, b = 6. Vérification : x³ − 7x + 6 = (x² − 3x + 2)(x + 3).

Exercice 12 — réponse 2 : 19/20

Tirs indépendants : P(cible manquée par les deux) = (1/5)(1/4) = 1/20, donc P(cible atteinte) = 1 − 1/20 = 19/20.

Exercice 13 — réponse 3 : y = 4 et y = 9

P(blanche puis rouge) = (3/y)·((y − 3)/(y − 1)) = 1/4 ⇒ 12(y − 3) = y(y − 1) ⇒ y² − 13y + 36 = 0 ⇒ y = 4 ou y = 9. Vérification : y = 4 donne (3/4)(1/3) = 1/4 ; y = 9 donne (3/9)(6/8) = 1/4.

Exercice 14 — réponse 3 : 63

Nombre de parties non vides d'un ensemble à 6 éléments : 2⁶ − 1 = 63 (= C(6,1) + … + C(6,6)).

Exercice 15 — réponse 2 : 48,8 %

Coefficient global : 0,8³ = 0,512, soit une baisse de 1 − 0,512 = 48,8 % (et non 3 × 20 % = 60 %).

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Questions fréquentes sur ce sujet

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Organisme : École Nationale des Sciences Appliquées de Marrakech (ENSA) — Université Cadi Ayyad · 08/2011 — Copie issue de : archive de modèles de concours — document archivé tel que reçu ; l'avis officiel du concours fait foi.

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