Modèle de concours d'accès à l'ENSA Tanger 2011 — Mathématiques
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En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de Élève — 1re année du cycle préparatoire organisé par École Nationale des Sciences Appliquées de Tanger (ENSA) — Université Abdelmalek Essaâdi (2011), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- École Nationale des Sciences Appliquées de Tanger (ENSA) — Université Abdelmalek Essaâdi
- Grade
- Élève — 1re année du cycle préparatoire
- Spécialité
- Mathématiques
- Année
- 2011
- Pages
- 2
- Langue des questions
- français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
Épreuve de mathématiques du concours d'entrée en 1re année du cycle préparatoire de l'ENSA de Tanger (8 août 2011) : QCM (+1 / −1 / 0) — complexes, matrices, limites, séries. Réponses cochées par un candidat. Attention : la copie porte les marques d'un candidat sur certaines réponses.
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.
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CONCOURS D’ENTREE EN 1 ANNEE DU CYCLE
PREPARATOIRE
Epreuve de Mathématique
(Nombre de pages 2 et une fiche réponse à remettre au surveillant, correctement
remplie, à {a fin de l’épreuve)
Parmi les réponses proposées, une seule est juste. Pour chaque question répondre sur la fiche
réponse par une croix dans la case correspondante.
‘Barème : une réponse juste : +]. une répcnse fausse : -1. pas de réponse - 0}
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Correction proposée
Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.
Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours d'entrée en 1re année du cycle préparatoire de l'ENSA de Tanger, session du 8 août 2011. QCM de 25 questions sur 2 pages, une seule réponse juste ; barème +1 / −1 / 0. Voici une correction proposée avec la justification de chaque choix.
💡 Beaucoup de questions sont des résultats de cours (limites usuelles, formules de trigonométrie, sommes classiques) : elles se règlent en quelques secondes et laissent du temps pour les calculs (questions 1, 3, 16, 24).
Nombres complexes et matrices
- b) −1. w = z₁z₂ vérifie |w| = 1 et |w + 2| = |w − (−2)| = 1 : w est sur le cercle unité et sur le cercle de centre −2 et de rayon 1 ; leur seul point commun est −1.
- a) (1, 2n ; 0, 1). A = I + N avec N = (0 2 ; 0 0) et N² = 0, donc Aⁿ = I + nN.
- a) (2ⁿ⁺¹ − 1, 2ⁿ − 1 ; 2 − 2ⁿ⁺¹, 2 − 2ⁿ). Pour n = 1 on retrouve A = (3, 1 ; −2, 0) ; pour n = 2, A² = (7, 3 ; −6, −2), conforme à la formule (7 = 2³ − 1, 3 = 2² − 1, −6 = 2 − 2³, −2 = 2 − 2²). Les valeurs propres de A sont 1 et 2.
- a) |(a − b)/(1 − āb)| = 1. Comme aā = 1 : 1 − āb = ā(a − b), donc |1 − āb| = |ā|·|a − b| = |a − b|.
- c) |ā + b̄ + c̄|. ab + bc + ca = abc(1/c + 1/a + 1/b) = abc(c̄ + ā + b̄) car 1/z = z̄ quand |z| = 1 ; et |abc| = 1. Remarque : |ā + b̄ + c̄| = |a + b + c|, donc la proposition b) (lue |a + b + c|) donne la même valeur ; c) est la forme visée par le sujet.
Limites et séries
- b) e. Σ_{k≥0} 1/k! = e (développement de eˣ en x = 1).
- a) −√2. Règle du nombre dérivé : (tan x − 1)' = 1/cos²x vaut 2 en π/4 ; (2cos x − √2)' = −2 sin x vaut −√2. Limite : 2/(−√2) = −√2.
- a) −1. cotan(π/2) = 0, donc la limite est le nombre dérivé de cotan en π/2 : −1/sin²(π/2) = −1.
- a) 108. Nombre dérivé de x⁴ en 3 : 4 × 3³ = 108 (ou x⁴ − 81 = (x − 3)(x + 3)(x² + 9) → 6 × 18).
- c) 0. Croissances comparées : x² ln x → 0 quand x → 0⁺.
- a) 0. x²/eˣ → 0 en +∞ (l'exponentielle l'emporte).
- b) e. (1 + 1/n)ⁿ = e^{n ln(1 + 1/n)} et n ln(1 + 1/n) → 1.
Trigonométrie et dérivation
- a) tan(a + b) = (tan a + tan b)/(1 − tan a tan b).
- a) tan(a − b) = (tan a − tan b)/(1 + tan a tan b).
- a) 6x/(1 + 9x⁴). (arctan u)' = u'/(1 + u²) avec u = 3x², u' = 6x, u² = 9x⁴. (Proposition a lue « 1 + 9x⁴ » : le signe est peu net sur le scan ; c, avec 1 − 9x⁴, est fausse.)
- Réponse probable : a) y' = 6x(x² + 2)²(1 − x³)³(1 − 4x − 3x³). Pour y = (x² + 2)ᵖ(1 − x³)^q, la dérivation logarithmique donne y'/y = 2px/(x² + 2) − 3qx²/(1 − x³), d'où y' = x(x² + 2)^{p−1}(1 − x³)^{q−1}[2p − 6qx − (2p + 3q)x³]. La proposition a) correspond exactement à p = 3, q = 4 : 6x(x² + 2)²(1 − x³)³(1 − 4x − 3x³). La fonction visée est donc y = (x² + 2)³(1 − x³)⁴ ; l'exposant du premier facteur est peu lisible sur le scan.
- b) 2(n!)(1 − x)^{−(n+1)}. f = 2(1 − x)⁻¹ ; chaque dérivation multiplie par l'exposant changé de signe : f^{(n)}(x) = 2·n!·(1 − x)^{−(n+1)}.
- b) y' = (1 + y)/(2 − x). On dérive xy + x − 2y − 1 = 0 : y + xy' + 1 − 2y' = 0, donc y'(x − 2) = −(1 + y).
Intégrales et sommes
- a) I = x/2 − (1/4) sin 2x + C. sin²x = (1 − cos 2x)/2.
- c) I = (1/4) ln|(x − 2)/(x + 2)| + C. 1/(x² − 4) = (1/4)[1/(x − 2) − 1/(x + 2)].
- c) Σk = n(n + 1)/2.
- a) Σk² = n(n + 1)(2n + 1)/6.
- c) Σk³ = (n(n + 1)/2)².
- a) I = 45/4. La parabole y = x² et la droite y = −x/2 se coupent en x = 0 (et x = −1/2) ; entre 0 et 3, x² ≥ −x/2. I = ∫₀³ (x² + x/2) dx = 9 + 9/4 = 45/4 u.a.
- c) e ≈ 2,71828.
Questions fréquentes sur ce sujet
Ce sujet est-il téléchargeable gratuitement ?
Oui. La totalité du sujet (2 pages) est consultable et téléchargeable gratuitement, sans inscription ni compte.
Le corrigé est-il inclus ?
Oui. Un corrigé proposé figure sur cette page, sous les pages du sujet : méthode de réponse et éléments attendus, rédigés par l'équipe Wadifa Info.
Quel organisme et quel grade concerne ce sujet ?
Ce sujet provient d'un concours organisé par École Nationale des Sciences Appliquées de Tanger (ENSA) — Université Abdelmalek Essaâdi. Il concerne le grade : Élève — 1re année du cycle préparatoire.
De quelle session s'agit-il et dans quelle langue ?
Session : 08/08/2011. Les questions sont en français.
Où trouver d'autres sujets du même concours ?
Tous nos sujets de la même famille sont regroupés sur la page les sujets de concours « Accès aux écoles et instituts supérieurs ». Les sujets y sont classés par session, du plus récent au plus ancien.
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Organisme : École Nationale des Sciences Appliquées de Tanger (ENSA) — Université Abdelmalek Essaâdi · 08/08/2011 — Copie issue de : archive de modèles de concours — document archivé tel que reçu ; l'avis officiel du concours fait foi.
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