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Modèle de concours d'accès à l'École Normale Supérieure de l'Enseignement Technique de Mohammedia (ENSET) 2014 — Épreuve : Mathématiques

🏢 l'École Normale Supérieure de l'Enseignement Technique de Mohammedia (ENSET) 👤 1ère année du cycle d'ingénieurs (concours commun des filières) 🎯 Mathématiques 📅 session de septembre 2014 👁️ 13 vues

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En bref

Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de 1ère année du cycle d'ingénieurs (concours commun des filières) organisé par l'École Normale Supérieure de l'Enseignement Technique de Mohammedia (ENSET) (2014), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.

Organisme
l'École Normale Supérieure de l'Enseignement Technique de Mohammedia (ENSET)
Grade
1ère année du cycle d'ingénieurs (concours commun des filières)
Spécialité
Mathématiques
Année
2014
Pages
5
Langue des questions
français
Correction
correction proposée disponible sur cette page
⬇️ Télécharger le sujet complet en PDF (5 pages) Télécharger →
Sujet de l'épreuve « Mathématiques » du concours d'accès en 1ère année du cycle d'ingénieurs (concours commun des filières) — l'École Normale Supérieure de l'Enseignement Technique de Mohammedia (ENSET), session de septembre 2014. Document officiel publié sur enset-media.ac.ma (copie archivée), 5 page(s). Sans corrigé.

Pages du modèle (5)

✅ Aller à la correction proposée ↓

Modèle de concours d'accès à l'École Normale Supérieure de l'Enseignement Technique de Mohammedia (ENSET) 2014 — Épreuve : Mathématiques — page 1 Modèle de concours d'accès à l'École Normale Supérieure de l'Enseignement Technique de Mohammedia (ENSET) 2014 — Épreuve : Mathématiques — page 2 Modèle de concours d'accès à l'École Normale Supérieure de l'Enseignement Technique de Mohammedia (ENSET) 2014 — Épreuve : Mathématiques — page 3 Modèle de concours d'accès à l'École Normale Supérieure de l'Enseignement Technique de Mohammedia (ENSET) 2014 — Épreuve : Mathématiques — page 4 Modèle de concours d'accès à l'École Normale Supérieure de l'Enseignement Technique de Mohammedia (ENSET) 2014 — Épreuve : Mathématiques — page 5
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)

Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.

ROYAUME DU MAROC ‏المملكة المغربية‎
Ministère de l'Enseignement Supérieur, de la .
Recherche Scientifique et de la Formation d ‘ & MCE. LS
Les ion des ‏وزارة التعليم العالي والبحث العلمي‎
a ‏وتكوين الاطر‎
Université Hassan ١١ ‏جامعة الحسن الثاني‎
Casablanca |
Ecole Normale Supérieure PR. ï ‏الدار البيضاء‎
de ١50561806100601 Technique Mohammedia Se & a a 55 7
‏ل‎ VEN TOR ‏المدرسة العليا لاساتدة التعليم التقني‎
‏المحمدية‎
‎Concours commun d’accès aux filières d’ingénieurs ‏عل‎ 11
Mohammedia — Session de Septembre 2014
NOM:
PRENOM:
CIN:
SIGNATURE:
Numéro d’anonymat
Epreuve de Mathématiques
Durée : 3 heures
= Barème : Bonne réponse = 2 points ; pas de réponse = 0 point ; mauvaise réponse = -1
point.
On s'attend à ce que vous ne sélectionniez qu'une seule réponse par question. Si plusieurs
réponses paraissent bonnes, sélectionnez toujours la plus restrictive. Par exemple s'il vous est
demandé si 0 est nul, non nul, positif, ou négatif, sélectionnez nul qui est plus restrictif que
positif et négatif, tous deux vrais.
Remarques importantes :
- L'usage de la calculatrice ou de tout autre appareil électronique est interdit. Il est
également interdit l’usage de l’effaceur (blanco).
- Aucun autre document que ce sujet n’est autorisé.
- Pour chaque question, 4 réponses sont proposées (A, B, C et D) dont une seule bonne
réponse. La lettre correspondant à la bonne réponse doit être entourée.
Page 5
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Q1. Soit f(x) = In ( El ) . Le domaine de définition de f est :
CE ‏ع‎ D NE
02. Soit f(x) = cos(8rx). f est périodique de période
87 4 8
Q3. Soit f une fonction continue sur ]-2 ,3[ telle que f(—2) = —1 et f(3) = 4. Le nombre
de solutions de l’équation f(x) = 1 sur [—2,3] est :
C.__ Auplus1
171
Q4. La limite de la suite de terme général u, = 0 + =) ,nEN* est égale à :
‏ات لاصتا‎ CE 1 LAS
A. lim,.,0+x* 11183. lim,.,0+x* ‏ح‎ 0 | C.lim,.0+x* = +0 | D.
lim,_,0+x* n'existe pas
Q6. Soit a un réel strictement positif, alors lim. 2 est égale à :
‏به‎ 0 [oO 4 © ]6 Æo jm. 88 |
Q7. Soit f(x) = ‏ا‎ ; alors lim,.,0 f (x) est égale à :
Q8. Soit f(x) = 7 — ; alors lim,.,0 f (x) est égale à :
CNE A NS ‏ا اللا نذا‎
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Q9. La dérivée d’ordre n de = est égale à :
2n! 2 27 —1)tn!
B mile ‏“نا تلم «ا‎ oo. ‏نا‎ sun
: (1 = 7 ‏ل ب 1( ا‎ pou (1 = 2044 (1 = Let
010. La dérivée d’ordre n de cos x est égale à :
QI1. Soit f(x) = JE dt , x > 0. Alors lims..0 f'(x) vaut :
ER pr EE pr
Q12. Soit F une primitive de la fonction définie par f(x) = ‏مح‎ , XER . Alors on a :
A. F(0)=F(1) |B. F(0) <F(1) C. F(0)>F() |D. F(0)>F(1
»: 4 L tanx :
Q13. L'intégrale [4 ‏لمي‎ Vaut:
sr rem(x) .
Q14. Soit! = [| ‏ادا حب‎ Alors :
1 x = : D. ] 0
Ep D pe En
015. Soitxe Ret soit S = Y#., x*. Alors ona: |
‏ع م‎ css TANT
Q16. La série numérique } =: 68 a pour somme :
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017. Soitxe Retsoit S = ‏ابن رز‎ 1 . Alors on a:
LL 1-(nthxttnxntt ‏ا‎ 1-nx"t+nanti
sr )1-2 8 )1-2
| 1+0+1( +1 | 1-(n+1)xft-nxtti
‏ات‎ (1-x)? 0. (1-x)2
018. Soit n € N° et w une racine ‏76ل‎ de 1 avec w # 1. Soit S = ‏انوع برااي‎ 1. Alors :
‏م‎ Se 8 fa 6 ‏سنس لي‎
4019. La somme de la série numérique ‏مونم‎ CALE = es ( est égale à :
5 RS 1
Q20. La somme de la série ‏و مجر‎ vaut :
ETC ET ET
Q21. La somme de la série YÉ?, —— est égale à :
3 1 à
Q22. Les solutions de l’équation X2 + X + 1 = 0 dans © sont :
023. Soit P le polynôme défini par (X) = X* + X$ — X2— X. Alors P est divisible par :
A. X2(X-1) |. X(X-1} 4 )-1)+1(2 ID 1 -- 1207 +1(
024. Soit P(X) = 10141 - X7 - X +1 € C[X]. Alors :
A. (X — 1)? divise P(X) 8. (X— 1) divise P(X)
0 X divise P(X) D. X +2 divise P(X)
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025. Soit le polynôme P(X) = ‏24ل‎ + 1. Alors on a :
A. P est irréductible dans R[X] B. P est un produit de deux polynômes
irréductibles dans R[X]
C. P admet des racines dans R D. P estirréductible dans C[X]
0 0 0
026. Soit la matrice M ‏-ح‎ ١) 1 0 ‏م0‎
0 1 0
A. M est inversible +117 ‏جح 0ج‎ 211. 71/5 0 , 3
027. Soit P = {(x,y,z)eR®, x — y + z = 0} un sous espace vectoriel de 183 . Une base de P
est :
A. B. 0 D.
{(—1,1,0)} {(4,1,0),(0,1,1)} | {(—1,1,0), (1,1,0), (0,1,1)} | {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}
Q28. Les coordonnées du vecteur u = (3,1,0) dans la base {(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)} de R
sont :
2 2 2 —2
Q29. Soit E l’ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 2.
Alors la dimension de E est :
Q30. Une solution de l’équation différentielle y'(x) + ‏ف‎ = 0,x > 0 est la fonction f
définie par :
A. f(x) = = B. f(x) 7 C: f(x) =e* D. ffx) = e
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Correction proposée

Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.

Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours commun d'accès aux filières d'ingénieurs de l'ENSET Mohammedia, session de septembre 2014. Durée : 3 heures, sans calculatrice. QCM de 30 questions à une seule bonne réponse ; barème : +2 par bonne réponse, 0 sans réponse, −1 par mauvaise réponse. Voici une correction proposée, avec le calcul qui justifie chaque choix.

💡 Stratégie : avec −1 par erreur, ne répondez au hasard que si vous pouvez éliminer au moins deux options. Les questions de limites et de sommes se font en quelques lignes avec les équivalents usuels et les sommes télescopiques : ce sont des points à prendre.

Analyse : domaines, limites, continuité

  1. D) ℝ \ {−1, 1}. Il faut x ≠ 1 (dénominateur) et |(x+1)/(x−1)| > 0, donc x ≠ −1.
  2. C) 1/4. La période de cos(ax) est 2π/a = 2π/(8π) = 1/4.
  3. D) Au moins 1. f est continue et 1 est compris entre f(−2) = −1 et f(3) = 4 : le théorème des valeurs intermédiaires garantit au moins une solution, mais rien n'en limite le nombre.
  4. D) 1. ln un = n·ln(1 + 1/n²) ~ n · 1/n² = 1/n → 0, donc un → e0 = 1.
  5. A) lim xx = 1. xx = ex ln x et x ln x → 0 quand x → 0+.
  6. A) 0. Pour n ≥ 2a, le rapport un+1/un = a/(n+1) ≤ 1/2 : la suite décroît au moins géométriquement vers 0 (la factorielle l'emporte sur l'exponentielle).
  7. A) −1/2. ln(1+x) = x − x²/2 + o(x²), donc (ln(1+x) − x)/x² → −1/2.
  8. Réponse probable : A) 1/2 (énoncé vraisemblablement inversé). Tel qu'il est imprimé : ex − 1 ~ x et √(x+1) − 1 ~ x/2, donc f(x) → 2, valeur absente des options. Si la fraction est inversée, (√(x+1) − 1)/(ex − 1) → 1/2, ce qui correspond à A. Le jour de l'épreuve, avec −1 par erreur, l'abstention se défend sur cette question.

Dérivation et intégration

  1. A) 2·n!/(1−x)n+1. (1+x)/(1−x) = −1 + 2/(1−x) et la dérivée n-ième de (1−x)−1 est n!/(1−x)n+1 (n ≥ 1).
  2. A) cos(x + nπ/2). Chaque dérivation ajoute π/2 : (cos x)' = −sin x = cos(x + π/2).
  3. B) 1. sin t/t se prolonge par continuité en 0, donc f'(x) = sin x / x, qui tend vers 1.
  4. B) F(0) < F(1). F' = f = x²/(x²+4) ≥ 0, et f > 0 sur ]0, 1] : F est strictement croissante sur [0, 1].
  5. B) 1/2. Avec u = tan x, du = dx/cos²x : ∫01 u du = 1/2.
  6. A) I = 1/2. Une primitive de ln x / x est (ln x)²/2 : I = (1 − 0)/2.

Sommes et séries

  1. A) S = (1 − xn+1)/(1 − x) (pour x ≠ 1) : somme des n+1 premiers termes d'une suite géométrique de raison x.
  2. B) 1. Σn≥1 (1/2)n = (1/2)/(1 − 1/2) = 1.
  3. A) S = (1 − (n+1)xn + n xn+1)/(1−x)². S est la dérivée de Σk=0n xk = (1 − xn+1)/(1 − x) ; en dérivant ce quotient : [−(n+1)xn(1−x) + (1 − xn+1)]/(1−x)² = (1 − (n+1)xn + n xn+1)/(1−x)². Contrôle n = 1 : S = 1 et la formule donne (1 − 2x + x²)/(1−x)² = 1.
  4. A) S = n/(ω − 1). Dans la formule précédente, ωn = 1 et ωn+1 = ω : S = (1 − (n+1) + nω)/(1−ω)² = n(ω − 1)/(ω − 1)² = n/(ω − 1).
  5. A) 2n. Binôme de Newton : Σ Cnp = (1+1)n.
  6. C) 1/2. 1/(n(n+1)) = 1/n − 1/(n+1) ; la somme télescopique à partir de n = 2 vaut 1/2.
  7. A) 3/2. 2/(n²−1) = 1/(n−1) − 1/(n+1) ; la somme à partir de n = 2 laisse les deux premiers termes positifs : 1 + 1/2 = 3/2.

Algèbre : complexes et polynômes

  1. A) ei2π/3 et e−i2π/3. X² + X + 1 = (X³ − 1)/(X − 1) : les racines sont j et j̄ = j², les racines cubiques de l'unité différentes de 1.
  2. C) (X−1)(X+1)². P = X(X³ + X² − X − 1) = X(X+1)(X² − 1) = X(X−1)(X+1)².
  3. A) (X−1)² divise P. P = Xn(X−1) − (X−1) = (X−1)(Xn − 1) = (X−1)²(1 + X + … + Xn−1). Le dernier facteur vaut n ≠ 0 en 1, donc (X−1)³ ne divise pas P ; P(0) = 1 exclut X ; P(−2) ≠ 0 en général.
  4. B) produit de deux irréductibles de ℝ[X]. X⁴ + 1 = (X² + 1)² − 2X² = (X² + √2X + 1)(X² − √2X + 1), deux trinômes de discriminant −2 < 0.
  5. D) Mn = 0 pour n ≥ 3. M décale les vecteurs de base (e1 → e2 → e3 → 0) : M² ≠ 0 (il a un 1 en position (3,1)) mais M³ = 0. M n'est pas inversible (première ligne nulle).
  6. B) {(1,1,0), (0,1,1)}. P est un plan (dimension 2) ; ces deux vecteurs vérifient x − y + z = 0 et ne sont pas colinéaires. A ne contient qu'un vecteur, C et D en contiennent trois (et ceux de D ne sont pas dans P).
  7. C) (2, 1, −1). a(1,1,0) + b(1,0,1) + c(0,1,1) = (3,1,0) donne a+b = 3, a+c = 1, b+c = 0 ; d'où a+b+c = 2, c = −1, b = 1, a = 2. Vérification : (2,2,0) + (1,0,1) − (0,1,1) = (3,1,0).
  8. C) 3. Base (1, X, X²).
  9. A) f(x) = 1/x. y' = −y/x a pour solutions y = C/x ; contrôle : (1/x)' + (1/x)/x = −1/x² + 1/x² = 0.

Récapitulatif

Q12345678910
Rép.DCDDAAAA*AA
Q11121314151617181920
Rép.BBBAABAAAC
Q21222324252627282930
Rép.AACABDBCCA

* Q8 : la limite de l'expression imprimée vaut 2 (absent des options) ; A correspond à l'expression inversée.

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Questions fréquentes sur ce sujet

Ce sujet est-il téléchargeable gratuitement ?
Oui. La totalité du sujet (5 pages) est consultable et téléchargeable gratuitement, sans inscription ni compte.
Le corrigé est-il inclus ?
Oui. Un corrigé proposé figure sur cette page, sous les pages du sujet : méthode de réponse et éléments attendus, rédigés par l'équipe Wadifa Info.
Quel organisme et quel grade concerne ce sujet ?
Ce sujet provient d'un concours organisé par l'École Normale Supérieure de l'Enseignement Technique de Mohammedia (ENSET). Il concerne le grade : 1ère année du cycle d'ingénieurs (concours commun des filières).
De quelle session s'agit-il et dans quelle langue ?
Session : session de septembre 2014. Les questions sont en français.
Où trouver d'autres sujets du même concours ?
Tous nos sujets de la même famille sont regroupés sur la page les sujets de concours « Accès aux écoles et instituts supérieurs ». Les sujets y sont classés par session, du plus récent au plus ancien.

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