Modèle de concours d'accès aux Écoles Nationales des Sciences Appliquées (ENSA Maroc) 2015 — Épreuve : Mathématiques
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En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de 1ère année du cycle préparatoire organisé par les Écoles Nationales des Sciences Appliquées (ENSA Maroc) (2015), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- les Écoles Nationales des Sciences Appliquées (ENSA Maroc)
- Grade
- 1ère année du cycle préparatoire
- Spécialité
- Mathématiques
- Année
- 2015
- Pages
- 4
- Langue des questions
- français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
Sujet de l'épreuve « Mathématiques » du concours d'accès en 1ère année du cycle préparatoire — Écoles Nationales des Sciences Appliquées (ENSA Maroc), session juillet 2015. Document officiel publié sur ensa-tetouan.ac.ma (copie archivée), 4 page(s). Sans corrigé.
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.
727 | me à
| Concours d’accès en 1°" année des ENSA Maroc |
| | Juillet 2615 | |
٠ Epreuve de Mathématiques Durée : 1H30 min
9. La somme
1 12
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| DEUE [O2
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À) n(n+1)}(2n+1) B) n(n+1) 8 n(n+2)
| 05. Soit 1 ا ١
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| 8 27-7 -+ 27 |
| En calculant 23, montrer que : |
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| Problème 1:
| On considère plusieurs urnes de boules U,,U,........... منت رولا telles que: la première urne, ونا
| contient trois boules jaunes et deux boules vertes et chacune des autres urnes contient deux boules
| jaunes et deux boules vertes.
| On réalise des tirages successifs de la manière suivante:
| ° ontire au hasard une boule de U;;
| ° on place la boule tirée de Us dans رول puis on tire une boule dans U;
° on place la boule tirée de U2 dans رونا puis on tire une boule dans Ua;
e etc.
Pour tout entier n > 1, on note E, l'événement “ja boule tirée de U, est verte” et Pa = P (Eh) sa
| probabilité.
| Qu. La valeur de P, est |
| A) 0,54 | B) 0,40 C) 0,44 D) 0,64
.عدو Sachant qu'on a tiré une boule verte de U, et qu'on l'a placée dans رول la probabilité de tirer une
boule verte de U, est
A) 0,60 B) 0,83 C) 0,80 D) 0,33
Q13. La valeur de P, est
À) 4 B) 0,46 C) 0,48 D) 0,45
.مدو La relation entre P, et Pn+1 est
A) Pn+1 = 5 + 5Pn | B) Pari = 2+ 5 © Pari = 5 + م27 D) 5 Para = 2 +
| .كو En étudiant le comportement de la suite P,, peut-on confirmer qu'après un grand nombre de
| tirage on à
| A) une chance sur deux B) une chance sur trois | C) une chance sur | D) une chance sur |
| de tirer une boule verte | de tirer une boule quatre de tirer une cinq de tirer une boule |
| verte boule verte | verte |
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Problème 2: | |
سعد Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal direct (0, ?, j); unité graphique |
Soient À, Bet C les points d'affixes respectives a = 2, 023 + iV3 et c = 2iV3. | |
Q16. La mesure de l'angle ABC vaut | |
À) 90° | B) 95° | C) 85° | D) 189° | |
Quy. L'affixe w du centre { du cercle circonscrit au triangle ABC est” ١ 1 |
١8(1+ 3 C)-1 + iv3 D)-1 - iV3 | 2 قي A)1-
On note 4, le point d'affixe z,, où z, est la suite de nombres complexes, de premier terme .0:8
Zn = 0, et telle que, pour tout entier naturel n: |
+iv3 1 ض
nn Zn + 2: نب Zn+1
On considère la suite ty = Zn — W. |
En faisant remarquer que w est solution de l'équation z = ms z + 2. La suite t, vérifie la relation: |
2tn | D)1+iV3tu = 2tuss = ربط 1/3 Ab © 1+ 3 En 1 iv3 , | O1+ |
n +1 2 7 | 2 1+1 |
En déduire que pour tout entier naturel n,ona .ود |
7 انا RSS تمد :اما ان 2 FU DA
À) An+6 = 2An | B) An+6 = —An | C) Antée = An | D) Anté = —2 An |
La valeur de Azç15 est | .920 |
A) -1+2iV3 [B)3+iv3 C) 3iv2 D) -1 + 3 | |
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Correction proposée
Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.
Ce modèle est l'épreuve de Mathématiques du concours d'accès en 1re année des ENSA Maroc, session de juillet 2015. Durée : 1 h 30. Elle compte 20 questions à choix multiples (A, B, C ou D) : dix questions indépendantes (sommes, limites, intégrales) puis deux problèmes (urnes successives, suite de nombres complexes). Voici une correction proposée, avec la justification de chaque réponse.
💡 Méthode : pour une suite définie par récurrence, calculez les deux ou trois premiers termes : ils permettent souvent d'éliminer des propositions sans faire la théorie (ici P1 = 0,4 et P2 = 0,48 suffisent à valider la relation de Q14).
Questions indépendantes (Q1 à Q10)
- Q1 → C) 2014. Σk=012C12k = 212 = 4096 (binôme de Newton avec 1 + 1). ½ × 4096 − 34 = 2048 − 34 = 2014.
- Q2 → A) n(n+1)(2n+1)/6. Le nombre de couples (i, j) tels que min(i, j) ≥ k est (n − k + 1)², donc Σmin(i, j) = Σk=1n(n − k + 1)² = Σm=1nm². Vérification : n = 2 donne 1 + 1 + 1 + 2 = 5 = 2×3×5/6.
- Q3 → B) λ = 1. Posons a = ∛(3 + √(9 + 125/27)) et b = ∛(−3 + √(9 + 125/27)). a³ − b³ = 6 et ab = ∛(9 + 125/27 − 9) = ∛(125/27) = 5/3. λ = a − b vérifie λ³ = a³ − b³ − 3ab(a − b) = 6 − 5λ, soit λ³ + 5λ − 6 = (λ − 1)(λ² + λ + 6) = 0 ; le second facteur n'a pas de racine réelle, donc λ = 1.
- Q4 → D) 0. |sin(n)/3|n ≤ (1/3)n → 0.
- Q5 → C) 2. Pour 0 ≤ k ≤ 2n + 1 : n/(n + 1)² ≤ n/(n² + k) ≤ 1/n. La somme a 2n + 2 termes, donc 2n/(n + 1) ≤ Sn ≤ (2n + 2)/n ; les deux bornes tendent vers 2 (théorème des gendarmes).
- Q6 → C) 3. (e10x − 1)/x → 10 et (e7x − 1)/x → 7 : limite 10 − 7 = 3.
- Q7 → C) −∞. 1 ≤ 1 + sin²(1/x) ≤ 2 et ln x < 0 près de 0, donc le produit est ≤ ln x → −∞.
- Q8 → A) (1/3)(1/(10 − 3e) − 1/7). Avec u = 10 − 3ex, du = −3exdx : une primitive est 1/(3(10 − 3ex)). Entre 0 et 1 : (1/3)(1/(10 − 3e) − 1/7).
- Q9 → D) 2 − 5/e. Avec x = eu : ∫01u²e−udu = [−(u² + 2u + 2)e−u]01 = 2 − 5/e (deux intégrations par parties).
- Q10 → A) ln(4/3). 1/(x² + 3x + 2) = 1/(x + 1) − 1/(x + 2) : [ln((x + 1)/(x + 2))]01 = ln(2/3) − ln(1/2) = ln(4/3).
Problème 1 — Urnes successives (Q11 à Q15)
- Q11 → B) 0,40. U1 contient 2 vertes sur 5 boules : P1 = 2/5.
- Q12 → A) 0,60. Après ajout d'une verte, U2 contient 2 jaunes et 3 vertes : 3/5.
- Q13 → C) 0,48. P2 = 0,4 × 3/5 + 0,6 × 2/5 = 0,24 + 0,24 = 0,48 (si la boule ajoutée est jaune, U2 a 3 jaunes et 2 vertes).
- Q14 → D) 5Pn+1 = 2 + Pn. Pn+1 = (3/5)Pn + (2/5)(1 − Pn) = 2/5 + Pn/5. Contrôle : (2 + 0,4)/5 = 0,48 = P2.
- Q15 → A) une chance sur deux. Pn+1 − 1/2 = (1/5)(Pn − 1/2) : suite géométrique de raison 1/5, donc Pn → 1/2.
Problème 2 — Nombres complexes (Q16 à Q20)
- Q16 → A) 90°. BA = a − b = −1 − i√3 et BC = c − b = −3 + i√3. Produit scalaire : (−1)(−3) + (−√3)(√3) = 3 − 3 = 0 : l'angle en B est droit.
- Q17 → B) 1 + i√3. Le triangle est rectangle en B, donc le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse [AC] : w = (2 + 2i√3)/2 = 1 + i√3.
- Q18 → A) tn+1 = ((1 + i√3)/2)·tn. w vérifie w = qw + 2 avec q = (1 + i√3)/2 (en effet 4/(1 − i√3) = 1 + i√3). Par soustraction : zn+1 − w = q(zn − w). (La proposition D n'est équivalente que si l'on rétablit les parenthèses (1 + i√3)tn ; telle qu'imprimée, A est la bonne écriture.)
- Q19 → C) An+6 = An. q = eiπ/3, donc q⁶ = 1 : tn+6 = tn, puis zn+6 = zn.
- Q20 → D) −1 + i√3. 2015 = 6 × 335 + 5, donc A2015 = A5. t0 = −w = −(1 + i√3) et t5 = q⁵t0 = e−iπ/3 × (−(1 + i√3)) = −(1 − i√3)(1 + i√3)/2 = −2. z5 = w + t5 = 1 + i√3 − 2 = −1 + i√3.
Grille des réponses
| Q1 | Q2 | Q3 | Q4 | Q5 | Q6 | Q7 | Q8 | Q9 | Q10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| C | A | B | D | C | C | C | A | D | A |
| Q11 | Q12 | Q13 | Q14 | Q15 | Q16 | Q17 | Q18 | Q19 | Q20 |
| B | A | C | D | A | A | B | A | C | D |
Questions fréquentes sur ce sujet
Ce sujet est-il téléchargeable gratuitement ?
Oui. La totalité du sujet (4 pages) est consultable et téléchargeable gratuitement, sans inscription ni compte.
Le corrigé est-il inclus ?
Oui. Un corrigé proposé figure sur cette page, sous les pages du sujet : méthode de réponse et éléments attendus, rédigés par l'équipe Wadifa Info.
Quel organisme et quel grade concerne ce sujet ?
Ce sujet provient d'un concours organisé par les Écoles Nationales des Sciences Appliquées (ENSA Maroc). Il concerne le grade : 1ère année du cycle préparatoire.
De quelle session s'agit-il et dans quelle langue ?
Session : juillet 2015. Les questions sont en français.
Où trouver d'autres sujets du même concours ?
Tous nos sujets de la même famille sont regroupés sur la page les sujets de concours « Accès aux écoles et instituts supérieurs ». Les sujets y sont classés par session, du plus récent au plus ancien.
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Organisme : les Écoles Nationales des Sciences Appliquées (ENSA Maroc) · juillet 2015 — Copie issue de : archive de modèles de concours — document archivé tel que reçu ; l'avis officiel du concours fait foi.
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